空间向量与立体几何.板块四.用空间向量计算距离与角度.学生(高中数学选修题库)

典例分析与角度典例分析与角度板块四用空间向量计算距离A1【例】在正方体AC中DF，求与DF所成角的余弦44值．【例】直三棱柱ABCAC中ACAB．求证：AC．C1A1

B1CAB【例】如图所示，在底是直角梯形的四棱锥ABCD中，ABC平面ABCD，SAABBCADC

12

．求面SCD与所成的二面角的正切值．D【例】已知(03)，(6)，C，求方向向量为j直线与平面ABC所角的余弦值．【例】已知平行六面体A

中，，AD，AABAA90求AC

的长'DAD

B'

C【例】如图直角梯形OABC中

π，2，OAAB，平面2OABCSOOCOA分别为x轴轴建立直角坐标系O．⑴求SC与OB的角大小（用反三角函数表示

⑵设np)满足n平SBC，①的标；②OA与面SBC的夹角（用反三角函数表示③O到面SBC的离．

【例】如图四棱锥PABCD中，底面是平行四边形，平ABCD，足为，在上，且AG，BGGC，GC，是的中点．⑴求异面直线GE与所的角的余弦值；⑵求点D平面PBG的距离；⑶若F点是棱PC上点，且，PF

FC

的值．A

DB

E

【例】已知EF分别是方体ABCDC的和CD中点，求⑴AD与EF所角的大小；⑵A与平面BEB成角的大小；⑶二面角DB的小．【例】长方体ABCDCD中，BC4，为与BD的交点，F为BC与C的交点，又AFBE，求长方体的高BB；⑵二面角B的大小．【例10】如图：在空间四边形ABCD中、、BD两两垂直，且BC2，EAC的中点，异面直线和所成的角为arccos角的弦值．

1010

，⑴BD的长度⑵二面

D

C【例11】如图，柱BC，，D、为AA、B的中BCC⑴证明：．⑵设二面角为BC与面所角的大小．A

BDEA

B【例12】如图，在直三棱柱ABCABC，AAAB，求面角ACC的大小．

【例13】柱ABCACBDEAB的E面ABDG⑴求B与面ABD成角的余弦值；⑵求点平面的距离．

C

DGCB【例14】如图，四棱锥S中，底面ABCD为矩，底面，AD，2．M在侧棱上，ABM⑴证明：M是侧棱的中点；⑵求二面角SAM的大小．SMD

CA

B【例15】如所示边长为2的正方形和为2的角梯形ADEF所的平面互相垂直且，ED∥DAF90⑴求BD和面BEF所的角的余弦；⑵线段EF上是否存在点使、AC三的平面和直线DB直，若存在，求EP与PF比值；若不存在，说明理由．DEC

【例16】如图，在空间四边形中，4，，OAB求与的夹角的余弦值．

【例17】如图，柱AAB面CE为C、，EB，已知BB求：⑴异面直线AB与的离；⑵二面角A平面角的正切值．

，BCC

π3A

A

B

B

E

【例18】如图，在棱长为1正方体ABC中，、F、分别是C、AD、的中点，取如图所示的空间直角坐标系，⑴写出A、B、E、的标；⑵求证：AE，CFAE；⑶求异面直线EF与AG所角的余弦值．D

E

FA

BD

G

CA

B【例19】如图，在棱长为1正方体ABC中，、F、分别是C、AD、的中点，⑴求证：，且AE；⑵求异面直线EF与AG所角的余弦值．⑶写出平面的一个法向量．D

E

FA

BD

G

CA

B【例20】如图，在直四棱柱ABCD中，底面是边长为1的形，侧棱长为．⑴B与AD能否垂直？请证明你的判断；

33ππ⑵当A在[，]上化时，求异面直线AC与AB所成角的取值范围．ABABC

DD

【例21】如图知四棱锥ABCD的底面是平行四边形面A足在AD上是等腰直角三角形，BE，四面体的体积为．

D

C⑴求面PBC与底面所成的锐二面角的余值；⑵求点A到的离；⑶若点F在直线上，且面BEF，求

PC

的值．【例22】如所示边长为2的正方形和为2的角梯形ADEF所的平面