2019第十二届阶段优秀2264队题

编号专用页数学建模网络赛第一阶段 A 关键 要速度不变是的，因此必然存在一个合适的仰角使得飞行距离最远，这正是要本文的结果约为42.30。是本文的最远距离（57m）小于Suzanne实验距离的原因，同时也是后面需要修正的地方，通过时间切片重构，可以将中飞行轨迹数据提取出来，与计参 参 Theimpactoftheairflowonthewingcanbalancethegravityofthefuselage,whichisthecharacteristicofpaperairnes.Withoutconsideringthebendingofthewing,thereisnopressuredifferencebetweentheairflowandthewing,onlytheimpactoftheairflowonthewing.Themomentumtheoremshowsthattheimpactoftheairflowonthewingisrelatedtothevelocityofthewingrelativetotheair.Duetothespecialshapeofthewingandthedifficultyinknowingthevelocitydistributionoftheairflowafterimpactingthewing,itisdifficulttocalculatetheimpact,butitisgenerallyproportionaltotheexponentialorderofthevelocity.Theindexiscalledtheairflowindexinthispaper,whichistheresultofthecomplexandcomprehensiveinctionbetweentheairflowandthewing.Generally,itcanbeobtainedfromexperiments.Inthispaper,itisalsofoundthattheairflowindexinthehorizontaldirectionandtheairflowindexintheverticaldirectionarenotthesame,andmaybeaffectedbyturbulenceandfuselagemechanisms.ysisofproblems:Inordertoobtaintheflightheightintheverticaldirectionandstrivefortheflighttime,itisinconsistentwiththeconstantspeedinthehorizontaldirection.Therefore,theremustbeanappropriateelevationangletomaketheflightdistancethefarthest.Thisisexactlytheproblemtobesolved.Inordertoobtaintherelationshipbetweentheflightdistanceandtheelevationangle,theprojectiononthegroundwhenSuzannepaperneisthrownistakenastheoriginofcoordinates,andtheflightdirectionofthepaperneistakenastheabscissatoestablishtheneRectangularCoordinateSystem,whichalsoassumesthattheproblemisconsideredinthene.ThemotionofSuzannepaperairneisorthogonally posedinFirstQuadrant,andthekinematicsequationsintwodirectionsareobtainedfromNewton'slawsofmotion.Becausethesintheascendinganddescendingphasesaredifferent,theproblemneedstobediscussedseparay.Thefinalkinematicsequationisapiecewisefunction,andthefunctionofhorizontaldistanceandelevationanglecanbeobtainedfrompiecewisecontinuousfunctiontosolvetheproblem.Processingofdata:Thecalculationresultsshowthatthisisaverycomplexfunctionandcannotbesolvedyticallybygeneralmethods.Therefore,itisnecessarytoobtainasetofnumericalsolutionscorrespondingtothehorizontaldistancebydiscretizingtheangle.Finally,thefunctionimageisobtainedbyfittingthediscreteanglewiththecorrespondinghorizontaldistancevalue,andtheanglecorrespondingtothefarthestdistanceisfoundfromthefigure.Theresultofthispaperisabout.Thefatalprobleminthisarticleis:Itwasfoundinthecalculationthattheverticalfallingspeedistoolarge,thatis,theassumptionthattheimpactisproportionaltothesquareoftheverticalspeedisincorrect.Similarly,thetoosmallhorizontalspeedindicatesthattheairflowindexneedstobereadjusted.Thisisalsothereasonwhythefarthestdistance(57m)inthispaperissmallerthanSuzanne'sexperimentaldistance,anditisalsothecetobecorrectedlater.Byreconstructingthepicturewithtimeslice,theflighttrajectorydatainthecanbeextractedandcomparedwiththecalculatedtrajectory,whichisthemethodtocultivatetheairflowindex.Thisarticledoesnotyzetheeffectofairflowontheairframefromthestructureoftheairframe.Obviously,itdoesnotfacetheproblemdirectly.Thisisthecetobestudiedlater.—问题重 二问题分 三模型假 四符号说 五模型的建立与求 模型建立的总思 误差小于1mm的suzanne纸飞机重心（质心）的计 Suzanne纸飞机重心（质心）坐标计 Suzanne纸飞机上升段的运动学方 Suzanne纸飞机下降段的运动学方 问题一冲击模型的修 上升段竖直方向运动学方程y1(,t)的修 下落段竖直方向运动学方程的修 下落段水平方向运动学方程的x2(,t)修 六数据处理与问题分 问题1的分析及数据处 初速度v0和阻尼系数k的实验测 下落时间t2的数值解分 问题2的分析及数据处 模型计算结果及改进想 该模型下的计算结 模型的问题及改进想 七参考文 八附 A4大小的纸张，折成一架纸飞机。大2012年，有一种叫suzanne的折法曾创下飞行距离的吉尼斯世界。飞行了超过69米。第二阶段问题：我们依然假定纸飞机（Suzanne为例）的翼面是精确的平面，速度不变是的，因此必然存在一个合适的仰角使得飞行距离最远，这正是要 表1符号对照表（不包含程序变量符号 符 说 H 抛出时纸飞机在地面上的投影（也可近似认为抛出者的站立点 空气密度，标准状态下为1.29kg

