微分中值定理与导数

第3章微分中值定理与导数的应用3.1微分中值定理习题3-1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值.，；，..验证拉格朗日中值定理对函数在区间上的正确性，并求出满足定理的数值..试证明对函数应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间..一位货车司机在收费亭处拿到一张罚款单，说他在限速为65公里/小时的收费道路上在2小时内走了159公里.罚款单列出的违章理由为该司机超速行驶.为什么？.函数与在区间上是否满足柯西中值定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值..设在上连接，在内可导，求证：存在，使得..若函数在内具有二阶导函数，且，证明：在内至少有一点，使得..证明：方程只有一个正根..证明下列不等式：当，时，;当时，；当时，；当时，；当时，..证明下列等式：;..设函数在上连续，在内有二阶导数，且有，，试证在内至少存在一点，使..设在上连续，在内可导，证明：在内至少存在一点，使得..设函数在上连续，在内可导.试证明至少存在一点，使..设函数在的某邻域内具有阶导数，且，试用柯西中值定理证明：.§3.2洛必达法则习题3-2.用洛必达法则求下列极限：；；；；；；；；；；；；；；；；；；；..验证极限存在，但不能用洛必达法则求出..若有二阶导数，证明..设当时，是比高阶的无穷小，试确定和的值..讨论函数在点处的连续性.§3.3泰勒公式习题3-3.按的幂展开多项式..求函数在处的四阶泰勒公式..求函数带有拉格朗日型余项的三阶麦克劳林公式..求函数的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式..求函数按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式..求函数在处的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式..计算的近似值，使误差小于0.01..用泰勒公式取，求的近似值，并估计其误差..利用函数的泰勒展开式求下列极限:;.§3.4函数的单调性与极值习题3-4.证明函数单调增加..判定函数的单调性..求下列函数的单调区间：.．证明下列不等式：当时，;当时，;当时，;当时，．试证方程有且仅有一个实根..求下列函数的极值：;;;;;.．试问为何值时，函数在处取得极值，并求此极值.§3.5函数的最值及应用习题3-5.求下列函数的最值:;;;..求数列的最大项..问函数在何处取得最小值？.从一块边长为的正方形铁皮的四角上截去同样大小的正方形，然后按虚线把四边折起来做成一个无盖的盒子如图3-5-11所示，问要截去多大的小方块，才能使盒子的容量最大？图3-5-11图3-5-12.光源的光线射到平面镜的哪一点在反射到点，光线所走的路径最短？如图3-5-12所示.设工厂到铁路线的垂直距离为20,垂足为，铁路线上距离为100处有一原料供应站，如图3-5-13.现在要在铁路段处修建一个原料中转车站，再由车站向工厂修一条公路.如果已知每的铁路运费与公路运费之比为3:5，那么，应选在何处，才能使从原料供应站运货到工厂所需运费最省？图3-5-13.甲船以每小时浬的速度向东行驶，同一时间乙船在甲船正北浬处以每小时浬的速度向南行驶，问经过多少时间两船距离最近？.一抛射体以速度和抛射角发射.它经过多长时间沿水平方向行进千米？.求最大射程为千米的枪的枪口速度..假设高出地面的一个足球被踢出时，它的初速度，并与水平线成角.假定足球被踢出后在空中的运动过程中受到的阻力为零，.足球何时达到最大高度，且最大高度是多少？求足球的飞行时间和射程..光学中的费马原理说光线从一点到另一点永远行进最短的路径行进.如图3-5-14所示，从光源出发，从一平面镜反射到一接受点.试证明入射角一定等于发射角.图3-5-14.设生产某产品时的固定成本为元，可变成本与产品日产量吨的立方成正比，已知日产量为吨时，总成本为元，问:日产量为多少吨时，能使平均成本最低？并求最低平均成本假定日最高产量为吨..某零售电器商店每年销售台电视机.库存一台电视机一年，商店需要花费元.为了再订购，需付元的固定成本，再每台另付元.为了最小化存货成本，商店应按多大的批量再订购且每年应订购几次？.某家电厂在生产一款新冰箱，它确定，为了卖出台冰箱，其单价应为.同时还确定，生产台冰箱的总成本可表示成.求总收入.求总利润.为使利润最大化，工厂必须生产并销售多少台冰箱？最大利润是多少？为实现这一最大利润，其冰箱的单价应定为多少？.根据连续记录，某影院测定，如果入场票是元，则影院取人为观影的平均人数.但是每提价元，影院就从平均人数中失去个顾客.每位顾客在让价上平均花费元.为使总利润最大化，影院应当确定的入场票价是多少？§3.6曲线的凹凸性与拐点习题3-6.求下列函数的凹凸区间及拐点：;;;;;..利用函数图形的凹凸性，证明不等式:;，;..试证明曲线有三个拐点位于同一直线上..问及为何值时，点为曲线的拐点？.试确定曲线中的、、、，使得在处曲线有水平切线，为拐点，且点在曲线上.§3.7函数图形的描绘习题3-7.求下列曲线的渐近线:;;;;;..描绘下列函数的图形:;;;;.总习题三.设在上可导，且，对任何一个都有，试证：在内，有且仅有一个数，使..设，在上连续，在内可导，且，证明：在内至少存在一点，使得..设在上具有二阶导数，且.若，证明：至少存在一点，使得.4.设在上可微，且，，，试证明在内至少有两个零点..设在上连接，在内可导，且，，试证：对任意给定的正数,,在内存在不同的，，使..设在上连续，在内可导，证明：在内存在点和，使..设可导，试证的两个零点之间一定有函数的零点..设，证明方程在内至少有一个实根..设在上处处有，且，，证明在内方程仅有一实根..设函数在上可导，且，则在内存在一点，使得..用洛必达法则求下列极限：;;;;;..设，求..当与为何值时，..设，其中具有二阶连续导数，且，，求..证明不等式:当时，..设在的某个邻域内有二阶导数，且，求..求的四阶麦克劳林公式..证明不等式:当时，..利用函数的泰勒展开式求下列极限:;..若，求..求一个二次多项式，使，式中代表时比高阶的无穷小..求下列函数的单调区间:;;..证明下列不等式:当时，;当时，当时，;设，则;当时，..证明下列不等式:设，证明:;设，证明:..求下列函数图形的拐点及凹凸区间:;;..利用函数图形的凹凸性，证明不等式:当时，有..设在处有极值-2，试确定系数与，并求出的所有极值点及拐点..设逻辑斯蒂函数，其中，.证明：若，则在上是增函数；若，则在上是减函数;证明是的拐点..求下列函数的极值:;;;..求下列函数的最大值、最小值：,;,..设,求的最大值..求数列的最小项