不定积分论文

TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"摘要 1关键词 1Abstract 1Keywords 2\o"CurrentDocument"1引言 3\o"CurrentDocument"2求不定积分的思想方法 31直接积分的思想方法 3\o"CurrentDocument"2.2换元积分的思想方法 3\o"CurrentDocument"2.2.1第一类换元积分的思想方法 3\o"CurrentDocument"2.2.2第二类换元积分的思想方法 3\o"CurrentDocument"2.3分部积分的思想方法 4\o"CurrentDocument"2.4拆项的思想方法 4\o"CurrentDocument"3常见的不定积分类型 4\o"CurrentDocument"4例题分析 7\o"CurrentDocument"5不定积分的方法与归类 10\o"CurrentDocument"结束语 11谢辞 11\o"CurrentDocument"参考文献 11对不定积分一题多解的分析（咸阳师范学院数学与信息科学学院，陕西咸阳）摘要随着社会进入信息时代，积分的语言已经渗透到各个领域。积分的出现不仅是数学史上也是人类历史上一个伟大的创举。它的产生是由于社会经济的发展和生产技术的进步的需要促成的，也是自古以來许多数学家长期辛勤发展起來的一连串数学思想的结晶。因此，他在数学及其他学科有着广泛的应用。研究不定积分要重在提高自己的逻辑思维能力、科学分析能力、运用数学语言能力、联想运算能力以及应用能力。求解不定积分的过程对学生的科学思维和文化素质的培养所起的作用极为明显。数学与不同学科的结合形成新兴学科，都体现了量化方法己经成为研究经济学、社会科学的重要方法。掌握了它，会使我们在以后的学习及工作中占有一定的优势。本文的题目是“对不定积分一题多解的分析”。一题多解其实就是培养学生的多方向性和开放性思维，是培养学生发散思维最有效的方法。其主要解法有三种，分别是：直接积分法、换元积分法以及分部积分法。对于同一题可以用不同的方法來解。关键字：积分；直接积分法；换元积分法；分部积分法;一题多解IndefiniteintegralsolutionstoaproblemofexampleanalysisLiuHan(XianyangNormalUniversityCollegeofmathematicsandinformationscience,Shaanxi,Xianyang)AbstractAlongwiththesocietyintotheinformationage,theintegrallanguagehaspenetratedintoallfields・Itisnotonlytheemergenceofmathematicshistoryisalsothehistoryofthelastgreatpioneeringwork・Itiscausedbecauseofthedevelopmentofsocialeconomyandtheprogressofproductiontechnologyoftheneedtofacilityte,alsosinceancienttimes,manymathematicianslong-termharddevelopedaseriesofmathematicalthoughtcrystallization・Therefore,hewasinmathematicsandotherdisciplineshaveawiderangeofapplications・Studyofindefiniteintegralshouldfocusonimprovingtheirabilityoflogicthinking,scientificanalysisability,makinguseofthemathematicslanguageability,operationabilityandapplicationabilityofassociation.Solvingindefiniteintegralprocessonstudents'scientificthinkingandculturalqualitycultivationoftheroleisveryclear・Mathematicsanddifferentdisciplinesarecombinedtoformanewdiscipline,reflectedthequantificationmethodhasbecomethestudyofeconomics,socialscientificimportantmethod・Graspit,wewillinfutureworktooccupycertainadvantages・Thetitleofthispaperison"indefiniteintegralsolutionstoaproblemanalysis".Severalsolutionstooneproblemistocultivatethestudents‘multipiedirectionsandopenthinking,divergentthinkingofstudentsisthemosteffectivemethod・Itsmainmethodhasthreekinds,respectivelyis:thedirectintegralmethod,integrationbysubstitutionandsubsectionintegralmethod・Forthesameproblemcanusedifferentmethodstosolve・Keywords:integral:integralmethod;changingintegralmethod;subsectionintegralmethod：severalsolutionstooneproblem.1引言怎样计算不定积分是高等数学教学的难点和重点•不定积分的求解方法技巧性很强,灵活性也比较大，而且对于同一个不定积分可能有多种不同的求解方法.为了开拓学生的思路，培养学生灵活的思维能力，使学生能够更好的理解和使用多种积分方法，达到举一反三、触类旁通的教学效果，教学中往往要让学生进行一题多解的练习.在学生初步掌握不定积分的基本积分方法后，我们不能局限于一题一解，要试图一题多解。为了正确使用各种积分方法求解不定积分，我们必须掌握它的概念和性质以及积分的基本公式，才能够在以后的解题中做题自如，进行同类迁移。2.求不定积分思想方法2.1直接积分的思想方法观察所求积分的形式是否可用积分基本公式直接求解。2.2换元积分的思想方法2.2.1第一类换元（凑微分法）的思想方法（1） 被积函数有一个因式，主要是观察被积函数与积分基本公式中的哪一个公式的被积函数相似,即所应用的基本积分公式;然后再根据与基本积分公式相似的形式进行凑微分,凑微分的目的是为了应用积分基本公式和性质求积分。（2） 被积函数有两个因式时，先由一个因式找到与基本积分公式相似的公式，余下一个因式与dx结合凑微分，进而可由积分基本公式求出结果。2.2.2第二类换元的思想方法主要可以分为以下三类：1.三角代换2.根式代换倒数代换第二类换元积分法主要是通过X=0（f）对所求积分进行化简。（1） 根式代换：如果被积函数中，含有因子7^市，我们可以通过x=0（f）去掉根式，以便化简后的积分式能直接积分或使用简单的变形凑微分后可直接用积分基本公式，故选取x=（p（t）要保证去掉根式。（2） 三角代换法：如果被积函数中，含有因式后-丘,ylx2-a2, 时,我们由根号下式子的特点，能够联想到三角公式的平方关系式，sin'a+co『G=1以及1+tan2a=sec2a由此來选择x=°（f）,以此來去掉根号。当遇到Jax'+bx+c时,先将ax2+bx+c进行配方成J一£,Jxf,Jxf三种形式中的一种,再用

