立体几何知识点经典习题

立体几何知点和典型例一、柱、锥台、球的结构特点（1棱柱：念有两个面相平行，其余各面都是四边形，且每相邻个四边形的公共边都互平行，由这些面所围成的几何体。分类以底面多边的边数作为分的标准分为三棱柱四棱柱、五柱等。表示用各极点字，如五棱柱ABCDE

'

'

C

'

D

'

'

或用对角线端点字母，如五棱柱AD'几何特点：底面是对应平行的全等多边形；侧面、对角面都是行四边形；侧棱平行且相；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2棱锥概念有一个面是边形，其余各都是有一个公共极的三角形，这些面所围成的几何体分类以底面多边的边数作为分的标准分为三棱锥四棱锥、五锥等表示用各极点字，如五棱锥P'B'C''几何特点：面、对角面是三角形；平行于底面的截面与底面相，其相似比等于极点到截距离与高的比的平方。（3棱台：念用一个平行棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间部份分类以底面多边的边数作为分的标准分为三棱态四棱台、五台等表示用各极点字，如五棱台P

'

'

C

'

D

'

'几何特点：上下底面是似的平行多边形②侧面是形③侧棱交于原棱锥的极点（）圆柱：概念以矩形的一边所在的直线为轴旋转其余三边旋转所成的曲所围成的几何几何特点：底面是全等圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的径垂直；④侧面展开图是个矩形。（）圆锥：概念以直角三角形的一条直角边为旋转轴旋转一周所成曲面所围成的几何体几何特点：底面是一个；②母线交于圆锥的极点；③侧面展开是一个扇形。（6圆台：念用一个平行于圆锥底面的平面去圆锥，截面和底面之间的部份几何特点上下底面是个圆；②侧面母线交于圆锥的极点③侧面展开图是一个弓形。（7球体：念以半圆的直径所在直线为旋转轴半圆面旋转一周形成几何体几何特点球的截面是；②球面上任意一点到心的距离等半径。

h21圆台侧面积233二、空间何体的视图h21圆台侧面积233概念三视图视光线从几何的前面向后面正投影（从左向右俯视图（从向下）注：正视图映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物的高度和长度；俯视图反映物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的度和宽度；侧视图反映物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的度和宽度。3空间几何的直观——斜测画法斜二测画特点：①原先与x轴平行的线段仍然与平行且长度变；②原先与y轴平行的线段仍然与平行，长度原先的一半。4柱体、锥、台体表面与体积（1几何体表面积几何各个面的积的。（2特殊几体表面公式c为底面长，为高，为斜高，l为线）S

ch直棱柱侧面

2圆柱侧

1正棱锥侧面

ch'

圆锥侧面积

rl(c)'r面12S圆柱表圆锥表（3柱体、体、台的体公式

S

圆台表

rrlRl

V柱

柱

Sh

r

2

h

1V锥

h1(台

'

S

'

)h

台

11(SS')(rrR)33（4球体的面积和积公：V球4空间点、线、平的位关系

43

3

；

球面

2（1平面①平面的概念A.描述性明；B.面是无穷伸的；②平面的表示通经常使用希腊字母α、β、γ表，如平面α（常写在一个角内也能够用两相对极点的字母来表示，如平面BC。③点与平面的系：在平面内记作AA不在平面内记作

点与直线关系点A直线l上记作Al点A在直线l记作Al；直线与平的关系：直线l在平面α，记作lα；直线l不在平面α内，作l。（2公理1：是一条直线的两点在一个平面，那么这条线是所有的点都在那个平面内。（即直线在面内，或平面通过直线）应用：验桌面是不是平；定直线是不是在平面内用符号语表示公1：Al,B,Bl（3公理2：通过不在同一条线上的三点，有且只有一个平面。推论：直线和直线外一点确信一平面；两相交直线确信平面；两平行直线确信一平面公理及其推作用：它是空间内信平面的依据②它是证明面重合的依据（4公理若是两个不重的平面有一公共点那么它们有只有一条过该点的公共直线符号：面α和β相交，交线a，记作α∩β＝。符号语言PA公理3的作：①它是判定个平面相交的方式。②它说明两平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交必过公共点。③它能够判点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5公理：平行于同一条直线的两条直线相互平（6空间直与直线间的置关系①异面直线概：不同在任何一个平面内两条直线②异面直线性既不平行，不相交。③异面直线判过平面外点与平面内点的直线与平面内只是店的直线是面直线④异面直线所角：直线、b是面直线，通过空间任意一点O，别离引直线’∥’∥b，则把直线’和b所成的锐角（直角）叫做异面直ab成的角。两条异面直所成角的范围是（0，°]，若两条异面直线所成的角直角，咱们就说这两条面直相互垂直说明1）定空间直线是异面直线方式：①依照异面线的概念；②面直线的判定定理（）在异面直线所成角概念，空间一点O是任取的，和点O的位置无关。②求异面直所成角步骤：A、利用概念构造角，可固定一条，平移另一，或两条同时平移到某个特殊的位置，极点选特殊的位置上。B、证明作出的角即为求角C、利用三角形来求角（）角定：若是一角的两和另个角的两别离行，那么两角相或互补。（8空间直与平面间的置关系直线在平面——有无数个公共点．

