07第七节方向导数与梯度

第七节方向导数与梯度分布图示★引例★方向导数的概念★例3★梯度的概念★例6★梯度的运算性质及应用★等高线及其画法★内容小结★习题9—7★数量场与向量场的概念★例1★例2★例4★例5★例7★例8例9)★例10★课堂练习★返回内容要点一、场的概念：数量场向量场稳定场不稳定场二、方向导数f=limf(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)61 p—0 P定理1如果函数z=f(x,y)在点P(x,y)是可微分的，则函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且f佳cosf佳cos申+6l 6x孚sin申,6y7.1)其中申为x轴正向到方向l的转角(图8-7-2).三、梯度的概念：gradf(x,y)二％f+fj.6x 6yf旦创6xcosf旦创6xcos9+fsin一6ydx，6y…{cos9,sin9}=gradf(x,y)-e=1gradf(x,y)Icos0,函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.梯度运算满足以下运算法则：设u,v可微，a,p为常数，则grad(au+pv)=agradu+pgradv；grad(u-v)=ugradv+vgradu；gradf(u)=f(u)gradu.四、 等高线的概念例题选讲方向导数例1(E01)求函数z=xe2y在点P(1,0)处沿从点P(1,0)到点Q(2,-1)的方向的方向导数.解这里方向I即为PQ={1,-1},故x轴到方向I的转角—送.dzdx(1,0)=e2y(1,0)(1,0)=2xe2y=2,(1,0)所求方向导数dzdzdx(1,0)=e2y(1,0)(1,0)=2xe2y=2,(1,0)所求方向导数dz(兀)V'2—-cos——+2sin——dl14丿14丿2例2求函数f(x,y)=x2-xy+y2在点(1,1)沿与x轴方向夹角为a的方向射线T的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有(1)最大值; (2)最小值;解由方向导数的计算公式知(3)等于零?dl(1,1)=f(1,1)cosa+f(1,1)sinaxy=(2x-y)| cosa+(2y-x)| sina(1,1)(1,1)=cosa+sina=时2sina——,I4丿故(1)当a=-时，方向导数达到最大值、Q;4当a=竺时，方向导数达到最小值-的;4当a=匹和a=匹时，方向导数等于0.44例3(E02)求函数u=ln(x+.y2+z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数.解这里l为AB-{2,-2,1}的方向， 向量AB的方向余弦为cosa=du 1 du 1 yI , ' Idx x+y2+z2 dy x+¥y2+z2 \：y2+z2du 1 z ”.”dz x+\：y2+z2 \：y2+z2所以dudx1du于是21+丄du 12于是21+丄——二一x—+0X-dl 23 (A例4求f(x,y,z)=xy+yz+zx在点(1,1,2)沿方向T的方向导数，其中I的方向角分别为60°C,45°C,60°C.解与l同向的单位向量e(={cos60o,cos45O,cos60o}=|^^^2,!因为函数可微分,且f(1,1,2)=(y+z) =3,(1,1,2)W(x+z)爲=3,fzg=°+叫,1,2)fzg=°+叫,1,2)=2.dl(1,1,2)222=2(5+3②.例5(E03)设n是曲面2x2+3y2+z=6在P(1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数1=—(6x2+8y2)2在此处方向n的方向导数.解令F(解令F(x,y,z)=2x2+3y2+z2—6,F =4x|=4,F=6y|=6,F =2z|=2,故n={F,F,F}故n={F,F,F}={4,6,2},|n|=yv42+62+22=^-'14,方向余弦为cosa2= ,cosP<14cosa2= ,cosP<14<14,cosYdudxIz、；6x2+8y2duIzi：6x2+8y2duv'6xduv'6x2+8y2dz所以dud所以dudnp'du du qdu )—cosa+—cosp+—cosY、dx dy dzP117例6(E04)(1)求grad⑵设f(X,y,z)二x2+y2+z2,求gradf(1,—1,2).⑴这里f(x,y)=因为dx2x df(x2因为dx2x df(x2+y2)2dy2y(x2+y2)2所以gradx2+y2x(x2+y2)2(2y)J(x2+y2)2⑵gra妙=fff}={2x,2y,2z},于是 心Z)={2,-2,4}.例7求函数u=x2+2y2+3z2+3x—2y在点(1,1,2)处的梯度，并问在哪些点处梯度为零?解由梯度计算公式得TOC\o"1-5"\h\z,. 、du丁du-du厂— '厂gradu(x,y,z)=i+ /+ k=(2x+3)i+(4y—2)j+6zk,dx dy dz'31 \故gradu(1,1,2)=5亍+2j+12k.在Pl—^,^,0I处梯度为0.例8(E05)求函数u=xy2+z3-xyz在点P(1,1,1)处沿哪个方向的方向导数最大？最0大值是多少.解由业=y2—yz,翌=2xy—xz,迴=3z2—xy,得dx dy dzdudxdudxP0=0,1du=1,忘P)从而gradu(P0)={0,1,2},grad|u(P0)|=JO+1+4=15.于是u在点P0处沿方向｛0,1,2｝的方向导数最大，最大值是^5.例9(E07)设f(r)为可微函数,r=1rI,r=xf+yj+zk.求gradf(r),解由上述公式(3)知'dr dr dr—►'gradf(r)=f'(r)gradr=f'(r)—1+=/+〒k.ldx dy dzI

因为¥=ox因为¥=oxxOrr'OyOrOzz所以r—>gradf(r)二f(r)二f'(x)二二f'(x)r0.gradf(r)二f(r)|r|注:利用场得概念，我们可以说向量函数gradf(M)确定了一个向量场一梯度场，它是由数量场f(M)产生的.通常称函数f(M)为这个向量场的势，而这个向量场又称为势场.必须注意，任意一个向量场不一定势势场，因为它不一定是某个数量函数的梯度场.例10(E06)试求数量场m所产生的梯度场，其中常数m>0,r=x2+y2+z2为原r点O与点M(x,y,z)间的距离.fm)mfm)mOrmx 尸!钿Ofm)myOfm)—-——,同理一——1r丿r2Oxr3 Oy1r丿r3OzIr丿OOxmzr3从而mgrad=从而r如果用e表示与om同方向的单位向量，则r- xe y ez m m—e=—i+j+k grad=-e.r r rr r r2r上式右端在力学上可解析为，位于原