培优专题5平移与旋转(含解答)-

专5平移转平移是几何变换最常用的变换之一用可以将一些不在同一三角形中要的两条线段或两角，进“搬家把它搬到同一个三角形（或平行四边）中，再利用图形的性质与题设条，找到解（或比）的途径．平法能把分散的条件集中起来，收事半功倍的效果．旋转也是几何变中较常用的变换之一，在解决题中主要应用在以下两个方面：是在题设条件和论间联系不易沟通或条件不易中利用的情形下过转起到铺路架桥作用；二是图错综复杂，但图形中的量与量间的关系多，这时也可以看能否用旋转的办法，移动分图形，使题目中隐蔽着的关明朗起来，从而找到解题途径．平移转两变换在使用中定要于观察变换前后哪些变了些量没变有这样，我们才充分发挥两种变换的功能，达有效解决相关问题的目的．例1如，在△ABC中，、E是BC上两点，BD=CE试说明AB+AC>AD+AE分利平移变换•将图中已知件转化为梯形的对角线之和大于两腰之和．解：把作平移，使BD与EC重，分别过点E作AB的行线，过点作•平行线，两线交点，结CF．连结EF交AC于．则AB=EF∠ABD=∠FEC∵BD=CE∴eq\o\ac(△,≌)ABDFEC∴AD=CF在梯形中，，FO+OC>CF．即AC+EF>AE+CF．．练11如图梯中∥BC已AD+BC=3求梯形的积．

2．如图，长方形花园ABCD中AB=a，园建有一条长方形道路LMPQ及一条平行四边形道，若LM=RS=c，求花园中绿化部分的面积．3．如图，△ABC中，分别为AB、AC边的点，且BE=CF，试说EF<BC．例如图eq\o\ac(△,，)中∠ACB=90°是的点∠PMQ=90°明PQ=•AP+BQ2

．分本中PQ、AP、BQ不同一个三角中•如果将它平移•使PQ分转化为PD、AD，将三线转化在同一三角形中，巧妙运直角三角形中的勾股定理求解．解：将BQ平移到AD连结PD、MD．∵BQ∥AD，∴∠BAD=∠ABC．∵MA=MB，BQ=AD，∴eq\o\ac(△,≌)AMDBMQ∴∠AMD=∠BMQ．而∠AMQ+∠BMQ=180°，∴∠AMQ+∠AMD=180°．∴D、M、Q三点线．∴∠PMD=∠PMQ=90°MD=MQ．∴PQ=PD．∴△PAD直角三角形，PD2=AP2．∴=AP2+BQ．练21．如图EFGH是正方形ABCD的接四边形，∠BEG与CFH都是锐角•已知，

FH=4，边形EFGH的积为5求正方形ABCD面积．2．如图，△ABC中，，M分是AB、BC上点、CM•于点P，若BC=AM，BM=CN，∠APM的数．3．如图，六边形ABCDEF中AB∥DE，BC∥EF∥AF且AB-ED=CD-AF=EF-BC>0请问，六边形的个角是都相等．例3如，在正方形ABCD的BC和上分别取点M和K，并且∠BAM=∠MAK．求证：BM+KD=KA．分把Rt△BAM点时针旋转到ADMBM与DN拼成一条段的KM，只要证明KM′=KA即．证明把eq\o\ac(△,Rt)ABM绕A旋转90°则点B为点D变为M′△BAM•≌Rteq\o\ac(△,′)，∴∠M′=∴DM′=BM∵∠BAM=∠MAK，∴∠KAM′=∠MAD．∴∠KAM∠M′．∴AK=KM．∴BM+KD=AM．练31图正形中是的中点是AD上于•的点且∠∠MBC，

求

AMAB

的值．2．如图P是边△ABC内点，∠APB∠BPC∠CPA的大小之比5：6：7，求以PA、PB、PC之比为边的三角三内角之比（从小到大3．如图，在四边形ABCD中，，∠BAD=，且AH=1•求四边形ABCD面积．例4如，在等腰三角形ABC中，∠CAB=90°，P是△内一，且，

