数理统计理论与计算实例

数理统计理论与计算实例数理统计理论与计算实例#/21的热容量，即可计算出试样的发热量。燃烧数据整理为了方便对数据进行数理统计分析，首先要整理数据，得出相应的频率和频数等较简单的数据，以方便对其进一步深入研究。直观数据整理表1试样的发热量(kJ/g)Table1Caloricvalueofsamples(kJ/g)17.1120.3917.3518.3418.0619.2719.7117.2218.3317.8619.1419.7212.7717.4321.1920.0418.8619.0515.1812.1517.2720.6716.3918.8519.2617.0917.8614.8616.1419.6818.9018.0818.7621.9817.7119.6114.3119.9120.6815.3922.2119.9017.1218.0119.9419.6520.3820.3619.3120.1517.6420.1018.9618.4816.1215.4719.7018.4118.2916.8819.5717.9819.1017.3916.8818.2418.9219.0415.7317.3717.1520.7518.2417.9420.7620.6417.5414.3520.9214.9818.5418.0321.0213.1418.4619.3118.8322.5819.4016.5217.3119.3119.0717.3817.5414.9820.7120.7119.4918.0418.0021.0617.6317.3019.8017.5917.9419.3818.2620.5920.5917.1017.1717.5419.4417.7816.8017.9317.1118.32

1.2.2频数和频率分布表样本中：最小值X⑴=12.15；最大值为Xn=22.58；（n）可以取a=12.145,b=22.585；全距L=22.585-12.145=10.44。一般规律（口为数据量，k为组数）<k<6<k<8<k<10<k<20<’30<n<4040<n<6060<n<10056810100<n<500故取k=10。L10.44等组距(At)：At=一= =i iK101.044氏1.05表2燃烧数据频率、频数、累计频率分布表Table2frequency、absoluterfrequencyandcumulativefrequencyfromburndata组序范围区间频数Ni频率Wj=fj/n累计频率Fj1 (12.145,13.195]30.0250.0252 (13.195,14.245]00.0000.0253 (14.245,15.295]60.0500.0754 (15.295,16.345]50.0420.1175 (16.345,17.395]200.1670.2846 (17.395,18.445]290.2410.5257 (18.445,19.495]240.2000.7258 (19.495,20.545]170.1420.8679 (20.545,21.595]130.1080.97510 (21.595,22.645]30.0251.000

燃烧数据直方图图3燃烧数据直方图Fig3Thehistogramofburndata根据表2中的燃烧数据频率，可生成如图3所示的燃烧数据直方图，该图比较特殊的地方在于第二组没有数据，这可能是因为我所得到的数据不够多，不能完整的描述其中的规律。图4燃烧数据折线图Fig4Thepolygramofburndata同样，该燃烧数据折线图也是根据图2中的频率，利用excel软件生成的，就整体而言虽存在些许波动，但趋势亦表现的很明显，先增大后减小，在第6组的时候达到高峰。

I■M1-11L-tI■M1-11L-t-S0008000.600。,4000.2000.000图5燃烧数据累计频率折线图Fig5Thepolygramofcumulativefrequency利用表2中燃烧数据的累计频率可得如图5所示的累计频率折线图，在该图中，从第4组到第7组增大的加速度较大，两侧则趋于平缓。经验分布函数用X表示麦秸秆燃烧数据总体，X1,X2,・・・・・・,Xn是来自总体X的样本，样本的TOC\o"1-5"\h\z顺序统计量为X<X<<X(n=120),对于任何实数X,称下式12 n0X<Xk 1F•上， x<x<xk=1,2,...,n一1n(x) 120k k+i1X>X120为总体X的经验分布函数。其对应的经验分布图如下：图6经验分布函数图Fig6thegraphofempiricaldistribution2假定总体服从正态分布，给出,,。2的估计产假定总体服从正态分布，显然我们的抽样样本容量n=120。矩估计法数学期望:，、1，E(X)=(x+x++x)=X=18.34即，日=X。故N的矩估计量为』=X=18,34。方差:D(X)=E(X2)-[E(X)]2=3.60即，02=D(X)。故02的矩估计量为o2=D(X)=3.60最大似然估计X的密度函数为:(X-U)22o2所以日与02的似然函数为H1I(X-U)2—exp1-—i 、'，/ <2ko [ 2o2取对数得、飒口1InL(u、飒口1InL(u,o2)=乙[ln -Ino2-J2兀 2i=1"lnL(u，o2)=0r(X-U)2]1 ]2o2dlnL(u,02) =0do2|LX=XXE(X-X)2120ji=1所以N与02的极大似然估计量为口=X=18,34，■二—LX（X「X）2=3.57i=1若总体不是正态分布请探求其参数估计，并写出方案若该样本数据不服从正态分布，而从图形看，可假定其服从泊松分布。泊松分布的概率密度为:p(X=k)=—e一大,k=0,1,2,