三种位置系的符表示aα∩α＝Aa∥α（9平面与面之间位置系：平——没有公共；α∥β相交——有条公共直线。α∩β＝五、空间的平行题（1直线与面平行判定其性质线面平行判定定平面外一直线与此平内一条直线平行则该直线与此平面平行。线线平行线面平行线面平行性质定：是一条直线和一个平面平行，通过这条直的平面和那个平面相交，那么这条直和交线平行。线面平线平行（2平面与面平行判定其性质两个平面行的判定理（）若是一个平面内的两条交直线都平于另一个平面，那么这个平面平行（线面平行面面平行（）若是在两个平面内，各两组相交直对应平行，那么这两个面平行。（线线平行面面平行（）垂直于同一条直线的两平面平行，两个平面行的性定理（）若是两个平面平行，那某一个平面的直线与另一个平面平面面平行→线面平行（）若是两个平行平面都和三个平面相，那么它们的交线平行面平行→线线平行）7空间中的直问题（1线线、面、线垂直概念①两条异面线的垂直：若是两条异面直线所成的角是直角就说这两条异面直线相互垂直。②线面垂直若是一条直线和一个平面内的任何一条直线垂，就说这条直线和那个平面垂直③平面和平垂直：若是两个平面相交，所成的二面角（从条直线动身的两个半平面所组成图形）是直二面角（平面角是直角说这两个平面垂。（2垂直关的判定性质理①线面垂判定定和性定理判定定理：是一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂，那么这条直线垂直那个平面。性质定理：是两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直平行。②面面垂的判定理和质定理判定定理：是一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么两个平面相互垂直。性质定理：是两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直他们的交线的直线垂直于另一个面。九、空间问题

．．．．．（1直线与线所成角．．．．．①两平行直所成的角：规定为。②两条相交线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的，叫这两条直线所成的角。③两条异面线所成的角过空间任意一点O离作与两条异面直线ab行的直线ab形两条相交直线，这两条相交直线所成的不大于角的角叫做两条异面直线所的角。（2直线和面所成角①平面的平线与平面所成的角：规定为0

。②平面垂线与平面所成的角：规定为。③平面的斜与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面的射影所成的锐角，叫做这条直和那个平面所成的角。求斜线与平所成角的思路类似于求异面直线所成角作，二证，计算在“作角”依概念关键作射影，由射影概念知关键在于斜上一点到面的垂线，在解题时，意挖掘题设中两个要紧信息）斜线上一点到面的垂线）过斜线上的一点过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质患垂线。（3二面角二面角平面①二面角的念：从一条直线动身的两个半平面所组成的图叫做二面角，这条直线叫做二面的棱，这两个半平面叫做二面角的面。②二面角的面角：以二面角的棱上任意一点为极点，在两面内别离作垂于棱的两条射线这两条射线所成的角叫二面角的平面角。③直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面是所组成的二面角是直二面角那么这两平面垂直反过来若是两个平面垂，那么所成的二面角为直二面角④求二面角方式概念法：在上选择有关点，过那个点别离在两个面内作垂于棱的射线取得平面角垂面法：已二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作面与两个面的交线所成的角为二角的平面角7空间直角标系（1概念：如图，OBCD

