2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案第27课三角函数图象与性质含解析

____第27课__三角函数的图象与性质(1)____能描述y＝sin，y＝cos，y＝tan的图象，并能依据图象理解三角函数的性质(定义域、值域、周期性、单一性、奇偶性、最值、对称性等)．2π2.认识三角函数的周期性，理解三角函数y＝Asin(ω＋φ)、y＝Acos(ω＋φ)的最小正周期为T＝|ω|及y＝Atan(ω＋φ)的最小正周期为πT＝|ω|.阅读：必修4第24～33页．解悟：①如何理解周期函数？三角函数y＝Asin(ω＋φ)、y＝Acos(ω＋φ)、y＝Atan(ω＋φ)的周期各是多少？②如何作出三角函数的图象？如何抓住此中的重点之处？③你能依据图象说出三角函数的相关性质吗？④你能领悟必修4第30～33页例题的企图吗？领会每个例题的作用．践习：在教材空白处，达成必修4第32页练习第2、3、4、5、7题.基础诊疗对于正弦函数y＝sin有以下说法：①图象对于原点对称；②图象对于y轴对称；π③对于直线＝对称；2④对于(π，0)对称；⑤在[－2π，2π]上是周期函数；⑥在第一象限是单一增函数．此中正确的选项是__①③④__．(填序号)π2.函数y＝2cos2的单一增区间是kπ－2，kπ，∈．π分析：函数y＝2cos2＝1＋cos2，则函数y的增区间为－π＋2π≤2≤2π，∈，即π－≤≤π，2.3.函数f( )＝sinππ22x－在区间0，上的最小值为__－2__．4210，πππ3π，因此f( )min＝f(0)＝sin－π2分析：由于∈，因此2－∈－，4＝－.24442以下函数中，最小正周期为π的奇函数有__②__．(填序号)πy＝sin2x＋2；πy＝cos2x＋2；y＝sin2＋cos2；④y＝sin＋cos.ππ分析：y＝sin2x＋2＝cos2为偶函数；y＝cos2x＋2＝－sin2为奇函数，且周期为π；y＝sin2＋cos2＝2sinπy＝sin＋cos＝2sinπ2x＋为非奇非偶函数；x＋44为非奇非偶函数．典范导航考向?三角函数的定义域与值域问题例1(1)求以下函数的定义域：①y＝lg(2＋2cosx)；y＝tanx－3.求以下函数的值域：ππ①y＝1－2sin，∈，63；2＋sinx②y＝.1－2sinx【评论】联合函数图象或单位圆观察函数的定义域，能够数形联合，降低思想难度．分析：(1)2＋2cos>0得cos>－2①由，23π3π因此∈2kπ－4，2kπ＋4，∈.②由tan－ππ3≥0，得∈[π＋，π＋)，∈.32π2π1①由于∈6，3，因此sin∈2，1，因此－2sin∈[－2，－1]，因此y∈[－1，0]．2152＋sinxsinx－＋2152②方法一：y＝1－2sinx＝1－2sinx＝－2＋2－4sinx，11由于sin∈－1，，1，因此－4sin∈[－4，－2)∪(－2，4]，因此2－4sin∈[－2，0)∪2∪2(0，6]．1因此y∈(－∞，－3]∪，＋∞.3方法二：y＝2＋sinxy－2y－211y－2，则sin＝，因此－1≤<或<≤1，1－2sinx2y＋12y＋1222y＋1因此∈(－∞，－3]∪1，＋∞.y3【注】相关三角函数的定义域、值域问题的求解，办理方法与其余函数大概同样，要注意π的是三角函数自己有定义域和值域的限制．如：tan，≠π＋，∈；|sin|≤1，|cos|≤1.单位圆2是办理求角、求值问题的有力的工具，要娴熟掌握．sincos当0<<π时，求函数y＝xx的值域．sinx－cosx＋1分析：令＝－，则＝πttx－sincos2sin4.ππ3π由于0<<π，因此－<－<，4441－t2因此－1<t≤2.又由于sincos＝2，1－t2因此y＝sinxcosx21－t＝t＋1＝，sinx－cosx＋121－21－2因此≤y<1，故值域为2，1.2考向?三角函数的性质例2已知函数f( )＝(sin＋cos)2＋cos2.求函数f( )的最小正周期；π(2)求函数f( )在0，2上的最大值和最小值．