k!可令XP（九），则有:E(X=E(X=k)=Xk*%k=1二九e-大X '二九e-九e九二＞U-1）!厂(v)XiJke-X Xk*XkE(X2)=Xk2* =e-xX7 v-=e-xk! k-1)!k=1 k=1=e-x\X2ex+Xex)=X2+Xk=1X(k+1)Xk+1k!k=0=e-X[X2苫小+XX得

[k=1 k=0由于D(X)=E(X2)—E(X)，所以由上式可得：D(X)=E(X2)—E(X>=九2+九—九2二九①矩估计法：令E（X）=X，即九=X，则能=X=18,34②最大似然估计：令似然函数为七（九），则有Tn1

x*n—-i=1x!lL(X)=IJe-x=XTn1

x*n—-i=1x!llInL(X)=XX*ln九一nX+lnInf—dlndlnL(X)-"dXXxiXx、 i—nX=-4=1 =Xn八即，X=X=18.34。

3参数区间估计假设总体服从正态分布。对其进行相应的参数区间估计。而粗略的讲，参数的区间估计其实就是寻找一个值域，期望该值域包含参数的真实值。方差6未知，求数学期望口的置信区间n(X-日)①选择t作为样本函数，t= t(n-1)s②给定置信水平：0.95,使=0.95根据自由度n-1和0.95的置信水平，从t-分布表查出分位数为t(n-1)工2(一则上式等价于pX(一则上式等价于pX-

[SLt(n-1)＜日＜X+、、(n-1))=0.95③口的随机置信区间:口的置信水平为0.95的置信区间为④口的确定置信区间:'t(n-1)st(n-1)s'

x-T _—,又+=_--[ )由样本可知：n=120,X=18.34,s=1.90。取上分位数a=0.05,则查表可得10025a19)=1.9801经计算得日的置信水平为0.95的确定置信区间为：[18.00,18.68],而『18.34,显然位于置信区间内。数学期望-02均未知，求方差02的置信区间①选择G作为样本函数,G= Z2(n-1)02②给出置信水平0.95,使P(/2(n-l)< ^―</2(〃—1)=0.95TOC\o"1-5"\h\za (J2 ai—2 2③则O2的置信水平为0.95的随机置信区间为：(n二1)S2 (n-1)52X2(n-1)，5^2(n-1)DL ,CL-। 2 -2 ,④显然02的置信水平为0.95的确定置信区间为：(〃—1)S2 (〃—1)S2X2(n-1)9 (n-1), 2 J2 ，有样本可知:n=1205s2=3.60根据置信水平0.95和自由度H9,从殍一分布表查出分位数X2G-l)=X2(119)=90,6996

d 0.9751— 2V2G-1)-殍(119)=151.0844J~ 0.025LJL2经计算02的置信水平为0.95的确定置信区间为：[2.84,4.72],显然。2=3.6位于置信区间内。4参数假设检验4.1样本统计数据的t检验设总体服从正态分布N（H,。2），其中参数H，。2均未知，方差。2未知的情况下，对数学期望h进行假设检验:①原假设和备择假设（双边假设）其中方为已知常量18.01。②选取检验统计量当原假设为真，方差。当原假设为真，方差。2未知时，检验统计量为:服从自由度为119的t-分布，即tt（n―1）。其中s2二,X（X—X）2为样本差。n—1 ii=1③确定拒绝域给定显著性水平a=0.05,|t(、)|t(、)>tQt)a~2 /=a=0.05由上文可知t0.025（119）=1.9801显然拒绝域为:t>1.9801④检验统计量的观察值:X—ut= -0X—ut= -0s弋痴 二1,941.90^0⑤判断:显然-1.9801<t=1.94<1.9801，即观察值未落在拒绝域中，接受原假设。4.2数据的殍-检验设总体服从正态分布N卬,o2)，其中参数N,O2均未知，对方差o2进行假设检验。①原假设和备择假设H:o2=o2,H:o2WO2其中O2为已知常数。0②选择检验统计量当原假设为真时，检验统计量为:(n-1)S2X2= O20X2(n-1)其中S2=—X(X-X)2为样本差。n-1 ii=1③确定拒绝域给定显著性水平a=0.05，使((n-1)S2I 02、 0(-1)S2( °^、 0>X2a2(n-1)=