公式或利用三角代换积分。若果遇到我们对它先进行分母有理化，在对其分子进行配方就可化简为J/-F,冬2-a2,Jx2+a2三种形式中的一种，可根据上述方法进行求解。（3）倒数代换：当积分表达式分母中自变量的幕较高于分子时，我们可以采用t进行化简求解2.3分部积分的思想方法分部积分法是运用公式\udv=uv-\vdu进行求解不定积分，通常适用于两类不同函数相乘的积分。此法的关键是“，旳的选择。通常來讲，先选定办，使选定的fdx能容易的凑出微分旳且积分后不是很复杂，“求导后变简单，一次分部积分后，未积出的部分要比原來的积分J“dv简单。如果被积函数是反三角函数、对数函数、幕函数、三角函数、指数函数中任意两类函数的乘积，那么，我们可以考虑按照反、对、幕、三、指的顺序來选取“，另一个函数想办法凑成加进行分部积分。2.4拆项的思想方法对形如f 4•这种形式的积分,我们很难进行用以上公式进行求解，那么我们可以J（p（x）u（x）对它进行拆项己达到可以用以上方法求解的效果o我们把对它进行拆项己达到可以用以上方法求解的效果o我们把J处）:心）dx可以分解为例：J吋牯7护T［忐刍+詁耳心訂专評沽护-1¥俎ctan丰 d（2+F）+In\x+1|+CV2arctan—x+In2jr+2丿118c（c\和c均为任意常数）3常见函数的积分类型（1）有理函数的积分一般情况下，是把有理函数变形为有理整函数与真分式函数之和的形式，把真分式函

数化成部分分式函数之和的形式，然后利用积分的一些方法将有理函数的积分积出來。无理函数的积分如果所求积分不能用直接积分法、换元法、分部积分法求解的话，可将无理函数通过一系列的变形化为有理三角函数或有理函数。三角函数的积分所求积分是三角函数的积分时，通常是运用三角等式进行变换。形如fsxn^/A-和Jc。込厶的积分，可直接利用第一类换元积分法进行计算；形如J曲皿或卜。』皿的积分当k为正奇数时,即k=2n+l,则将可将被积函数化简成sin2nx与sinx的乘积，再利用三角恒等式sin・+cos・=l可将正弦函数转化为余弦或余弦函数转化为正弦，如:sin*xdx=sin"44xdx=siii2nxsinxdx=—sin"xdcosx=—(1—cos2x)ndcosx或cosAxdx=cos"44xdx=cos"xcosxdx=cos"xdsiii.v=(1-sin2aj"dsiiix进仃计算不定积分；当代为正偶数时，即k=2x贝IJ可利用三角恒等式沁'一1一沖2「迪\l+cos2x将被积2，2函数进行先化简后计算。即被积表达式可化为sin'xdx函数进行先化简后计算。即被积表达式可化为sin'xdx=sin2nxdx=(sin'x/dx=(l-cos2.v~~2)ndxcod皿=cos”皿=(COS：x)ndx=(1+C；s2•［仏进行计算不定积分。JsinZrxsin/AY/x、JsinZrxsin/AY/x、[cozkxcoztxdx的积分我们这里只以Jsin^COsMWx型的积分为例进行说明，其它积分解法与此相似。当时，我们可先利用二倍角公式对其进行化简后再用第一类换元积分法进行计算。即JsmkxcQstxdx=iJsinIkxdx=--Lcos2kx+C当R刊时，我们可以利用积化和差公式对其进行化简后再用第一类换元积分法进行计算，即jsinXr.vcoztxdx=[+[sin(I+/).r+sin伙-1)x]dx=- —cos(k+t)x--^-7-—cos(R-t)x+C④形如fsin^co^xz/x的积分若R=/时，则化为J品皿或卜。/皿型的积分；右&时，如果R为奇数f为偶数时‘(sin"Acosfxdx=-j(l-cos2a)，codx(cosx)，dx，此时令/n=cosx就可把上式化为多项式的积分，积分后把w=cosx回代即可；

