20132019高考文科数学分类汇编第十章曲线与方程题型128中点弦问题

题型128中点弦问题2015年1.（2015全国II文20）已知椭圆C：x2y221ab0的离心率为，a2b22点(2,2)在C上.(1)求C的方程.(2)直线l可是原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.a2b22剖析(1)由题意可得a2由此可得C的方程；

，则421，可得a28，b24.a2b2(2)设直线l的方程为ykxb，代入(1)所得的方程，联立得：2k21x24kbx2b280，所以xMx1x22kb，yMkxMb，22k21yMb于是有kyM1.所以kOMk1，即为定值.2k2+1OMxM2k2a2b22分析(1)由题意有a2

，421，解得a28，b24.22ab所以C的方程为x2y21.84(2)设直线l：ykxbk0，b0，Ax1，y1，Bx2，y2，MxM，yM.将ykxx2y22k21x2+4kbx2b280.b代入1得84故xMx1x22kb，yMkxMbb1.22k212k2于是直线OM的斜率kOMyM1，即kOMk1.xM2k2所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.评注分析几何是高考必考内容之一，在命题时多从考察各样圆锥曲线方程中的基本量关系及运算，在直线与圆锥曲线关系中.一般用方程的思想和函数的看法解决问题，并会联合中点坐标，方程根与函数关系求解.2016年x2y21ab0的一个焦点与短轴的两个端点1.（2016四川文20）已知椭圆E：2b2a是正三角形的三个极点，点P3,1在椭圆E上.2（1）求椭圆E的方程；（2）设可是原点O且斜率为1的直线l与椭圆E交于不一样的两点A，B，线段AB的2中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：MAMBMCMD1.分析（1）由已知得，a2b.又椭圆x2y23,1311ab0过点P，故41，解得b21.a2b224b2b2所以椭圆E的方程是x2y21.4（2）设直线l的方程为y1xmm0，A(x1,y1)，B(x2,y2).2x2y21由方程组422mx220①1x，得x2mym2方程①的鉴别式为（2），由0，即2m20，解得2m2.42m由①得，x1x22m，x1x22m22.所以点M坐标为m，直线OM的方程为y1m,x，22x2y21422由方程组，得C2,2,12，D.yx22所以MCMD5m252m52m2.224又MAMB121xx225xx24xxAB2yy2224411161154m242m2252m2.所以MAMB=MCMD.1642.（2016江苏22）如下图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线

ylCl:xy20，抛物线C:y22pxp0.（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

Ox（2）已知抛物线C上存在对于直线l对称的相异两点P和Q.①求证：线段PQ上的中点坐标为2p,p；②求p的取值范围.2.分析1l:xy20，所以l与x轴的交点坐标为2,0，（）由于即抛物线的焦点为2,0，所以p2，故y28x.2（2）解法一：①设点Px1,y1，Qx2,y2，y12y12x12px1y1y22p，得2p，故kPQ，则由2pxy12y22y1y2y2222y2x22p2p2p又由于P,Q对于直线l对称，所以kPQ1，即y1y22p，y1y2p，又由于PQ中点必定在直线l上，所以2x1x2y1y222p，故线段PQ上的中点坐标为2p,p；所以22②由于中点坐标为2p,p，y1y22py1y22p所以y12y22，即2，x2228p4px12p42py1y2y1y22p，即对于y的二次方程y22py4p24p0有两个不等根，所以4p24py1y2所以2p44p24p0，解得p0,4.23解法二：设点1,y1，22，线段PQ的中点00，PxQx,yMx,y由于点P和Q对于直线l对称，所以直线l垂直均分线段PQ，于是直线PQ的斜率为1，则可设其方程为yxb.①由y22px消去x得y22py2pb0，（*）yxb由于P和Q是抛物线C上的相异两点，所以y1y2，20，化简得p2b0.进而2p42pb方程（*）的两根为y1,2pp22pb，进而y0y1y2p.2由于Mx0,y0在直线l上，所以x02p.所以，线段PQ的中点坐标为2p,p.②由于M2p,p在直线yxb上，所以p2pb，即b22p.由①知p2b0，于是p222p0，所以4p3所以p的取值范围为0,4.32018年1.（2018全国Ⅲ文20）已知斜率为k的直线l与椭圆C：x2y21交于A，B两点．线段43AB的中点为M1，mm0．（1）证明：k1；2（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FPFAFB0．证明：2FPFAFB．分析（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x12y121，x22y221．4343两式相减，并由y1y2=k得x1x2y1y2k0．x1x243由题设知x1x21，y1y2m，于是k3．224m23由于点M1，mm0在椭圆的内部，所以1m1，解得0m1．，故k4322（2）由题意得F1，0．设Px3,y3，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0)．由（1）及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0．又点P在C上，所以m3，进而P1