,

A

B

,

C

,是单位正方.以A为原点，别离以A,,OB的方向为正方向成立三条数x.y轴z轴这时成立了个空间直角坐标系1）O叫做坐标原点2）x轴，y轴，轴叫做坐标轴.3）过每两个坐标轴平面叫做坐标。（2右腕表法：令右手大拇指、食指和中指此垂直时，可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向，食指指为y正向，中指向则为z轴正向，此也能够决定三间的相位置。（3）意点坐标示：间一点M的标能够用有序实数组(xy,z)

来表示有序实数组(x,y,

叫做点M在空间直角坐标系中的坐标，记作My

（x叫点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标）（4空间两距离坐公式

(x)21

2

(yy)21

2

()2

2【常用论】一判两平行方1、行于同一直线的两条直相互平行2、直于同一平面的两条直相互平行

3、是一条直线和一个平面行通这条直线的平面那个平面相交那这条直线就和交线平行4、是两个平行平面同时和三个平面相交，那么它们的交平行5、同一平面内的两条直线可依据平面几何的定理证明二判线平行方1、概念：若是一条直线和个平面没有公共点2、是平面外的一条直线和个平面内的一条直线平行，则条直线和那个平面平行3、面平行，则其中一个平内的直线必平行于另一个平面4、面外的两条平行直线中一条平行于平面，则另一条也行于该平面5、面外的一条直线和两个行平面中的一个平面平行，则平行于另一个平面三判面平行方一、概念：没有共点二、若是一个平内有两条相交直线都平行于另个平面，则两面平行3垂于同一线的两个平面平行4、平行于同一平面的个平面平行四面平的性一、两平行平面有公共点二、两平面平行则一个平面上的任一直线平行另一平面3、两平行平面被第三平面所截，则两交线平行4、垂于两平行平面中一个平的直线，必垂直于另一个平五判线垂直方1、念：若是一条直线和平内的任何一条直线都垂直，则面垂直2、是一条直线和一个平面的两条相交线垂直，则线面垂3、是两条平行直线中的一垂直于一个平面，则另一条也直于该平面4、条直线垂直于两个平行面中的一个平面，它也垂直于一个平面5、是两个平面垂直，那么一个平面内垂直它们交线的直垂直于另一个平面6、是两个相交平面都垂直另一个平面，那么它们的交线直于另一个平面六判两垂直方1、念：成902、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直3、在平面内的一条直线，若是和那个平面的一条斜线的射影垂直，那它也和这条斜线垂直4、在平面内的一条直线，若是和那个平面的一条斜线垂直，那么它也这条斜线的射影垂直5、一条直线若是和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直七判面垂直方1、概念：两面成直二面角,则两面垂直2、一个平面通过另一个平面的一条垂线，则那个平面垂直于另一平面八面垂的性1、二面角的平面角为

902、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面

九各角范围一、异面直线所的角的取值范围是：

0

二、直线与平面成的角的取值范围是：

0

3、斜线与平面所成的的取值范围是：

0

4、二面角的大小用它平面角来气宇；取值范围是：

0

十三形心1、内心：内切圆的圆心角平分线的交点2、外心：外接圆的圆心垂直平分线的交点3、重心：中线的交点4、垂心：高的交点[经使方及公]1．证明直线与直线的平行的试探途径转化为判定共面二直线无交点）转化为二直同与第三条直线行转化为线面平行）化为线面垂直）转化为面平.2．证明直线与平面的平行的试探途径转为直线与平面无公共点转化为线平行；（3转化为面面平行3．证明平面与平面平行的试探途径转化为判定二平面无共点转化为线面平行（3转化为线面垂直4．证明直线与直线的垂直的试探途径转化为相交垂直转化为线面垂直转为线与另一线的影垂直）转化为线与形射影的斜线垂.5．证明直线与平面垂直的试探途径转化为该直线与平面任一直线垂直转化为直线与平面内相二直线垂直转为直线与平面的一条垂线平行化为该直线垂直于另一个平平面）转化为该直线与个垂直平面的交线垂.6．证明平面与平面的垂直的试探途径转化为判定二面角是直二面角转为线面垂直7.夹公式设a＝

(,a,12

＝

(b,b)12

则〈ab

1

b122312

3

.8．异面直线所成角：

cosa

=

a|

2

xyyz222x2y22

（其中

（

）为异面直线

b

所成角，

别离表示异面直

b

的方向向量）9.直

AB

与平面所成角：

arcsin

AB|||m

(

m

为平面

的法向量.10.二角

的平面角arc

m或cos|mn||mn|

（

m

，

为平面

，

的法向量）11.三弦定理是α内的任一直线BC足为C设与AB所成角为，1AB与AC所成的角为，AO与AC所成角为则coscos.212.空两点间的距离公式A(xz)xy)，11222d

A

=

|AB

()2

2

)21

2

)21

2

.

