等差数列求和公式

关于等差数列求和公式第1页，共17页，2023年，2月20日，星期五泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见上图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共耗费了多少宝石吗？第2页，共17页，2023年，2月20日，星期五高斯答：1+2+3+4+…+97+98+99+100=

1+100=101

101×50=5050

2+99=101

3+97=101

……

50+51=10150501+2+3+4+…+97+98+99+100=？

情景

高斯（1777---1855），德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。

第3页，共17页，2023年，2月20日，星期五

实际上高斯解决了求等差数列

1,2,3,4，…n,…前100项的和的问题

定义一般的，我们称a1+a2+a3+…+an为数列{an}的前n项和，用Sn

表示，即Sn=a1+a2+a3+…+an如何求等差数列

1,2,3,4，…n,…前n项的和？第4页，共17页，2023年，2月20日，星期五

sn=

1

+2+3+…+(n-1)+

n

sn=

n

+（n-1）+（n-2）+…+2+

1∴2sn=（n+1）+（n+1）+…+（n+1）

=n(n+1)思考：这种方法能否推广到求一般等差数列前n项求和呢？+)——倒序相加法求等差数列1,2,3,…n,…前n项的和？第5页，共17页，2023年，2月20日，星期五由S

n=a1+a2+a3+…+an－1+an

S

n=an+an－1+an－2+…+a2+a1

+)2Sn=(a1+an)+(a2+an－1)+…+(an+a1)=n(a1+an)

倒序相加法故等差数列的前n项求和公式：探究发现第6页，共17页，2023年，2月20日，星期五方法2：等差数列｛an

｝a1，a2，a3，…，an

，…的公差为d.第7页，共17页，2023年，2月20日，星期五观察公式的形式，回忆我们所学过的知识，你是否发现了什么？它的形式是不是跟我们学过的梯形面积公式相同？第8页，共17页，2023年，2月20日，星期五例1：

2000年11月14日教育部下发了《关于小学“校校通”工程的通知.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程的总投入是多少？学以致用总结：实际问题，建立数学模型，利用数学的观点解决问题，然后再回归问题实际第9页，共17页，2023年，2月20日，星期五解：根据题意，从2001-2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元，所以，可以建立一个等差数列｛an

｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中，a1=500，d=50那么，到2010年（n=10）,投入的资金总额为答：从2001-2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.第10页，共17页，2023年，2月20日，星期五练习：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和答案

：根据条件,选择公式第11页，共17页，2023年，2月20日，星期五例2

公式应用已知等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？列方程组，解方程第12页，共17页，2023年，2月20日，星期五解：由题意知

将它们代入公式

得到方程组，

解这个方程组，得到：

所以

2第13页，共17页，2023年，2月20日，星期五练习：已知一个等差数列前5项和是25，第六项是11，求此等差数列前n项和公式答案

：根据条件,选择公式2第14页，共17页，2023年，2月20日，星期五等差数列前n项和公式的推导：倒序相加法类比思想、方程思想、数学建模思想，整体思想数学思想:等差数列前n项和公式的应用：课堂总结第15页，共17页，2023年，2月20日，星期五课后作业必做题：课本P46习题[A组]2、6题选做题：（1）请你把其它不同推导等差数列的前n项和的公式方法