课件教案第二十三章

1第23章动力学普遍方程和拉格朗日方程(generalequationsofdynamicsandlagrangeequations)3学时作业23.123.523.623.823.10§23.1

动力学普遍方程§23.2

第二类拉格朗日方程§23.3

第二类拉格朗日方程的首次积分

23.3.1广义能量积分

23.3.2循环积分§23.4

第二类拉格朗日方程在微振动中的应用

23.4.1单自由度系统的无阻尼自由振动

23.4.2两自由度系统的无阻尼自由振动§23.5

第一类拉格朗日方程和多刚体系统动力学简介§23.6

力学从牛顿定律到混沌§23.7

分析力学简介2研究动力学普遍方程和拉格朗日方程的目的

实际问题中的质点系往往是受约束的质点系，即有约束力作用在质点系的质点上，约束力的作用时保证质点系在运动过程中满足事先给定的约束条件。

因此，在建立非自由质点系的动力学方程的过程中，不可避免地会出现约束力，而约束力是一种被动的未知力，如果只对质点系的运动感兴趣，求解这些约束力会增加不必要的计算量。

那么能否建立一种不含约束力的非自由质点系的动力学方程呢？

将达朗贝尔原理和虚位移原理结合起来可以达到这一目的，因为达朗贝尔原理给出了通过列写形式上的静力学平衡方程求解质点系的动力学问题的方法，而虚位移原理又建立了不含约束力的非自由质点系的平衡方程。3动力学普遍方程(generalequationsofdynamics)

根据达朗贝尔原理和虚位移原理所导出的非自由质点系的动力学方程，称为动力学普遍方程。第二类拉格朗日方程

将完整约束系统的动力学普遍方程表示成广义坐标的形式，可以得到第二类拉格朗日方程。

利用第二类拉格朗日方程可直接写出个数与系统自由度相等的独立的运动微分方程，且运算过程非常程式化，在实际工程中有重要应用。第一类拉格朗日方程

将直角坐标描述的非自由质点系的拉格朗日方程，称为第一类拉格朗日方程。

第一类拉格朗日方程提供了模拟和求解复杂系统的动力学问题的程式化方法，为利用计算机对动力学问题进行分析和计算建立了理论基础，在飞行器、机器人、车辆等许多实际工程中有着广泛的应用。(Lagrange’sequationsofthesecondkind)(Lagrange’sequationsofthefirstkind)

4第23章动力学普遍方程和拉格朗日方程(generalequationsofdynamicsandlagrangeequations)§23.1

动力学普遍方程(generalequationsofdynamics)5设质点系由n个质点组成，mi——第i个质点的质量；——在任一瞬时，作用于第i个质点上的主动力的合力；——在任一瞬时，作用于第i个质点上的约束力的合力；——在任一瞬时，第i个质点的加速度。根据达朗贝尔原理，假想施加达朗贝尔惯性力则(i=1,2,…,n)(23.1)(i=1,2,…,n)(23.2)(23.3)若质点系为双侧理想约束，则根据虚位移原理和理想约束条件得到6于是(23.4)或动力学普遍方程上式表明：

在具有双侧理想约束的质点系中，在运动的任一瞬时，作用于质点系的主动力系和达朗贝尔惯性力系在系统的任何一组虚位移上的虚功之和等于零，式(23.3)称为动力学普遍方程或达朗贝尔—拉格朗日原理。

在动力学普遍方程中不包含理想约束力，可提供具有任意多个自由度的质点系的全部运动方程，为处理非自由质点系的动力学问题提供了简便的方法。动力学普遍方程的优点7动力学普遍方程的适用范围

由于达朗贝尔原理给出的主动力、约束力和达朗贝尔惯性力的平衡关系是对每一瞬时的，非自由质点系的虚位移也是对给定瞬时的，因此只须考虑约束的瞬时性质，这说明：动力学普遍方程对定常和非定常约束系统都是适用的。例题23.18§23.2

第二类拉格朗日方程动力学普遍方程的缺点

在动力学普遍方程中，直接以质点系内不同质点的虚位移表示各主动力和达朗贝尔惯性力的虚功的，显然，对于非自由质点系，其内部各质点的虚位移并不独立。

因此利用这种方法解题，需要分析各质点虚位移之间的关系，这会给解题带来不少麻烦。

若直接用质点系的广义坐标的变分表示各质点的虚位移，则对完整约束系统来说，因为广义坐标的变分相互独立，可推得个数与系统自由度相等的一组独立的运动微分方程，从而使问题得到很大的简化。9推导广义坐标的动力学普遍方程

设完整约束质点系由n个质点组成，系统的自由度为k，其广义坐标为q1,q2,……,qk，

则各质点相对于定点O的矢径为(i=1,2,…,n)(23.5)

各质点的虚位移为(i=1,2,…,n)(23.6)

由动力学普遍方程（达朗贝尔—拉格朗日原理）：(23.7)10交换求和顺序(23.8)与广义坐标qj对应的广义主动力Qj(23.9)与广义坐标qj对应的广义达朗贝尔惯性力QIj(23.10)11

为了便于应用，改写QIj的表达式。(23.11)——对应于第j个广义坐标的广义速度——广义坐标和时间的函数，均不含或(j=1,2,…,k)(23.12)第一个经典的拉格朗日关系式12式(23.11)对第s个广义坐标qs(s=1,2,…,k)求偏导数：则或(j=1,2,…,k)(23.13)第二个经典的拉格朗日关系式13现在考察式(23.10)：对于不变的质点系(23.14)利用恒等式14(23.15)为了便于计算QIj，引入系统动能：(23.16)(23.17)(23.18)15由式(23.9)、(23.10)、(23.18)代入式(23.8)得到(23.19)用广义坐标描述的动力学普遍方程适用范围：不仅适用于完整约束系统，也适用于非完整约束系统。16第二类拉格朗日方程(Lagrange’sequationsofthesecondkind)

对完整约束系统，由于的相互独立性(j=1,2,…,k)(23.20)第二类拉格朗日方程（拉格朗日方程或拉氏方程）第二类拉格朗日方程的实质：

给出了广义坐标下建立系统运动微分方程的规则，通过它可建立k个独立的二阶运动微分方程，其个数与系统自由度相等。17有势系统（保守系统）的第二类拉格朗日方程

若质点系所受到的全部主动力均为有势力，则广义力Qj与其势函数V的关系为(j=1,2,…,k)(23.21)系统的势能V只是系统广义坐标qj的函数，与广义速度无关则可得到(j=1,2,…,k)18引进拉格朗日函数(Lagrangefunction)则(j=1,2,