高中数学第二讲直线与圆位置关系三圆切线性质判定定理创新应用教学案1数学案

三圆的切线的性质及判断定理[对应学生用书P25]1．切线的性质性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．如图，已知AB切⊙O于A点，则OA⊥AB.推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．2．圆的切线的判断方法定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线．数目关系：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线．定理：过半径外端点且与这条半径垂直的直线是圆的切线．此中(2)和(3)是由(1)推出的，(2)是用数目关系来判断，而(3)是用地点关系加以判断的．[说明]在切线的判断定理中要分清定理的题设和结论，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不行，不然该直线就不是圆的切线．[对应学生用书P25]圆的切线的性质[例1]如图，已知∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12.求⊙O的半径．[思路点拨]⊙O切AB于点E，由圆的切线的性质，易联想到连结

OE结构

Rt△OAE，再利用相像三角形的性质，求出⊙

O的半径．[解]

连结

OE，∵AB与⊙O切于点

E，∴OE⊥AB，即∠

OEA＝90°.∵∠C＝90°，∠

A＝∠A，∴Rt△ACB∽Rt△AEO，OEAO∴＝.BCAB∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13，OE

12－OE∴5＝

13

，10∴OE＝3.10即⊙O的半径为3.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需增添协助线，此中连结圆心和切点的半径是常用协助线，进而能够结构直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相像求解等．1．如图，AB切⊙O于点B，延伸AO交⊙O于点C，连结BC.若∠A＝40°，则∠C＝( )A．20°B．25°C．40°D．50°分析：连结OB，由于AB切⊙O于点B，因此OB⊥AB，即∠ABO＝90°，因此∠AOB＝50°.又由于点C在AO的延伸线上，且在⊙O上，1＝25°.因此∠＝∠C2AOB答案：B如图，已知PAB是⊙O的割线，AB为⊙O的直径．PC为⊙O的切线，C为切点，BD⊥PC于点D，交⊙O于点E，PA＝AO＝OB＝1.(1)求∠P的度数；求DE的长．解：(1)连结OC.C为切点，∴OC⊥PC，△POC为直角三角形．OC＝OA＝1，PO＝PA＋AO＝2，OC1sin∠P＝＝.∴∠P＝30°.PO2∵BD⊥PD，∴在Rt△PBD中，由∠P＝30°，PB＝PA＋AO＋OB＝3，3得BD＝2.连结AE.则∠AEB＝90°，∴AE∥PD.∴∠EAB＝∠P＝30°，∴BE＝ABsin30°＝1，1DE＝BD－BE＝2.圆的切线的判断[例2]已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．[思路点拨]连结OB，OC，OD→∠BOD＝90°→∠OBC＝∠OCB＝30°→∠ABO＝90°→结论.[证明]如图，连结OB，OC，OD，OD交BC于E.∵∠DCB是BD所对的圆周角，BOD是BD所对的圆心角，BCD＝45°，∴∠BOD＝90°.∵∠ADB是△BCD的一个外角，∴∠DBC＝∠ADB－∠ACB60°－45°＝15°，∴∠DOC＝2∠DBC＝30°，进而∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°.在△OEC中，由于∠EOC＝∠ECO＝30°，∴OE＝EC，在△BOE中，由于∠BOE＝90°，∠EBO＝30°.∴BE＝2OE＝2EC，CECD1∴＝＝，BEDA2AB∥OD，∴∠ABO＝90°，故AB是△BCD的外接圆的切线．要证明某直线是圆的切线，主假如运用切线的判断定理，除此之外，还有圆心到直线的距离等于半径等判断方法，但有时需增添协助线结构判断条件，此中过圆心作直线的垂线是常用协助线．3．本例中，若将已知改为“∠ABD＝∠C”，如何证明：AB是△BCD的外接圆的切线．证明：作直径BE，连结DE，BE是⊙O的直径，∴∠BDE＝90°，∴∠E＋∠DBE＝90°.∵∠C＝∠E，∠ABD＝∠C，∴∠ABD＋∠DBE＝90°.即∠ABE＝90°.∴AB是△BCD的外接圆的切线．1如图，△ABC内接于⊙O，点D在OC的延伸线上，sinB＝2，∠D＝30°.求证：AD是⊙O的切线．若AC＝6，求AD的长．解：(1)证明：如图，连结OA，1∵sinB＝2，∴∠B＝30°，∵∠AOC＝2∠B，∴∠AOC＝60°，∵∠D＝30°，∴∠OAD＝180°－∠D－∠AOC＝90°，∴AD是⊙O的切线．∵OA＝OC，∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6，∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝3AO＝63.圆的切线的性质和判断的综合考察[例3]如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延伸线于E，⊙O的切线BF交AD的延伸线于点F.求证：DE是⊙O的切线；若DE＝3，⊙O的半径为5，求BF的长．[思路点拨](1)连结OD，证明OD⊥DE；作DG⊥AB.[证明](1)连结OD，∵D是中点，∴∠1＝∠2.OA＝OD，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.OD∥AE.∵DE⊥AE，∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．过D作DG⊥AB，∵∠1＝∠2，∴DG＝DE＝3.2在Rt△ODG中，OG＝5－3＝4，∴AG＝4＋5＝9.DG⊥AB，FB⊥AB，∴DG∥FB.∴△ADG∽△AFB.DGAG∴＝.BFAB∴3＝9.∴＝10.BF103对圆的切线的性质与判断的综合考察常常是热门，其解答思路经常是先证明某直线是圆的切线，再利用切线的性质来求解有关结果．如图，已知两个齐心圆O，大圆的直径AB交小圆于C、D，大圆的弦EF切小圆于C，ED交小圆于G，若小圆的半径为2，EF＝43，试求EG的长．解：连结GC，则GC⊥ED.∵EF和小圆切于C，1EF⊥CD，EC＝2EF＝23.又CD＝4，∴在Rt△ECD中，2有ED＝EC＋CD＝232＋42＝27.2由射影定理可知EC＝EG·ED，223267∴＝EC＝27＝.EGED76．如图，以Rt△ABC直角边AC上一点O为圆心，OC为半径的⊙O2与AC的另一个交点为E，D为斜边AB上一点且在⊙O上，AD＝AE·AC.(1)证明：AB是⊙O的切线；(2)若DE·OB＝8，求⊙O的半径．解：(1)证明：连结OD，CD，2∵AD＝AE·AC，ADAC∴＝.又∵∠DAE＝∠DAC，AEAD∴△DAE∽△CAD，∴∠ADE＝∠ACD.OD＝OC，∴∠ACD＝∠ODC，又∵CE是⊙O的直径，∴∠ODE＋∠CDO＝90°，∴∠ODA＝90°，∴AB是⊙O的切线．∵AB，BC是⊙O的切线，OB⊥DC，∴DE∥OB，∴∠CED＝∠COB，∵∠EDC＝∠OCB，∴△CDE∽△BCO，DECE2∴＝，DE·OB＝2R＝8，COBO∴⊙O的半径为2.[对应学生用书P27]一、选择题1．以下说法：①与圆有公共点的直线是圆的切线；②垂直于圆的半径的直线是圆的切线；③与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；④过直径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线．此中正确的有

