空间向量的数量积运算

222空222教材分本节课在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，引入了空间向量的夹角、长度的概念和表方法，介绍了空间向量的数量积的概念和计算方法算侓举说明用向量解决立体几何中直线和平垂直、直线和直线垂直点间的距离线段长度等问题的基本方法步本节课的重点是两个向量的数量积的计算方法及其应用，难点是如何将立体几何问题转化为向量的计算问课时分本节内容用时的时间完成，主要讲解空间向量的数量积运算。教学目教学重点：应用空间向量的数量积解决立体几何问题教学难点：应用空间向量的数量积解决异面直线所成角的问题知识点：空间向量的数量积运.能力点在充分了解平面向量的念算及空间向量的概念向量的加减及数乘向量等运算基础,进一步类比探究并获得空间向量的数量积的定义、性质并掌握空间向量数量积的应.教育点：体会数学拓宽、发展的一种方法，亲身体验数学发现和创造的历.考试点：用向量的数量积解决空间几何体的有关平行和垂直问题以及角和距离的计算问.教具准：课堂模：

多媒体及三角板学案导学一、新引入：

(由学生口答1.平面向量的数量积定:师：向量形式?生||b|（师：坐标形式?生若

{x},b{x,y},则ay112221

22.平面向量的夹角公式:师：若与是面两非零向,它们的夹角为夹角的余弦如何表示生

a

21

xy1x212

2

223.平面向量的性质:师：两非零向量

a

与

b

垂直的充要条件?生

xxy112师：两非零向量

a

与

b

平行的充要条件?生

//bb二、探新知1.空间向量的数量积定:(类平面向量可)向量形式

a||b（坐标形式

若

xy}11

,

{y}2

,则

yy1师：如何证生aj1112=xiyyjzk12

=

xy1222.空间向量的夹角公式:若a与是间两非向它们的夹角为

aa||

xyyz12122y22y1123.空间向量的性质:两非零向量

a

与

b

垂直的充要条件:axy01两非零向量

a

与

b

平行的充要条件://ab三、理新知．空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量

,b

，在空间任取一点

，作

OA,OB

，则

叫做向量

a

与

的夹角，记作

b且定

，显然有

；若

,b

，则称与互垂直，记作：；．向量的模：设

OA

，则有向线段

的长度叫做向量

a

的长度或模，记作：

||

；．向量的数量积：已知向量,b，则|a|a,做,b的量积，记作a即a|

．已知向量和轴l，是l上l同方的单位向量，作点A在l上射影AB在l上射影

B

，则

叫做向量

在轴

l

上或在

e

上的正射影；可以证明

A

的长度

AB|e

．．空间向量数量积的性质：（1）（2）（3）

cos,aba．|a|．

．

e

B

B．空间向量数量积运算律：

A

C（1）

．（2）

a

（交换律（3）

)

（分配律四、运新知：例1用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。已知：

m,

是平面

内的两条相交直线，直线

l

与平面

的交点为

，且

lmln求证：

l

．证明：师：用非向量的方法证明线面垂直的判定定理，过程相当烦琐，如何用向量方法加以证生在内不与m,n重的任一直线g，

l在

l,mg

上取非零向量

l,,,

，∵mn相，∴向量mn不行，由共面定理可知，

l

存在唯一有序实数对

(x,)，g

，

∴lxl

，又∵

ll

，∴∴

llg，

，∴

l

，所以，直线

l

垂直于平面内的任意一条直线，即得

l

．设计图：让学生体会到用向量的方法解决立几问题的优越例2已知空间四边形求证：．

中，

ABCD

，

ACBD

，

D证明：师：可以用那些方法来证明这个问?生:（法一）用非向量的方法证生:（法二）AD)AC

A

ABBDABAB

BD

．生:（法三）选取一组基底，设

AC,

，∵AB，)，a

，同理：

a

∴

a

，∴

c)，AD，BC．师：上面那一种方法更简?生第种设计图：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未向量，然后通过向量运算来计算或证.例3图空间四边形

中OA

，AB

，

，BC

OAB60

，求与的角的余弦值。解：∵∴

BCOAOAOA

|ACACOAAB|OAAB2OA23∴cosOA,BCOA|82所以，OA与的角的余弦值为．

，

设计图：由图形知向量的夹角时易出错，如OA

易错写成

，切记！五课堂小:1.平面向量数量积的定义质推广得到有关空间向量数量积的定义类比思)2.向量数量积解决几何问题有两方式；3.向量数量积为解决立体几何中行、垂直及有关角度等问题提供了一种新的方法；4.体现了几何问题代数,即代方法解决几何问数形结合思想.六、书作业必题下列命题中：①若则a，b中少一个为0②若a且a，

③(a))④(3)ab)b正确的个数为（）个B.1个

C.2个

个已和是个单位向量，夹角为

，则下面向量中与垂直的是（）B.C.已ABC中,所对的为

b,cC30CA=已a，，且a和不线，当a与a夹角是锐角时，取值范围是已向量ab满a，，a，已空间四边形ABCD中ABCD，ACBD，证：ADBC

DA

C选题已知线段ABBD平面内BD⊥AB,线段如＝,＝b,AC求C、间距参考答案：12C，

33

，且

，5

，略

2

七、教反思在