一题多解突破无棱二面角的求法

/一题多解突破无棱二面角的求法河北石家庄市平山实验中学齐艳霞2008年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷第19题已知△ABC所在平面与直角梯形ＡCEF所在平面垂直,AF⊥AC，ＥB⊥AB，AF∥ＣE,AＢ=BC=ＣE＝2AF=2，O为ＡＣ中点。如下图1求证:面OBE⊥面ACEＦ求面EＦB与面ABC所成二面角的大小图２BCEF图２BCEFOA图1BMOCAFEH图2试卷给出的答案解:（１）在△ＡＢＣ中,AB=BC,O为AC中点，∴ＯB⊥AＣ.∵平面AＢＣ⊥平面ACEＦ，且平面AＢC∩平面ACEF=AＣ，ＯB平面AＢC，∴ＯB⊥平面AＣEF，又OＢ平面OBＥ，∴面ＯBE⊥面ACEF（２)延长EＦ交ＣA的延长线于点M，连接BＭ,则面ＥFB∩面ABＣ＝BM，作AH⊥BM于Ｈ，连接HF，∵平面AＢC⊥平面ACEF，且平面ABC∩平面ACEF＝AC,AF⊥AC,∴ＡF⊥平面ABC，由三垂线定理得FH⊥BM,因此∠ＦHA为面ＥFB与面ABC所成二面角的平面角。如图２。∵ＡF∥CE，AF⊥平面ABC，∴CＥ⊥平面ＡBC，又EＢ⊥AB,由三垂线定理的逆定理得ＢC⊥AＢ,∵AF=1，且A为CM中点。在△MBO中，ＭO=3，OＢ＝,所以MB=＝２，Rｔ△ＭAH∽Rt△MBO，所以=,即AＨ＝＝＝。在△FAH中,tan∠ＦHA＝＝＝，所以面EFB与面AＢＣ所成二面角的大小为arctａn。此答案是最常用的找另一个公共点做棱，然后利用三垂线定理作出二面角的平面角。因为题设条件中面ＥFB与面AＢC有一个公共点Ｂ,根据公理２，它们还有其他的公共点，且公共点的集合是一条直线。又因为除共点Ｂ外，面EFB内的点E、点F与面AＢＣ内的点A、点Ｂ同在平面ACＥF内,且直线AC与直线EF不平行，由公理3的推论可知,它们一定相交，因此找到面EFＢ与面ABC的另一个公共点M,得到棱BM,所以才有了以上的解题的思路与过程。此题（2）还可以用其它方法来解决。求无棱二面角的关键是作出棱，根据面面平行的判定定理:如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线,则这两个平面平行。把其中的一个半平面平移,与另一个半平面相交，交线即棱。Ⅰ平移半平面EFＢ,如图3BBACEOPRQG图3F解析：在平面ＡBＣ内过点B作直线BＰ，使BP∥ＡC，且BP=AＣ，连接CP。取CE中点Q，连接FＱ，ＰＱ，则ＦQ∥ＢＰ，且ＦQ=BP。故四边形FBＰＱ为平行四边形，∴FB∥QＰ。取BＣ中点Ｒ,连接QR,则QR∥ＢE,故面ＱRP∥面EFB，所以面QRＰ与面ＡBＣ所成二面角即面EFB与面AＢC所成二面角，显然面QRP∩面ABC＝RP，过点C作直线CＧ⊥ＲP,垂足为Ｇ,连接QＧ.∵平面ＡＢC⊥平面ＡCEF,且平面ABC∩平面AＣEF＝ＡC，ＡF⊥ＡC,∴ＡF⊥平面ABC，又∵AF∥CＥ,∴CＥ⊥平面ＡBC，由三垂线定理的定理得QG⊥ＲP，因此∠QＧC为面QＲP与面ＡBＣ所成二面角的平面角即面EFＢ与面ABC所成二面角的大小。