PC=7，∠的度．分本将BAP点A旋转90°，得到CAQ，构造直角三角，利用勾股定理求解解：将BAP绕点A旋转90°，使AB与AC重，得CAQ，eq\o\ac(△,则)CAQ≌eq\o\ac(△,．)BAP∴AQ=AP=1，CQ=BP=3∠CAQ=，∴∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=∠PAC+∠PAB=90°eq\o\ac(△,Rt)AQP中PQ2

+AP2=2，∴PQ=，．在△CPQPQ=

，CQ2

2

+PQ2是直角三角形，∠CPQ=90°．∴∠APC=∠CPQ+∠APQ=135°．练41．等边三角形内一点到三个顶点距离分别为3、5则此等边三角形边长的平方为________．2．如图P是正方形内点，若PA=1，PC=3，求∠APB的度．3．如图，正方形ABCD的长为1、AD各一点P、Q，eq\o\ac(△,若)APQ的周长为2，求∠PCQ例5如，在ABC中AB=3，AC=2以BC为的三角形是等边三角形，求AP的最大、最小值．

分通旋转把AP转移到有两条确定的三角形中，利用三角形的性质求最值．解：把ABP绕点顺时针旋转得△DBC，则△ABP≌DBC∴DC=AP，BD=BA，∠DBA=60°．∴△ABD等边三角形，AD=AB=3在△中，有DC<AD+AC=5，当C在DA延长线上时才有DC=AD+AC=5，明≤5，•即AP≤5．……①在△中，有DC>AD-AC=1，当C在DA线段上时才有DC=AD-AC=1，说明DC≥1•即AP．……②由①②得AP最大值为5，最值为1．练51．如图，正方形中有个内接三角形AEF，若∠EAF=45°，AB=8，EF=7，求△EFC的面积．2．如图，在ABC中，AB=5，AC=13，BC上中线AD=6，BC的．3．如图，已知中AB=AC为角形内一点∠ADB>．证明•CD>BD．答练1．解：将BD移到CE交AD延线于点E，则四边形BDEC为平行四边形

BCDABCBCDCDEABCDABCACDACDACEABCDACEAEHTEHS=S，SBCDABCBCDCDEABCDABCACDACDACEABCDACEAEHTEHS=S，S，ABCDPQRT222ABCD

CDE∵△ABC与△DBC同等高，∴∵=S+S=S=．eq\o\ac(△,S)又AE=AD+DE=3=

2

2

，∴ACE为直角三角形，ACE=90°．∴=S

3·AC·CE=2

2

．2．解：把长方形和平行四边形道路平移，在移动过程中道路面积变，如图，则四块空白可组成长b-ca-c的空白长方形，其面积b-c

．．解：将平为BG，BF平移为，∠CFG的角平分线交BC于D，连结，则由平移知四边BEFG是行边形．∴EF=BG，BE=FG．∵BE=CF∴FG=CF∵∠1=∠2．∴△FGD≌△FCD（SAS∴DG=CD在△BGD中，∵BG<BD+DG，∴EF<BC．练2．解：过E、G分平移AD、AB，交分别为P、Q、T，四边形PQRT•为矩形．设正方边长为a，PQ=b，PT=c由勾股定理得b=∵=S，PEFCFGDGH

