数学人教A版必修5第二章2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)

第1课时数列的概念与简单表示法1．理解数列的概念、表示、分类．2．理解数列的通项公式及其简单应用．3．能根据数列的前几项写出一个通项公式．1．数列(1)定义：按照一定顺序排列的一列____叫做数列．(2)项：数列中的每一个数都叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第____位的数称为这个数列的第n项．数列的特征：①每一项都是数；②数列中的数有顺序，同一组数可组成多个不同的数列．(3)表示：数列的一般形式可以写成：a1，a2，…，an，…，简记为______．an表示数列中的第n个数．【做一做1】下列说法错误的是()A．数列4,7,3,4的首项是4B．数列{an}中，若a1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C．数列－1,0,1,2与数列0,1,2，－1不相同D．数列中的项不能是三角形2．数列的分类(1)按数列的项数是否有限，分为有穷数列和无穷数列．项数______的数列叫做有穷数列；项数______的数列叫做无穷数列．(2)按数列的每一项随序号的变化趋势，分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．从第2项起，每一项都______它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都______它的前一项的数列叫做递减数列；各项______的数列叫做常数列；从第2项起，有些项______它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列．在写数列时，对于有穷数列，要把末项(有穷数列的最后一项)写出，如：数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,22)，…，eq\f(1,2n－1)表示有穷数列；但如果把数列写成1，eq\f(1,2)，eq\f(1,22)，eq\f(1,23)，…，eq\f(1,2n－1)，…或1，eq\f(1,2)，eq\f(1,22)，eq\f(1,23)，…则表示无穷数列．【做一做2】数列5,4,3，m，…，是递减数列，则m的取值范围是__________．3．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与______之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(1)已知通项公式an＝f(n)，那么只需依次用1,2,3，…代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项．(2)一个数列的通项公式可以有不同的形式，如an＝(－1)n可以写成an＝(－1)n＋2，还可以写成an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，n为奇数，,1，n为偶数，))这些通项公式形式上虽然不同，但都表示同一数列．(3)数列的通项公式也可用一个分段函数表示．例如，函数1,0,1,0，…的通项公式可以表示为an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n为奇数，,0，n为偶数.))(4)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式．(5)并不是所有的数列都有通项公式，就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样．【做一做3－1】数列{an}中，an＝3n－1，则a2等于()A．2 B．3 C．9 D．32【做一做3－2】已知数列1,2,3,4，…，则这个数列的一个通项公式是()A．an＝1 B．an＝n2C．an＝n D．an＝eq\r(n)答案：1．(1)数(2)项首项n(3){an}【做一做1】B2．(1)有限无限(2)大于小于相等大于【做一做2】(－∞，3)3．序号n【做一做3－1】B【做一做3－2】C1．对数列有关概念的理解剖析：要准确理解数列的定义，需特别注意定义中的两个关键词：“一列数”，即不止一个数；“一定顺序”，即数列中的数是有顺序的．同时还要注意以下五点：(1)数列中项与项之间用“，”隔开．(2)数列中的项通常用an表示，其中下标n表示项的位置序号，即an为第n项．(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．(与集合相同)②可重复性：数列中的数可以重复．(与集合不同)如数列1,1,1，而由1,1,1组成的集合是{1}．③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序有关．(与集合不同)如1,3,4与1,4,3代表不同的数列，而集合{1,3,4}与{1,4,3}却是相同的．(4)“项”与序号n是不同的：数列的项是这个数列中某一个确定的数，它实质上是序号n的函数值f(n)；而序号则是指该项在这个数列中的位置序号．另外，序号与项数也是不同的概念，项数表示整个数列共有多少项．(5){an}与an是两个不同的概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an只表示数列的第n项．2.数列与函数的关系剖析：对于数列{an}中的每一项的序号n与这一项an的对应关系可以看作序号集合到另一个数的集合的映射．例如数列1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，可用映射表示，如图．(1)数列是一个以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．如由数列是定义在N*或它的子集{1,2,3，…，n}上的函数可知an是n的函数，即an＝f(n)．因此当{an}的通项公式的一端的某个“n”用某个数或某个式子或某个记号代替后，则两端的所有的“n”必须用同一个数或式子或记号代替．如，已知{an}的通项公式为an＝3n－eq\f(1,n2)，若bn＝a2n－1，求bn的通项公式时，就能用上述方法：bn＝a2n－1＝3(2n－1)－eq\f(1,(2n－1)2).(2)要注意数列的特殊性(离散型)．由于它的定义域是N*或它的子集{1,2，…，n}，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究的初等函数一般都是连续的曲线．在解决数列问题时，要充分利用这一特殊性．类似于函数的三种表示法，数列也相应地有三种表示法：①列表法：列一个两行多列的表格，第一行是项的序号，第二行是对应项的值．比如：n123…n…ana1a2a3…an…②解析法：用数列的通项公式来表示数列．如，数列{an}中，an＝2n－3，也可以写为{2n－3}．③图象法：在平面直角坐标系中，画出点(n，an)，这些点就表示一个数列．