数学建模论文-游乐园游客疏导及酒店入住模型

数学建模赛论文游乐园游客疏导及酒店入住模型摘要问题一：游乐园疏导游客随着经济的发展，人们的生活水平提高。当生活必需品已不能满足生活的需要时，精神的娱乐成为新的追求，所以近年来选择去游乐园游玩的旅客越来越多，而对于园方来说，如何高效地疏导日益增多的游客，越来越成为一种必要。一方面为了提高游客的满意度，要尽量使得游客能够游玩所有的园内项目，另一方面游客游玩项目的增多就会使园内各个景点拥堵的可能性增大，如何处理这一对矛盾，合理安排各个景点的人数，尽量避免景点堵塞，游客等待时间过长，是一个亟待解决的问题。问题二：分析影响酒店客流因素并预测1-3月酒店的预定数结合excel软件，用统计函数方法，统计出2015全年的每日酒店房间预定数和入住数，拟合成相应的曲线。考虑到天气、假期、经济、环境等的影响，可以将这些因素对酒店预订和入住数量的影响，用函数的方法表示出来。建立各个因素对入住数的影响函数，根据不同因素的影响程度的不同，给其分配不同的权重，得出总影响函数。使用插值法，结合原先得出的2015年1-3月的入住数的曲线，得出被影响后的房间入住数曲线，这样就可以预测2016年1-3月的每日预定数目。关键字：哈密顿路径比例分配启发式算法游客等待总时间插值法入住指数一、问题重述1.1游乐园疏导模型游乐园成为越来越多年轻人愿意去消费的娱乐场所之一，而园方则要处理怎样及时疏导可能的大客流。以Youth游乐园为例，预计届时将有每天的一万的大客流。怎样及时引导游客并让其较为满意地游玩成了需要解决的问题。游乐园的每个景点都具有各自的荷载能力，当人流较少时处理起来不成问题，但当游客人数不断累积时就考验公园的调度能力了。根据已有的Youth公园信息，建立合理的模型，使游客在尽量少的等待时间内尽量玩更多的设施。1.2酒店入住模型酒店的预定和入住房间数受诸多因素的影响，比较明显的有季节、天气、工作日、节假日等等。定性分析这些因素变量是容易的，也是可以从观察和经验中得来。然而到底这些因素如何影响酒店的预定数和入住数，每种因素的影响大小又是多少，如果要定量算出来，还需要借助一些数学工具来完成。模型假设2.1问题一模型假设(1)根据平日生活经验，游乐园一般为早上9点开园，下午17点停止入园，直到所有游客结束出园为止（这里不考虑夜场）。(2)假设一天之中游客均匀到达游乐园入口处，并且每2分钟从门口进一批游客，每日的游客数量定为12000人。(3)游客步行时间假设为1米/秒(4)模型中游客入园后听从园内工作人员指导。(5)我们假设园内有实时监测系统，能够检测到每一时刻各个景点的人数，这样为拥堵发生时的疏导提供了可能。2.2问题二模型假设(1)在考虑各个因素对每日酒店房间预定数影响时，假设该影响是线性的。(2)假设模型中只考虑4个主要影响因素(3)总影响因素为4个因素的累积形式符号说明3.1问题一符号说明t所有游客游览10个景点的等待时间之和SPi从入口到每个点的最短路径PDi每条路径的总路径长度Hi以i为起始点，入口处为终点的最短哈密顿路径Vi每个景点一次所能容纳游玩的最大的游客人数Ti每个景点不同项目的持续时间Pi每个景点的分配人数占一波游客总人数的百分比CUR当前景点N每一波游客的人数cR当前总人流量（当前已入园的人数）3.2问题二符号说明q1星期指数q2假期指数q3寒暑假指数q4季节指数四、模型的建立与求解4.1问题一分析与建模(1)解决问题主要思想：首先通过简单的假设建立模型，针对十条路线平均分配人数，初步求出游客总的等待时间，再通过修改其中的假设使其更符合现实生活来对整个分配方法进行优化。通过调整不同路线的分配比例使得游客的平均等待时间最小，从而得到模型的最优解。