奥赛天天练(填三阶幻方)汇编

《奥赛天天练》第25讲《巧填幻方》。概念：如果一个X矩阵（教材中表现为方格图）的每行，每列及两条对角线的元素之和都相等，且这些元素都是从到X的自然数，这样的矩阵就称为阶幻方。有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数字问题。本讲主要介绍比较简单的三阶幻方的填写，三阶幻方就是时的幻方。三阶幻方的填法：三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，在北周的甄弯注《数术记遗》一书中记有三阶幻方的填法：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。三阶幻方的构造方法：我国南宋时期杰出的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。他曾将幻方命名为“纵横图”（三阶幻方也叫络书或九宫图），并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。杨辉在在《续古摘奇算法》中，总结出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”意思是：先把〜九个数依次斜排（如下图一），再把上下9两数对调（如下图二），左7右3两数对调（如下图三），最后把四面的2、向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。图一图二图三图四图一图二图三图四三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋转9°0，又可以得到另外的4种填法。例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。三阶幻方的构造原理：通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫做中心数，中心数也就是这9个数的中位数。从1到9这个数的和为：…；则三阶幻方每行个数字之和即幻和为：・3=1。在51到9这9个数中，和为15的3个数，只能是：9+5、+91+4、+82+1、8+5、+82+4、+73+6、+72+5、+63+5。+因4此每行、每列、每条对角线上3个数只能是其中某个算式中的3个数。仔细分析九宫格，经过中心数的有一行、一列和两条对角线，即这个数必须在4个不同的算式中出现，在上面的算式中只有5符合要求。同理，经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列和一条对角线，即四个角上的数字必须同时在3个不同的算式中出现，只有2、4、6、8符合要求。先填好中心数和四个角上数字，再完成其它填空，就完成幻方填写了。在教学时，可引导孩子发现三阶幻方中数字有趣的排列顺序，如四个偶数在四角，从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等；让孩子在了解构造方法的基础上熟记简单三阶幻方的填法口诀，填写三阶幻方的9个数，不论如何变化，只要将它们按大小的顺序排列编号，均可按口诀“对号入座”完成填空；理解并掌握幻方中的两个公式：幻和=中心数X3幻和=总数+3可以在已知幻和的情况下，先求出中心数，或在已知中心数的情况下，先求出幻和，以便继续求出其它的数；让孩子初步了解幻方的构造原理，这种推理方法在学习其它问题时可以迁移使用。《奥赛天天练》第25讲，模仿训练，练习【题目】：将下面左边方格中的9个数填入右边幻方中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和相等。【解析】：解法一：把这九个数按从小到大的顺序依次编号，1、2、3号为“6”，4、5、6号为“8”，7、8、9号为“10”。按口诀：九宫者，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。对号入座，如下图可以填好表格。解法二：这个三阶幻方的幻和为：+中心数为：4。如上图:首先可以填好中心数8。因为幻和为2，4任意行列如果有2个6，3个数的和必定小于24，所以任意行列不可能有2个6，根据这点，第二步可以确定3个6的位置，保证任意2个6不同行不同列，不在同一条对角线上。第三步根据已填好的四个数，及幻和为24，可以完成余下的填空。《奥赛天天练》第25讲，巩固训练，习题1【题目】：将个连续自然数填入X的方格内，使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于60。【解析】：由已知条件可知，这个幻方，幻和为，中心数为：0。所以这个连续的自然数为：1、617、18、1、920、21、22、23、24。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如下图：《奥赛天天练》第25讲，巩固训练，习题2【题目】：下图中，要使每一行，每一列，两条对角线上三个数的和都是【解析】：由题意可知，幻和为，中心数为：7，所以等于9填好中心数后，根据幻和，可以用蚕食的方法依次求出其它方格里的数：6；1869答案图略。《奥赛天天练》第25讲，拓展提高，习题1【题目】：在下面一个三阶幻方中已填入了一个数，请在其它8个空格内填上适当的数，使得9个方格内是9个连续自然数。【解析】：由已知条件可知，这个幻方的中心数为12。所以这9个连续的自然数为：8、9、1、01、11、213、1、415、1。6把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如下图：9161114121013815《奥赛天天练》第25讲，拓展提高，习题【题目】：在下面两个图形中的空格内填入不大于15且互不相同的自然数（其中已各填好一个数），使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于148【解析】：由题意可知，幻和为，中心数为：0。如下图，可以分别填好两个方格图中的一条对角线。因为中心数是10，经过中心数每一组另外两个数必须一个大于10，一个小于10，所以两个方格图中剩下6个数中有3个数大于1图一图二题目左图中，大于10的数可能是11、13、1、415，数字14如果和8同行列，14+8+，88=重3复0出现与题意不符；如果数字14与12同行列，14+120，而4+10+1，6必=须3出0现1，6与题意不符。所以，左图中大于10的三个数只能是11、13、15，剩下的3个数是：9、7、5，通过尝试检验、或“对号入座”可以完成表格，如上图一。

同理，题目右图中大于10同理，题目右图中大于10的数可能是5，数字12如果和同行列，12+6+1，122=重3复0出现与题意不符；如果数字12与14同行列，1214+4，=而340+10+1，6必=须3出0现16，与题意不符。所以，右图中大于10的三个数只能是11、13、15，剩下的3个数是：9、7、5，通过尝试检验、或“对号入座”可以完成表格，如上图二。3阶幻方的基本性质：1、3阶幻方的性质之一：幻和值N=3x中心格数。证明方法：两条对角线和中间行的3组数之和=3N,变式为：1、3列之和+3乂中心格数=3N，即，2N+3x中心格数=3N，得：N=3x中心格数。证明方法：1（或3）行和一条对角线这2组数之和=2、32、3阶幻方的性质之二：2x角格数=