2，c=42

，则S∴+b·c=10．

EFGH即2

4

．∴2，

=

．∴=．．解：把MC平，使点M至A点，过A作MC的平行线，过点作AB的平行线，•

两线交于点D，则MC=AD．∠APM=……①∵BM=NC，CD=AM=BC，，∴△DCNeq\o\ac(△,．)CBM从而DN=MC∴DN=DA…②∴∠CMB=∠DNC．∵∠BCM+，∴∠BCM+∠DNC=90°．即MC∥AD．∴ND⊥AD．……③由①，②，③得∠APM=45°．解：六个角都相等且都等于120°．将沿着BC平到QC，CD沿DE平移，EF沿着FA平移，∵AB∥ED，BC，CD，∴AB=QC，BC=AQ，CD=ER，DE=CR，EF=AP，FA=PE，．即．∴∠1=∠2=∠3=60°由平行线性质知∠B=∠C=∠E=∠F=120°．练3．解：将△BAM绕点旋转90°点变为C点，点变点，结，则eq\o\ac(△,△)BCP．∴∠BPC=∠BMA=∵BM=BP∴∠NMP=．．设，AM=x，在eq\o\ac(△,Rt)MND中，则有∴x=

+x=())2．

．AM1即=．AB3．解：将△ABP绕点顺时针旋转60°△′，连结PP′则△ABP≌CBP．∴AP=P′C，BP=BP，∠APB=′B．

AHCPAHCDADPABCDAHCDABHAOPABHABCDAHCP∵∠PBP′=60°，AHCPAHCDADPABCDAHCDABHAOPABHABCDAHCPeq\o\ac(△,′)BPP是等边三角形．∴PP′=BP∠BPP′=60°=∠BP′P∵∠APB∠BPC∠CAP=5：7又，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴，∠2=100°-60°=40°，∠PCP．PA=P′C′=PB，∴是PA、PB组成的三角形．∴三内角之比为2：3：4．．解：将△ABH绕点旋转90°得ADP则eq\o\ac(△,．)ABH≌△ADP∴∠APD=∠AHB=90°，AH=AP．∵∠BAD=∠BCD=90°，∠HAP=90°．∴四边形AHCP是正方形．∵，∴．S+S．又∵S．∴=1练4．解：如图，以A为心将ACP绕顺时针旋转，CB合，与P重合，连结AP′，BP′′则AP′=AP，BP′=CP∠PAP′=60°．eq\o\ac(△,′)APP是等边三角形，PP′=3．eq\o\ac(△,′)BPP中BP=4，PP′=3，BP′=CP=5．由3=5．eq\o\ac(△,′)BPP为直角三角形，′=90°∴∠BPA=150°．过B作BE⊥AP，AP延长线于E．∵∠EPB=180°-150°=30°在中，BP=4，BE=2，EP=23，Rt△ABE中BE=2，AE=2

+3，AB=2+（2

+3）=25+12

．．解：将△ABP绕点旋转90°，CBP′连结PP，eq\o\ac(△,则)ABP≌CBP．∴PB=BP，AP=P′C=1，∠CP′B

D`EFAD`EABEFDABCDABCDABEFDABCDAD`在eq\o\ac(△,′)PBP中BP=BP′=2，D`EFAD`EABEFDABCDABCDABEFDABCDAD`∴PP′=22∠BP．在中PC=3′C=1′=2

．有PC=P′C+P′P，∴是角三角形，∠PP．∴∠APB=∠CP′B=′P+∠PP′C=135°．解：将△CDQ绕点旋转90°，CBM，CDO≌eq\o\ac(△,，)∠QCM=90°∵∠D=90°，∠CBA=90°∴P、B、M在一直线上．，DQ+AQ+AP+BP=2∴QP=DQ+BP．∵BM=DQ，PM=PB+BM，∴QP=PM又CP=CP，CQ=CM．∴eq\o\ac(△,≌)CQPCMP∴∠QCP=∠PCM．又∠QCP+∠PCM=∠QCM=90∴∠PCQ=45°．练5．解：把△ADF绕点旋转到ABD′位置．∵和ABC均为直角，∴D、B三点在一条直线上，∵∠EAF=45°，∴∠D′AE=45°．在eq\o\ac(△,AD)eq\o\ac(△,)′E和AEF中，AD′=AF，∠D′AE=∠EAF∴≌eq\o\ac(△,．)AFE∴=2S=S．∴-2S=82

-2×

×8