(2)实现方法简述：为简化模型，游客进入游乐园后，按照指定的游玩路线行走，到达指定的景点游客必须游玩（实际可有所变化），直到玩遍园内所有的项目后从出口离开。为了提高游客的满意度，途中我们假定游客已经走过的路段不会再走第二次。采用C++语言编程，利用哈密顿路径的思想，求出每个景点经过其他所有景点并且以入口为终点的最短哈密顿路径路径Hi。园内共有A-J10个景点，每两分钟当游客进入游乐园时，根据比例Pi（例如平均分配）分配给游客景点，游客一旦入园就以最短路径SPi前往指定的起始景点（途中不游玩任何景点），当到达指定的起始景点后，游客随后就按照分配好的哈密顿路径游园，依次经过剩下的9个景点，直到到达终点（入口处）。从10个景点出发将会产生10条不同的线路。算出这10条线路所有游客途中等待的总时间t，通过调整各条路线上的游客比例PTi，将t控制在一个合理的范围，从而实现游客以较少等待时间游玩所有景点的结果。注：哈密顿路径：哈密顿图是一个无向图，由天文学家哈密顿提出，由指定的起点前往指定的终点，途中经过所有其他节点且只经过一次，含有图中所有顶点的路径称作哈密顿路径。）(4)实现详细过程Ⅰ初步建模求出每个景点到入口的最短哈密顿路径Hi（C++代码在附件中给出），得到的10条哈密顿路径分别为：注：上图A-J分表代表10个景点，每一行显示了对应起始点的路径上的景点游览先后顺序（即最短哈密顿路径）。S代表入口（Start），最后一列的数字代表该条哈密顿路线的总长度，根据游客步行速度可将单位转换成秒首先将游客分配到对应景点的比例Pi平均分配为10%。那么每一批进入对应景点的游客人数都应该是固定的（N*Pi），接下来随着时间的推移每个景点的游客开始往相应的哈密顿路径Hi的下一个景点移动（如以A为起始点的路线则有A→J，J→I……），当景点的容纳人数大于游客数目的时候，游客全部在景点游玩。而当出现堵塞时，则后到的游客进行等待，累加游客总等待时间t。以此类推，当一天中8个小时过去之后，不断累积得到所有游客的总等待时间，反映了园内的拥堵情况，从而从侧面反映出该调度算法的优劣。实际编程中实现上述操作之后，得到当天所有游客的总等待时间t为约181540分钟，则换算出，平均每个游客的总等待时间为15.12分钟。为了直观地表现出各个时刻园内总等待人数的情况，我们在程序中添加代码使其能够统计出每分钟的等待游客人数并将其输出成文件，再用excel软件做成图表（表格见附件），所得的结果如下图：可以看出，初步建立的模型中，随着时间的推移，游乐园内的堵塞会越来越严重，几乎是一个线性比例。Ⅱ模型求解对上述建立的初步模型进行求解。在实际生活中，考虑到各个路线的每个景点游玩持续时间和每次游玩容纳游客数的不同，造成堵塞的可能性也将不同，因此平均分配各个路线的游客人数是不够合理的，所以将不同时刻分配的十条路线比例设为参数，寻求更优的游客总等待时间下各比例的值。当某时刻要分配新一批游客入园时，根据实时监测当前园内各个景点的所在人数，对每个景点进行评估，判断各个景点是否存在拥堵状况。判断假如游客走到指定的景点，在到底该景点的时刻，该景点是否存在需要等待的情况。如果有阻塞，那么就将该景点人数分配的比例置为0%，同时将该部分比例的人分配到其他相对比较空闲的景点（只要游客走到该景点时没有堵塞现象）上去，这样做可以减少拥堵发生的可能情况，从而减少游客的等待时间。将之前的模型进行求解，在对应代码总加入一个判断拥堵的条件，并输出结果。实现上述操作，得到当天所有游客的总等待时间t约为105034分钟，换算成平均每个游客的总等待时间为8.75分钟，相对于没有优化前的人均等待时间15.12分钟，平均每个游客的等待时间减少了42.13%，因此模型求解初步完成。