13.异直线间的距离：

||n|

(

ll1

是两异面直线，公垂向量为

，

、D

别离是ll1

2

上任一点，

d

为

l,l1

2

间的距离.14.点到面距：dA）.

n

（为面法向量，是过面一斜线，15.长为l的线在三条两两相互垂的直线上的射影长别离为则有123

ll、l1

，夹角别离为l222cos222213231（立体几何中长体对角线长的公式是其特例.

.16.面射影定

.(平面多边形及其射影的面积别离是

、

它所平面所成锐二面角的17.球组合(1)球与长方体组合:长方体的外接球的直是长方体的体对角线(2)球与正方体的组:正方体的切球的直径是正方体的棱正体的棱切球的直径是正方体的面对角,正方体的外接球的直径是方体的体对角线.(3)与正四面体的组合:棱为

a

的正四面体的内球的半径为

6外接球的半径为4

.18.求到面的距离的常规方是什么？（直接法、体积法）19.求面体体积的常规方式什么？（割补法、等积变换法）考一几体概念性【础练1.定下面的说法是不是确:有个面相互平其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱有个面平行其余各面为形的几何体叫棱2.如F别离是,1

的中点探讨过

EF

的平面截正方体所得截面的形.D6.列说法不正确的是（）A空间中，一组对边平行且相等的四边形必然是平行四边形。同平面的两条垂线必然共面。过线上一能够作无数条直线与这条直线直，且这些直线都在同一平面内D.过一条直线有只有一个平面与已知平面垂直

．．．【考接．．．1.不重合的两个平面，给出下列命题：（）若内两条相直线别离平行于的条直线则平于；（）若

外一条直线l与内的一条直线平行，则l和

平行；（）设和交于直线l，有一条直线垂直l，直；（）直线l与直的充分必要条件是l与内两条直线垂直。上面命题中，真的序号（写所有真命题的序号2.在间，下列命正确的是（A平行直线的平行影重合（）平行于同一直的两个平面平行（C垂直于同一平面的个平面平行（）垂直于同一平的两条直线平行考二三图与观及面与积【础练

1.图（3）,

EF

为

ADDA1

与

A1

B1

的中心,四边形BFD该正方体的面

E

上的投影可能是.A2.是一个水平放置的图的斜二测直观图是一个底角为

5

0

腰上均为的等腰梯形么原图形的面积（）

2

B

1222

D

123.中，，1.5，120的几何体的体积（）

0

若使其绕直线旋转一周，则它成

92

7522

4.已知一个长方体共一极点的三个的面积别离是

2

，则那个长方体对角线长

12D.20cm是.若长方体共极的三个侧面面积别离为3,5,15，则它的体积为5.方体的内切球和外接的半径12D.20cm

:1

D.

:6.个正方体的极点都在面上，它的长为，则球的表面积是（）

227.三个球的表面积之比，则它们的体积之比是.8.方体的一个极点上三棱长别离为4，且它8极点都在同一球面上，则个球的表面积是（）

25

50

D.以都不对9..半为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为.【考接1.一个锥的视如图则棱的全积（）（）

（B）

（C）36+12

（）36+24

2.某几何体的三视图如则该几何体的体积为

m3

3..如图1，△ABC为三角形，CCCC

AA

CC

A

B

知在四边形ABCD中别离AC,BD的点,若AB=2，AB

,与所成的角的度数（）

D.

2.知直线

l,l,平，1

l

l，l1

则l与

（）l

l

l

l

D.

l相交2【考接1设

，是条直线两个平面，则

b

的一个充分条件（）a∥A．aC．2.对条不相交的间直线

a

和

b

aB．a∥D．，必然存在平面使得（）（A

a（B）

（Cb（Db3.已直线和平面足mnma,

,则()An

Bn

或

n

Cn

或

n4.已n两条不同直线，

是三个不同平面下列命题中正确的是（

）A．

若

则

B．

若m则‖C．

若‖‖m‖．若‖‖则5.