如果R为偶数『为奇数时‘Jsin"xcodxdx=Jsini:a(1-sin2a)2(sin.vjWx此时令m=sinx就可把上式化为多项式的积分，积分后把WI=sm.v回代即可；如果R、f均为奇数时，我们取k.t中比较小的数按上述方法进行计算；如果R、/均为偶数时，我们利用三角恒等式2ssg=sm2xsin*上沁cos—廿竺空可22将被积函数降次化简，然后再用上述方法换元进行计算。⑤形如出皿的积分如果R为正偶数时，则Jsec*xtan'xdx=J(1+tan2x)2"tan/x(tan.v)rJ.v'此时令in=tanx就可把上式化为多项式的积分；如果—0时，则得积分Jt出皿，此时可利用tanU=secJ-l将积分化为上面的情形和积分価nxdx上去。或者也可利用换元公式,H=tan.v化为分母为1+〃的有理函数的积分；如果R为奇数，/为偶数时，利用恒等式tair.r=sec=A-l以及不定积分的线性性，最后可化为形如陸严皿的积分；如果『为奇数时，则(sec*xtan'xdx=jsec1-1.x(sec'x-l)^(sec.vyj.v，此时令t=secx就把上式化为多项式的积分。⑥形如[secnxdx>Jcsc"xdx、[tan,'xdx-Jcot"皿的积分~般利用tan2a=sec2x-1或cot，x=esc，x-l化简进彳丁求解如果“为偶数时，由jtan'xdx=[tail'--2Ataii2xdx=[tail'*-2A(sec:x-l)clx=(tan,,_:xdtaiix-[tan,,_:xdx=-Ltan1-1a-[tan17-2xdx得一递推公式，则Jtan"皿的积分问题即得解决。解决Jcofxdx的积分类似于[tan"xdx的积分jsec"xdx=jsec/,-:xsec2xdx=((tan:x+1)2Jtan.vjese11ay£v=jesd1"2xcsc2Az£v=-f(cot2x+1)2dcotx如果〃为奇数时，[sec'如果〃为奇数时，[sec'1xdx=jsecw~2xsec2xdx=secn~2xdtanx=sec,,-:xtanx一(/?一2)jsec"-2xtan2xdxjesd*xdx=jcsd,-2xcsrxdx=-jesd1-2az/cot.v=-esd1'2xcot.r+(/?-2)jcsd,':.rcot2xclxjtan"7xdx=[taii,?-2xtaii2xdx=[taiiz,"2x(sec2x-l)dx=[tan71"2xdtana-[tan/,-2xdx=

4例题分析例］求丿卅寸解：（方法1）（分析：所求积分可以看做两个分式的乘积的积分，那么我们可把它拆成两个分式的差的积分）x2Q+l-x2Q.严=20—20—存X+i)+c（方法2）（分析：严+1的导数为20疋，而x乘以疋恰巧也等于干。因此我们可以对其进行换元，然后再进行拆项求解）“2其进行换元，然后再进行拆项求解）“2（方法3）（分析：所求积分的分母的次数大于分子的次数，因此我们可以考虑用倒代换法）irl20u-XU=-irl20u-XU=-寻|+(=丄加弓二+C20J20 x20+11詁(1+1詁(1+厂)X-(X20+lfA_Jx21一和a+严）+—和去+。