同前所述，为了直观地表现出各个时刻园内总等待人数的情况，我们在程序中添加代码使其能够统计出每分钟的等待游客人数并将其输出成文件，再用excel软件做成图表（表格见附件），所得的结果如下图。可以看到的是，游乐园内的等待人数在初期会有上涨，但最终会趋于一个稳定值。Ⅲ模型优化对上述求得的模型进行进一步修改，尝试优化。如上所述，之前假设是：判断游客走到指定的起始景点，若该景点存在有阻塞（游客在等待游玩）的情况，则对应路线不分配游客。更换判定条件，调整为：一旦新一波游客入园时，在前往指定的景点前，由实时监测系统监测出当前园内各个景点的所在人数，判断各个景点是否存在拥堵状况。假如某景点当前游客人数大于景点所能容纳人数，即发生拥堵，那么将分配往该景点的游客人数的比例置为0，将该部分游客分配往当前园内比较空闲的景点，即游客人数小于容纳人数的景点。否则，假如该景点没有拥堵状况，那么便按照原比例分配。这个优化的目的是与上一步中的模型进行比较。凭经验我们的判断是这样优化的效果不如上一步的优化效果，但是由于没有数学证明，所以我们将依靠程序来替我们计算，根据结果判断哪个方案的优化效果更好。修改前面的模型的代码，修改其中的判断条件，使其能够完成上述的优化操作。实现上述操作，得到当天所有游客的总等待时间t约为15402分钟，则换算出，平均每个游客的总等待时间为1.28分钟，相对于上一步中的优化后的人均等待时间8.75分钟，平均每个游客的等待时间减少了85.37%，说明该优化后的结果更适合本题的实际情况。同前所述，为了直观地表现出各个时刻园内总等待人数的情况，我们在程序中添加代码使其能够统计出每分钟的等待游客人数并将其输出成文件，再用excel软件做成图表（表格见附件），所得的结果如下图：3、我们建立的模型中的输出是每次分配游客比例时（即每2分钟）的各个景点的分配人数比例，在编程中提取相应的参数直接输出至文件中，提取到excel表格中进行显示。由于共有2400组数据，样本量比较庞大，所以我们将A-J每个景点的每次分配比例以附件的形式放入文件夹中。同时为了直观地显示最优调度方法中各个景点的比例分配的差异，将优化中的分配结果绘制成图表形式展现在本论文中，图表如下：注：图中划线处代表该景点在对应时刻需要分配人数（即不出现拥挤现象）4.2问题二分析与建模问题二建模分析：分析影响酒店客流因素并预测1-3月酒店的预定数主要思想：统计出2015全年房间入住数，运用层次分析假设一个入住指数关于各影响个因素的函数，并随机取数据点用分段插值法得出入住数关于入住指数的函数，由此来预测2016年相应月份的每日房间预定数。最后由未选取的点给出每个预测的置信度和置信区间。（2）解决方法简述：根据附件中所给的excel中的数据，运用相应的函数统计方法，我们可以求得2015全年的每日房间入住数量，然后绘出相应的变化曲线。对上述数据进行直观地分析统计，得出一些影响酒店入住数量的因素，比如季节气候、节假日、工作日等，运用层次分析法将因素抽象表出为入住指数函数，根据影响因素的大小不同，给这些因素分配不同的权重，然后随机取点云用分段插值法得出酒店每日预订数与入住指数的函数关系。并用未选用的数据点对我们的函数进行统计分析，确定我们给出函数的预测的绝对误差水平和置信区间。根据此关系我们预测2016年1-3月的每天房间预订数。（3）实现详细过程首先我们将附件中的excel表格中的数据进行统计分析，使用sumifs函数统计出2015全年每日该酒店的每日住房数。统计的结果在附件的excel表格中。为了直观地表示每日房间入住数随时间的变化，我们将结果做成折线图，图表结果如下：eq\o\ac(○,1)2015全年该酒店每日入住数随时间变化的情况eq\o\ac(○,2)2015全年该酒店每日预订数随时间变化的情况由上述图表可以看出：由于却少2014年末的预订数据，不考虑1月份的入住数。