是两个不同的平，

l

是一条直线，以命题正确的是（）A若

l

则l

B．

l/

//

则l．若

l

/

，则

l

D．若

l

，则

l

906.lm是两条不同的直，是个平面，则下列命题正确是90（A若l，，则l

（）ll//，m（C若

l//

，

m

，则

l

（D）

l

，

m//

，则

l//7.

、

b

、

表示三条不同的线，

表示平面，给出列命题：①若

a

∥

，

∥

，则

a

∥

；②若

a

⊥

，

⊥

，则

a

⊥

；③若∥，b∥，则a∥；若⊥，b⊥y，∥①②考四

②求间形的角

①④

D.③④【础练1.角

ABC

的斜边

与平面

所成

的角别离为

和5

,CD是斜边上的高则CD与面成的角为.如图正棱柱极在地面上的射影是底面三角形的中心)中,D,E,F别是VC,VA,AC的点P为任意一点则线与所成的角的大小是()

0

V

随的转变转变

5.线l与面所的角为0，

l

AAm

CPB则m与l所成角的取值范围是.【考接题型一异直所成的角1.知三棱柱

ABCABC1

的侧棱与底面边都相等1

在底面

ABC

上的射影为

的中点，则异面直线

AB

与

1

所成的角的余弦为（）（A

5（）4

（C）

(D)

2.已知正四棱柱

ABD中，2AB，E为AA重点则面直线BE与CD所1111形成角的余弦值()（A）

(B)

1310(C)(D)5103.图，已知正三棱柱ABCABC1

的各条棱长都相，

M

是侧棱CC的点，则异面直线1和BM1

所成的角的大小。4.图，若正四棱柱ABD11

的底面连长为2，为，则异面直BD与AD所角的正切值_____________5.三棱柱

ABCAB中若BAC90AC

，则异面直线BA与所成的角等于（）(A)30°

(B)45°

(C)60°

°题型二线角1.已三棱柱

ABCABC1

的侧棱与底面边都相等，A在面内射影为ABC的中心，则

AB

与底面

ABC

所成角的正弦值于（）A．

13

B．

23

C．

33

D．

2.如长方体ABCD-ABCD中=2=1，

则

与平面

C所成角的正弦为（）11A.

B.

C.

24

D.

133.三棱柱

ABCABC1

中，各棱长相等侧掕垂直于底面，点

是侧面

BBCC

的中心，则AD与平面

所成角的大小是()A

B．

C

D

4.图，已知六棱锥

ABCDEF

的底面是正六边，PA平面A,PAAB

则下列结论正确是（）A.

AD;B.平面PAB平面BCC.直线∥平D.直线

与平面BC

所成的角为45°已知三棱锥中底面为边长等于2的边三角形，垂于底面ABC，

那么直线

AB

与平面

所成角的正弦值()（A

35(B)(C)444

(D)

6.正体ABCD-

AB中，BB与面所成角的余弦值为)1（A

2（B3

（C

（D

63考五证空间面行与直如图在棱中AB,PB的EF;(1)证(2)平面内求点

PD平BCD

底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F别是使F平证你的结论。

FDAEB

C

、1111111、11111111．2.棱锥底面BCDE矩形侧面ABC面，BC2（Ⅰ）证明：AD；

2

，（Ⅱ）设侧面ABC为等边三角形求二面角

的大小．3.四棱柱

AB11

中，

AA4

，点

E

在

1

上且

1

．（Ⅰ）证明：AC平面；（Ⅱ）求二面角

ADE

的大小．4.直三棱柱

ABCABC中F别离是中点在C上AC111

。求证）EF平面ABC（）平面

AFD面C11

.5.图所示，在长方体

BCD11

中，，，棱的中点（Ⅰ）求异面直AM和所的角的切值；（Ⅱ）证明：平ABM⊥面ABM

平面；．．．．．平面；．．．．．．．．．．

求到面距离例1如，正三柱

ABCC

的所有棱长都为2，D为中．

A（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）求二面角

AB1

的大小；

D

1（Ⅲ）求点C

到平面ABD的离．

B【】择辨析①两条异面直线同一平面内射影必然是相交的条直线.（×能条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外指的位