∵CＥ⊥平面AＢC，EB⊥ＡＢ，由三垂线定理的逆定理得BＣ⊥AB，由以上证明可得:在△RCP中,∠RCＰ=∠ＡBＣ=,CR＝BC＝1，CＰ=AB＝2,∴RP==＝，CＧ=，在Rt△QCG中,taｎ∠ＱGC＝==，∴∠QＧC=arctan。所以面EＦＢ与面ＡBC所成二面角的大小为ａrｃtan。Ⅱ平移半平面ＡBC，如图4C图4C图4OQNEAFBW解析:取CE中点Q，连接FＱ,取BE中点N,连接FN，NQ，则FQ∥AＣ,NＱ∥BC，∴面FNＱ∥面ABC,故∴面FNQ与面ＡBC所成二面角即面EFB与面ＡBC所成二面角,显然面FＮＱ∩面ABC=FN,过点Q作QW⊥ＦN，垂足为W，连接EＷ。∵平面ABC⊥平面AＣEF，且平面AＢC∩平面ＡCEF＝ＡC，AF⊥AC,∴AF⊥平面ABC，又∵AF∥CＥ，∴CE⊥平面ＡＢC，由三垂线定理的定理得ＥＷ⊥ＦN,因此∠EWQ为面FＮＱ与面ABC所成二面角的平面角即面ＥFB与面ABC所成二面角的大小.∵CE⊥平面AＢC,EB⊥AB,由三垂线定理的逆定理得ＢC⊥ＡB,由以上证明可得:在△FNQ中,FQ=ＡＣ=2，ＮQ=ＢC=1，∠ＦQN=∠AＣB＝，由余弦定理得：FＮ=＝=,由面积相等得:×FQＱNsin=×ＦNＱＷ，即：×２×1×＝×QW,∴QＷ=.在Rt△ＥＷQ中，tan∠ＥWQ＝==，∴∠EＷQ=arcｔaｎ。所以面EFB与面AＢC所成二面角的大小为aｒcｔan.此题还可以用空间向量来完成，利用法向量求二面角，理由如下：设,分别是二面角α-l—β的两个半平面α、β的法向量，则二面角α—l-β的平面角大小θ＝<或θ=π—。当,同时指向二面角内侧或外侧时,θ=π－，如图5.当，分别指向二面角的内侧与外侧时，θ＝，如图6。βαβαl〈，〉θAB如图５βαl〈，〉θAB如图５βαlBAθ如图６解析:由(1）知，ＯB⊥平面ＡCEF，故以O为原点，建立空间坐标系Ｏ-xyｚ如图７CC图7EFOBAxyz则易知点坐标ﻩＯ(0,0，0）;Ａ（0，—，0）;B(，0，０）；C（０,，０);Ｅ（０,,２）；F（０，—，1），向量＝(０,２，１)，向量＝（—,,２）面AＢC的一个法向量是=（０,0，1），设平面EFB的一的法向量＝（ｘ，y，z）则=0=0即（x，y，ｚ）（0，2，１）＝０2y+ｚ=0（ｘ，y，z）（—，，２）=０—x＋y+2z＝０不妨令ｙ=—1则z=２，x=3因此＝（3,—1,２）所以ｃｏs==＝因为指向面ＥFB与面ABC所成二面角的外侧，指向二面角的内侧，所以面EFB与面ABC所成二面角的大小为arcｃoｓ如果此题是以填空题的形式出现,我们还可以利用射影面积公式：解析:易知△EＦB在面ABC内的射影是△CAB,设所成二面角的大小为β，则coｓβ=,这也是一种方法，同学们不防一试。对于无棱二面角的求法,我们根据题设条件的不同,多角度的分析,会发现多种不同的解法，从而起到触类旁通的作用，达到“山重水尽疑无路,柳暗花明又一村"的效果.总结无棱二面角的求法，最常用的有:（1）找另一个公共点做棱（2）平移半