3分析：(1)f( )＝(sin＋cos)2＋cos2＝1＋sin2＋cos2＝1＋2sin2x＋π，4因此函数f( )的最小正周期T＝2π＝π.2πππ5π由于∈0，2，因此2＋4∈4，4，2因此sin2x＋4∈－2，1，因此函数f( )的最大值为1＋2，最小值为0.【注】y＝asin＋bcos型的最值：f( )ma＝a2＋b2，f( )min＝－a2＋b2.求解中运用的基本方法是“利用协助角法”，将较复杂的三角式转变成“y＝A(ω＋φ)”的形式，将异名三角式化归成sin比如0≤x≤π同名三角式．当的取值范围受限制时2，其值域还得进一步对自变量的取值范围仔细地观察.πππ已知函数f( )＝1－2sin2x＋＋2sin(＋)cosx＋8，求：88(1)函数f( )的最小正周期；(2)函数f( )的单一增区间．分析：f( )＝cos2x＋ππ＋sin2x＋44πππ2sin2x＋4＋4＝2sin2x＋22cos2.(1)函数f( )的最小正周期是T＝2π＝π.2π(2)当2π－π≤2≤2π即π－2≤≤π(∈)时，函数f( )＝2cos2是增函数，故函数f( )的单一增区π间是kπ－，kπ(∈)．2【变式题】已知函数f( )＝2sinω·cosω＋cos2ω(ω>0)的最小正周期为π.求ω的值；求函数f( )的单一增区间．4π分析：(1)由于f( )＝2sinω·cosω＋cos2ω＝sin2ω＋cos2ω＝2sin2ωx＋4，因此f( )的最小正T2πππ周期＝＝.由题设知＝π，解得＝1.2ωωωω(2)由(1)知f( )＝2sin2x＋π，函数y＝sin的单一增区间为πππ4[2π－，2π＋](∈)．由2π－≤222ππ3ππ3ππ2＋≤2π＋，∈，得π－≤≤π＋，∈，因此函数f( )的单一增区间为[π－，π＋](∈)．428888考向?三角函数的性质及三角求值的综合应用π例3已知函数f( )＝sin3x＋4.求函数f( )的单一增区间；α4π若α是第二象限角，f＝cos(α＋)·cos2α，求cosα－sinα.354分析：(1)πππ2kππ2kππ由2π－≤3＋≤2π＋，∈得－≤≤＋，∈，242343122ππ2ππ＋12]，∈.因此函数f( )的单一增区间为[3－4，3(2)fαπ4παα＝sinα＋＝cos(＋)(cos2－sin2)，242即(sinα＋cosα)＝·(sinα－cosα)2(sinα＋cosα)．2523π当sinα＋cosα＝0时，α是第二象限角，则α＝2π＋4，∈，此时cosα－sinα＝－2；5当sinα＋cosα≠0时，(cosα－sinα)2＝4.由于α是第二象限角，5因此cosα－sinα＝－2.5综上可得，cosα－sinα＝－2或－.2【注】求函数＝sin(＋)的单一区间是从＋到的运算，就是求的范围使得＋在y＝yAωφωφωφAsin(ω＋φ)能够单一．5自测反应π3已知函数f( )＝2sinω(ω>0)在0，3上单一递加，则ω的取值范围是__0，2__．f( )＝2sinω(ω>0)在0，πππωπ分析：由于函数上单一递加，因此0·ω≥2π－且3≤2π＋，∈.3223由于ω>0，因此当＝0时可得0<ω≤.22.设函数f( )＝A＋Bsin，当B<0311时，f( )的最大值是2，最小值是－2，则A＋B＝__－2__．3A－B＝2，11分析：由题意得1因此A＝2，B＝－1，因此A＋B＝－2.A＋B＝－2，2sinx＋π[1，2)3.若对于的方程＝在[0，π]上有两解，则实数的取值范围是____．4ππ5ππ－2，1，因此2sinπ∈分析：由于∈[0，π]，因此＋∈，，因此sinx＋∈2x＋44444π[－1，2]，由于2sinx＋4＝在[0，π]上有两解，因此∈[1，2)．4.已知函数f( )＝sin2x＋πππ6，若y＝f(－φ)(0<φ<)是偶函数，则φ的值为____．23πππ分析：由于f( )＝sin2x＋，因此y＝f(－φ)＝sin2（x－φ）＋2x－2φ＋.由于y＝f(－66＝sin6φ)是偶函数，因此－ππkππππ2φ＋＝π＋，∈，因此φ＝－2－，∈，由于0<φ<，因此φ＝.626231.求三角函数的定义域其实是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数图象;求解．三角函数求值域时要熟习几种常有形式，主要