3．常见数列的通项公式剖析：熟练地掌握一些常见数列的通项公式．比如，下面这些数列均属于常见数列，这些通项公式必须记住并且熟练地应用它们解题．(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是an＝(－1)n，数列1，－1,1，－1，…的通项公式是an＝(－1)n＋1或(－1)n－1.(2)数列1,2,3,4，…的通项公式是an＝n.(3)数列1,3,5,7，…的通项公式是an＝2n－1.(4)数列2,4,6,8，…的通项公式是an＝2n.(5)数列1,2,4,8，…的通项公式是an＝2n－1.(6)数列1,4,9,16，…的通项公式是an＝n2.(7)数列1,3,6,10，…的通项公式是an＝eq\f(n(n＋1),2).(8)数列eq\f(1,1)，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…的通项公式是an＝eq\f(1,n).题型一根据数列的前几项写出数列的一个通项公式【例题1】写出下列数列的一个通项公式：(1)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8，eq\f(25,2)，…；(2)1，－3,5，－7,9，…；(3)9,99,999,9999，…；(4)eq\f(22－1,1)，eq\f(32－2,3)，eq\f(42－3,5)，eq\f(52－4,7)，….分析：经过观察、分析寻找每一项与其项数的统一规律．反思：根据数列的前几项写出数列的一个通项公式实际上是一个归纳、总结，找出前几项的共同特点的过程，各项与其序号的关系等式就是一个通项公式．其归纳、总结的方法是：将数列的前几项恒等变形为统一的代数式形式，并且这个代数式中仅有一处是不同的，是变化的，并且变化的规律是随着序号每次增加1，用n来替换代数式中变化的地方，替换后的代数式就是数列的通项公式．写出来的通项公式的正确性也可以验证，令通项公式中的n＝1,2,3，得到数列的前三项，看看是否与实际相符；若符合则写出的通项公式是正确的，否则是错误的．题型二通项公式的应用【例题2】已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n.(1)写出数列的第4项和第6项；(2)－49是否是该数列的一项？如果是，是哪一项？68是否是该数列的一项呢？分析：(1)令n＝4，n＝6，分别代入通项公式，即可求得a4，a6.(2)令an＝－49和68，求得n值，若n∈N*，则是数列的项，否则不是该数列的项．反思：数列的通项公式给出了第n项an与它的序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项．判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项．题型三按项的变化趋势对数列分类【例题3】(1)判断数列1，eq\r(2)，eq\r(3)，－2是否是递增数列？(2)已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n,2n－1)，按项的变化趋势应是哪一类数列．反思：按项的变化趋势对数列分类的步骤：(1)当给出数列的全部项时，按递增数列、递减数列、常数列、摆动数列的定义来确定，如本题(1)．(2)当给出数列的通项公式时，常常用作差的方法，通过判断差的符号来确定．对n∈N*，当an＋1－an＞0时，{an}为递增数列；当an＋1－an＜0时，{an}为递减数列；当an＋1－an＝0时，{an}为常数列；当an＋1－an的符号不确定时，{an}为摆动数列．题型四易错辨析【例题4】求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项．错解：由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4)))2＋108eq\f(1,8)，∴数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为108eq\f(1,8).错因分析：上述解法忽略了数列中的项数n应为正整数的条件，n的值不能取到eq\f(29,4).反思：数列是一个特殊的函数，在用函数的有关知识求解数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集{1,2，…，n})这一约束条件．答案：【例题1】解：(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，eq\f(25,2)，…，所以，它的一个通项公式为an＝eq\f(n2,2).(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…是连续的正奇数，其通项公式为2n－1；考虑(－1)n＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为an＝(－1)n＋1(2n－1)．(3)各项加1后，变为10,100,1000,10000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1.(4)数列中每一项由三部分组成，分母是从1开始的奇数列，其通项公式为2n－1；分子的前一部分是从2开始的自然数的平方，其通项公式为(n＋1)2，分子的后一部分是减去一个自然数，其通项公式为n，综合得原数列的一个通项公式为an＝eq\f((n＋1)2－n,2n－1)＝eq\f(n2＋n＋1,2n－1).【例题2】解：(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60.(2)设3n2－28n＝－49，解得n＝7或n＝eq\f(7,3)(舍去)，∴n＝7，即－49是该数列的第7项．设3n2－28n＝68，解得n＝eq\f(34,3)或n＝－2.∵eq\f(34,3)N*，－2N*，∴68不是该数列的项．【例题3】解：(1)设该数列为{an}，则a1＝1，a2＝eq\r(2)，a3＝eq\r(3)，a4＝－2，则有a1＜a2，但a3＞a4.故该数列是摆动数列．(2)∵an＋1－an＝eq\f(n＋1,2n＋1)－eq\f(n,2n－1)＝eq\f(－1,(2n＋1)(2n－1))＜0，∴an＋1＜an.故该数列是递减数列．【例题4】正解：由已知，得an＝－2n2＋29n＋3＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n－\f(29,4)))2＋108eq\f(1,8).由于n∈N*，故当n取距离eq\f(29,4)最近的正整数7时，an取得最大值108.故数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项为a7＝108.1数列1,3,7,15,31，…的一个通项公式为()A．an＝2n B．an＝2n＋1C．an＝2n－1 D．an＝2n－12已知数列{an}中，an＝，则{an}是()A．递增数列