(

)A．①②

B．②③C．③④

D．①④答案：C2．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于D.AB＝6，BC＝8，则BD等于()A．4B．4.8C．5.2D．6分析：∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AC.BC是⊙O的切线，∴AB⊥BC.AB＝6，BC＝8，∴AC＝10.AB·BC∴BD＝AC＝4.8.答案：B3.如图，CD切⊙O于B，CO的延伸线交⊙O于A，若∠C＝36°，则∠ABD的度数是( )A．72°B．63°C．54°D．36°分析：连结OB.CD为⊙O的切线，∴∠OBC＝90°.∵∠C＝36°，∴∠BOC＝54°.又∵∠BOC＝2∠A，∴∠A＝27°，∴∠ABD＝∠A＋∠C＝27°＋36°＝63°.答案：B4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于，若＝，则sin∠等于( )CADDCACO102A.10B.1052C.D.54分析：连结BD，则BD⊥AC.AD＝DC，∴BA＝BC，∴∠BCA＝45°.BC是⊙O的切线，切点为B，∴∠OBC＝90°.∴sin∠BCO＝OBOB5，＝＝5OC5OBBC2OB25cos∠BCO＝＝＝.OC5OB5sin∠ACO＝sin(45°－∠BCO)＝sin45°cos∠BCO－cos45°sin∠BCO22525102×5－2×5＝10.答案：A二、填空题5．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上一点，以M为圆心、2为半径作⊙M.若点M在OB边上运动，则当OM＝________时，⊙M与OA相切．分析：若⊙M与OA相切，则圆心M到直线OA的距离等于圆的半径2.过M作MN⊥OA于点N，则MN＝2.在Rt△MON中，∵∠MON＝30°，∴OM＝2MN＝2×2＝4.答案：46．已知

PA是圆

O的切线，切点为

A，PA＝2，AC是圆

O的直径，

PC与圆

O交于

B点，PB＝1.则圆

O的半径

R＝________.分析：AB＝

22AP－PB＝

3.2由AB＝PB·BC，BC＝3，Rt△ABC中，22AC＝AB＋BC＝23.R＝3.答案：37．圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则∠DAC＝________，DC＝________.分析：连结OC，OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.又∠DCA＋∠ACO＝90°，ACO＋∠OCB＝90°，∴∠DCA＝∠OCB，∵OC＝3，BC＝3，∴△OCB是正三角形．∴∠OBC＝60°，即∠DCA＝60°.∴∠DAC＝30°.2在Rt△ACB中，AC＝AB－BC＝33，3DC＝ACsin30°＝23.33答案：30°三、解答题

2如下图，D是⊙O的直径AB的延伸线上一点，PD是⊙O的切线，P是切点，∠D＝30°.求证：PA＝PD.证明：如图，连结OP，PD是⊙O的切线，P为切点．∴PO⊥PD.∵∠D＝30°，∴∠POD＝60°.又∵OA＝OP，∴∠A＝∠APO＝30°.∴∠A＝∠D.∴PA＝PD.如图，已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D点作⊙O的切线交AC于E.求证：(1)DE⊥AC；2(2)BD＝CE·CA.证明：(1)连结OD，AD.DE是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥DE.AB是⊙O的直径，AD⊥BC.又AB＝AC，BD＝DC.OD∥AC.∴DE⊥AC.∵AD⊥BC，DE⊥AC，∴△CDE∽△CAD.CDCE2∴＝.∴CD＝CE·CA.CACD2∴BD＝DC.∴BD＝CE·CA.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA均分∠BDE.(1)求证：AE是⊙O的切线；若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．解：(1)证明：连结OA.DA均分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA.OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD.∴∠OAD＝∠E