J1二°.025<X21-a2(n-1)=I二0.025从蜉分布表查出临界值为殍(n-1)X21-a2(n-1)，则拒绝域为(0，X2(n-1)1-a2X2(n-1),+8a2由殍分布表知:X2(n-1)=X2a 0.0252

(119)=151.0844X2(n—1)=%2(119)=90.6996Ia 0.9751—2则拒绝域为：(0,90.6996]u1151.0844,+Q(n(n—1)s2X2: O20119*3,60 =122.403.50⑤作判断显然X2的值为落在拒绝中，故接受原假设。5非参数假设检验（*2拟合优度检验或K—S检验）一般地，样本来自正态总体，样本数据满足随机性和独立性。然而，对有些情形，总体分布不知道，这时检验问题限定的假设条件弱一些，如只要求样本的随机性、独立性，样本来自同一总体。换句话说，对总体分布不作任何假设，至多假设总体服从连续分布。像这种不取决于总体分布类型的检验称为非参数性的假设检验。5.1/2拟合优度检验或K—S检验由图3可看出，粗略认为麦秸秆燃烧热值服从正态分布，假定显著性水平a=0.05。①原假设和备择假设为:H:X NQ,o2),H:H不真0 1 0其中日,。2均为未知参数，H,。2的极大似然估计值分别为|i=X=18.34 ，=-L.20(X-X)2=3.57， 120ii=1②以表2为基础，原假设为真时，随机变量X落在各小区间的概率为P,,且i0，/、体统计数据如下:p=p(X<13.195)=O10(13.195-18.34)、 1.90 ,=O(-2.71)=0.0034p=p(13.195cX414.243=①20(14.24-18.34,13.19-18.34 -Q I1.90)I1.90)二①心2.1"《-2.71A0.0120〃3。=p旧物X<15.293=«qg^J14.245-18.341-① I1.90)=O(-1.60)-①(-2.18=0.0394==0(-1.05)-0(-1.60)=0.0921心 16.345-18.341/15.295-18.341p=p(15.295<X<16.345=01 ① 40尸 I1.9 ) \ 1.90 )气二p(16.345<XV17.3电中^：3^<16.345-18.34^一① I1.90)=O(-0.5Q)-O(-1.05)=0.161670=p(17.395<X<18.443=①118.445~18.3Q-①(17395^834^①(0.0。-①(0.50)=0.2052I1.9 ) \ 1.9 )70乙。………AJ19.495-18.34、J18.445-18.34、=p(18.445<X<19.495)=① ① I1.9 )[ 1.9 )二①(0.61)-①(0.06)=0.2052P80=P(19495<X<20.545>=^^05^)-^1949^二中(1.16)-①(0.61)=0.1479P90=p(20-545<x<21.595)=①]21.5^[-①]205^)〜1.71)-①(口6”0.079410,0=P(21.595<X<22.645)M^264^)”[^1.5^)=中(2.27)-中(1.71)=0.0320③等价检验假设:H:p=0.0034,=0.0120,=0.0394,=0.0921,=0.1616,=0.2052,=0.2052,=0.1479,=0.0794,=0.0320010 20 30 40 50 60 70 80 90 10,0计算结果列入下表中：组序热值区间频数(Ni-n*Pio)A2/nPioN.iPi0n*Pi01(12.145,13.195]\30.00340.408、2(13.195,14.245]0>0.01201.440上18.24903(14.245,15.295]6,0.03944.72814(15.295,16.345]50.092111.0523.31405(16.345,17.395]200.161619.3920.01916(17.395,18.445]290.205224.6240.77777(18.445,19.495]240.205224.6240.01588(19.495,20.545]170.147917.7480.03159(20.545,21.595]1310.07949.528110(21.595,22.645]3)0.03203.840」1.4490工12023.8561表3热值数据分析表Table3t