解（方法I）（所求积分包含拆其导数等于小，恰好可利用此特点对其进行凑微分）原式=2( dV7=2jaictail (arctan=^iictanVx）2+C（方法2）（分析：所求积分含有根式，因此我们可以考虑用根式代换求解）原式令x=尸j*；d•2tdt=2J 力=2Jaictantdarctant=(aictan/)'+C=(aictan低j+C原式=*J* 4(i+疋)=JaictanxdJl+F=arctailx・J1+F一[Jl+x，—dxJ 1+厂=y/l+x2-aictanx-J.dx=J1+x，•arctanx-加@+Jl+x，)+CJyjl+X2（此解法釆用了分部积分法八治）原式訂空巴Jsect方法2令x=tantdx=sec2原式訂空巴Jsect+Jl+F)+c・sec2/d/=J/tan/sec/d/=J/dsect=tsect-Jsectdt+Jl+F)+c=tsect-/z?|sec/+tan/|+C=aictaii.v・\ll+x2（此解法釆用了三角代换进行求解。当积分表达式中含有徧匸7,后庄，后疋时,可分别令x=asmt,x=atanf,x=ascct进行换元计算）例4求［——_dxJsiiix+cosx解：方法1（因为被积函数是三角有理式，所以我们很自然地想到用7J能代换进行换元，转化成有理函数的不定积分來做•）

原式=8sill—cos—228tanic・XX X ・、X2sin—cos—+原式=8sill—cos—228tanic・XX X ・、X2sin—cos—+cos"—一suit—22222tan|+l-tan^x+In1+tan2—X Ytan2——2tan——1+C12丿22=ln(ir+1)+2arctaiiw-Inu2-2w-1+C方法2（因为被积函数的分母是一个和式，如果能化成一个整体再拆成部分分式之和可能有助于问题的解决，所以我们自然地想到用倍角公式來试一下.）原式=jsinx（cos—sin%」J（^2x-sec2x+l>/xcos2.i 2-^-(/7z|cos2x|+//?|sec2x+tan2x|-2x)+C方法3（凑微分法是不定积分的常用方法，通过观察将被积函数适当变形，再进行凑微分是我们应该掌握的技巧•）‘snix-cosx1+ siiix+cosx)dx=*(x-〃2|sinx+cosx|)+C方法4（此法是通过三角函数的恒等变形（分子与分母同时除以sufx）转化成的凑微分法,结合了有理真分式拆分成部分分式之和.）原式=-]*1 申cotx=--Ji——i——4--_S2LLcotXJy+corx)(l+cotAj 2Jvcotx+11+colx丿+cotX+cotx|+C例5求f— dxJX"-3x-10解（方法1）（分析：因为分母可以分解为两个因式的乘积，因此我们可以联想到用拆项法可以对其进行化简）原式訂（-5^+2产弓（士-召片粕士"「J出呵吕d(x—5)—J-^|yd(x+2吕d(x—5)—J-^|yd(x+2)=i[/n|x-5|-//?|x+2|]+c*x-5（方法2）（分析：因为分母为一元二次式，因此，我们可以对其进行配方，然后观察其特点，又用了第一类换元法）—卅43Y49X--

、2丿1—卅43Y49X--

、2丿17

t+—2丿_27/+—23y .7A223y7_LA2l2+C+C申原式訂，3x949心卜JT + 2 4 4亠戸+C7|x+2|5不定积分的方法与归类.^=dx=2d(y/x)=2d(yfx+c)(x>0).^=dx=2d(y/x)=2d(yfx+c)(x>0)含>la2-x2令x=asmti&x=acost三角代换\lx2-a2令x=asecf三角代换ylx2+a2令x=otan/三角代换y/x+1令Jx+l=t根式代换lax+bQcx+d人lax+b令\——=f根式代换X令X=1t倒数代换我们在求积分时遇见与如下形式相似的，可釆用凑微分法。1.dx=d(x+c)=—d(ax+c)=—d(ax+c)=—d(ax)2a a3•如扭宀山痔dg+心押4.dx=d(y/xj=3•如扭宀山痔dg+心押4.dx=d(y/xj=2y[xd(y/x)5.—dx=d{ln\x^=d^Inx)6.dx=—=d(l+x2)=d(x/I+x2)2yll+X27-占zD8.ex(\^x)dx=cl(xex7-占zD8.ex(\^x)dx=cl(xex^9.10.1±A-dx=d对丿x±+)11.(1+Inx)dx=d^xlnx)结束语为什么一道题会有多种解法呢？这是因为同一道题兼有不同类型的积分的特点，因而兼属于儿种不同的积分类型；或同一个积分类型兼有不同的积分方法。对于一些简单的基本的不定积分，我们可以通过基本的积分公式直接进行求解。对于难以直接用基本积分公式的积分，我们有第一类换元积分法和第二类换元积分法，以及分部积分法。对于某些特殊类型的不定积分，如一些有理函数的和可以化为有理函数的不定积分，无论不定积分有多么复杂，我们都可以按照一定的步骤求解。对于有理函数的不定积分，我们可以用待定系数法把它拆成一些分式的和，再按照基本积分公式求解；对于高阶的积分，我们可以运用多次分部积分法递推公式，也