2月由于农历新年的2.原因，酒店的入住数也维持在一个较低水平。3月和12月入住数相对较低，而其他月份的入住数基本维持在一个较高水平且保持波动。进一步结合2015年日历分析可看出，入住数基本满足一个周期性波动，且这个波动大致以一星期为一周期，且在周末入住数处于波谷，在周中即周三周四处在波峰。7、8月份为暑假时期但入住人数相比6月份没有明显提升反而有所下降，考虑可能的高温对于入住的影响。（4）建模分析模型简述：将每日入住数y抽象为一个关于入住指数x的单调增函数，且入住指数由星期指数QUOTE直接决定。并假设入住指数x为四个影响指数的迭乘x＝QUOTE入住指数的确定：由于考虑每天的住房数y为入住指数x的函数，现分析讨论确立入住指数x的数学表达式。由于每天的入住数与季节、工作日／周末、节假日、寒暑期有关，因而考虑入住指数由这些因素直接决定。并运用层次分析法决定这些因素在确定入住指数中的权重。具体逻辑图如图初步确定各指数中数值的组成。其中星期指数QUOTE由星期决定具体取值：QUOTE星期一QUOTE星期二

QUOTE星期三

QUOTEQUOTE星期四

QUOTE星期五QUOTE星期六QUOTE星期七假期指数由是否为假期决定取值，假期时为QUOTE，非假期为QUOTE，春节为QUOTE。寒暑期指数由是否为寒暑期决定其取值：暑期为QUOTE，寒假为QUOTE,全都不是为QUOTE。季节指数则由春夏秋冬分别为QUOTE。运用2015年入住数表确定各指数的权重及其具体取值的相对大小。1）首先确定各指数取值的相对大小对于星期指数，由入住数一年内变化图可见，入住数满足以七天为周期，周三为峰，周日为谷的周期性波动。因此确定星期指数的相对大小排布由大到小：QUOTE。对于假期指数，根据常理即图表中其他因素相同的对比可得，QUOTE,且由于特殊文化习俗，春节期间的入住数几乎为零，所以设定QUOTE对于寒暑期指数，由图表显示，二月份和七八月份的入住率同比同季节的三月份和六月份有所下降，且二月份的入住数下降明显。因此有理由假定QUOTE;对于季节指数，对各个月份分别求入住数平均值，并将最终数据反映在如下表中／2月3月4月5月6月／1.4316.16147.47146.97161.777月8月9月10月11月12月146.48147.13153.63151.55156.03133.29由表中数据显示可得，9、10、11月所代表秋季相对入住数更大，由于入住数为关于入住指数的单调递增函数，所以入住指数也相对更大；6、7、8月代表的夏季次之，3、4、5月代表春季更少，而冬季的入住数则为最低。因而有理由将季节指数相对大小安排为QUOTE。2）各指数具体值之间的相对权重比较通过将入住数分段的方法，通过比较入住数相当的不同日期之间的不同指数取值，确立各指数具体值的相对大小。入住数分段即相应日期如下图表200-20611/10,6/24,11/11,5/27,6/15190-1949/11,6/2,11/17,4/16,11/18178-1815/15,6/18,10/13,10/3,9/3,4/29,5/16161-16411/26,4/24,8/11,9/12,5/24,6/5,7/14,10/5,11/5147-1507/4,8/13,10/17,5/20,8/18,4/4,6/6,7/31,7/22134-13710/18,5/6,12/28,5/29,6/27,12/24,8/30,10/23100-11012/6,5/22,11/15,12/14,6/28,10/9将上述各行信息可转化为7条数学表达式：QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTEQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTEQUOTE综合考虑上式关系，现给出较为合理的各指数具体值。入住指数的表出：最终入住指数表示为x＝QUOTE4）运用分段插值法求出各入住数和入住指数之间的函数关系。将入住数划分为若干个区段，分别求每段内的入住指数平均值。得出结果如下表：2032.141931.8671821.5811731.4921631.4011531.3871421.3461321.1591221.131051．021900.91依据分段两点插值公式，S(QUOTE)=QUOTEi=1,2,…..11;最终得出S(x)=y的函数为S(x)=135x-32.80.91<x<1.021156x-541.021<x<1.13345x-2671.13<x<1.15953x+701.159<x<1.346268x-2191.346<x<1.387714x-8371.387<x<1.401110x-91.401<x<1.492101x+221.492x<1.58138x+131.581<x<1.86737x+1241.867<x<2.14上述S(x)的分段形式即为入住人数随入住指数变化的函数。在附件中的excel中已经给出2015年的入住指数，要想预测2016年1-3月份的每日预定人数，只需要将2015各个日期的入住指数带入即可。2015年1-3月的每日入住指数见附件中的《问题2》（excel）五、模型评价与展望5.1游乐园游客疏导模型误差分析现实生活中，游客到达游乐园游玩的时间点应该有个峰值，而为了简化计算我们选择了平均到达。同样的，选择每两分钟放一批游客进入一方面是为了限制人数，另一方面也是考虑到了数据处理的问题。其次，在此为了考虑大多数游客的满意度，选择强制让他们游玩园内所有景点，并不走回路，而事实上许多游客可能对某景点不感兴趣而直接跳过，或是喜欢来回走回路等等。使用平均等待时间这个概念，是为了量化游客的满意度，但事实是这并不是游客满意度的唯一标准。此外，并没有将游客在路途中因休息而产生的滞留时间纳入考虑也是模型的不足之一。（2）模型评价该游乐园平均每日接待游客人数约为1万多，若按均匀到达游乐园来计算，平均每2分钟将有50人左右进入游乐园，若按常规方案，这些游客都从入口出发就开始游玩各个景点，很有可能造成入口处有大量游客在等待，靠近入口处的景点堵塞而远离入口处的景点还没有游客进入的情况，尤其因为该游乐园地图的特殊性，在靠近入口的A点处，游乐项目持续时间长达33分钟，很有可能在A点处造成拥堵。因此为了减少这种情况的发生，为了减少游客的等待时间，我们将从入口进来的游客直接按比例分散至各个景点，然后从该景点寻找一条可以经过园内所有景点并且以出口为终点的最短路线（哈密顿路径），这样能够减少等待时间并且可以满足游客尽可能玩遍园内所有项目的需求。由于由入口直接到指定景点这部分的时间，跟造成堵塞时所需的等待时间相比要小得多，甚至可以忽略。所以这种调度的做法是可行的。这部分求最短路径参考哈密顿路径。这一题的解决思路，用到了数学建模里面的优化思想，即首先分析问题，将实际问题抽象，转化为数学问题，再将该问题设置以适当的符合实际情况的假设。在假设的基础上算出结果。然后进一步修改之前假设中不合理的地方，一步步优化，最终得到一个比较理想的结果。虽然这种建模方法缺少函数和数学论证，但是一步步优化也能得到比较理想的结果。模型展望尽管游客的自主选择权应纳入考虑，但现实生活中已有大量的公共场所实行入园分流的措施，即分配不同的路径供游客选择。此模型中虽然有点极端，强制游客