Suzanne纸飞机上升段的时间Suzanne纸飞机下降段的时间 vy1 y

v2 xvx2

个坐标表示该版块的质量，3表示叠加层数为3层，依次类推个坐标表示该版块的质量，3表示叠加层数为3层，依次类推水平飞行落地，对于suzanne纸飞机来说一定是满足的，所以要使得纸飞机坐标系，斜抛正是通过牺牲水平速度来增加抛出高度，增加的高度计为y0，在角度0正是本题要选找的，为了求解0需要将运动进行水平和竖直两个方向的

10.75xdx1.7(0.24x2.79)dx1.7(6.35x12.83)dx2(0.24x2.79)dx9.8(3.71x1.5(y41.5y)ydy3.2(y41.5y12.83)ydy5.2(y41.5y

3.17 3.2 10.75xdx1.7(0.24x2.79)dx1.7(6.35x12.83)dx2(0.24x2.79)dx9.8(3.71x mA(1)10.75xdx1.7(0.24x2.79)dx1.7(6.35x 2(0.24x2.79)dx9.8(3.71x41.5)dx170.81x2dx22(2.77xxA(2)

01

00.81xdx17(2.77x125(y7.26y1.25)ydy167(y7.26y1.25)12yA(2)12

1

00.81xdx17(2.77x1 2mA(2)200.81xdx217(2.77x6.01)dx

052.77x2dx14(1.57x0.6)xdx15(0.62x3.67)xdx35(1.37x 02.77xdx05(1.57x0.6)dx14(0.62x3.67)dx15(1.37x

06(y1.1y0.6)ydy15(y1.1y0.6)ydy28(y3.67y y(3) 0 1 0 1 1 50 1 1mA(3)302.77xdx305(1.57x0.6)dx314(0.62x3315(1.37x4.77)dx131.42x2dx22(1.42x

xA(4)01 01.42xdx13(1.42x15(y2.2y1.5)ydy28(y2.2y1.5)yA(4)

1.691

221

01.42xdx13(1.42x1 2mA(4)401.42xdx413(1.42x3.7)dx 0351.4x2dx07(1.4xxA(5)00

1.4xdx035(1.4x049(y0.98y)y(5) 035 0 1.4xdx035(1.4x0 0 1.4xdx5035(1.4x0.98)dx 037.3x2dx11(1.23x2.56)xdx16(2.43xxA(6)

00

1

07.3xdx03(1.23x2.56)dx11(2.43x 06(y1.32y)ydy22(y2.56y) y(6) 0 03 1 1 07.3xdx03(1.23x2.56)dx11(2.43x0 1mA(6)607.3xdx603(1.23x1611(2.43x3.88)dx

081.24x2dx55(0.24x0.8)xdx58(7.06x

00

01.24xdx08(0.24x0.8)dx55(7.06x 08(y40.3y0.8)ydy22(y40.3y y(8) 0 08 5 5 01.24xdx08(0.24x0.8)dx55(7.06x0 5mA(8)801.24xdx808(0.24x5855(7.06x41.1)dx

xB(1)00

05(z42.5z0.5)zdz5(z42.5z0.5)zdz69(z7.93z z(1) 0 0 4 11 30 4

mB(1)02.19xdx06(1.36x 11 1347(0.22x7.93)dx119(3.79x50.43)dx231.64x2dx72(0.77xxB(3)02 1.64xdx 223(z3.24z2.3)zdz69(z3.24zzB(3)

7 2

01.64xdx23(0.77x2 7mB(3)301.64xdx323(0.77x5.54)dx 041.25x2dx

x(3)

00

01.25xdx04(0.83xz(3)

0

0 01.25xdx04(0.83x0 mB1(3)301.25xdx304(0.83x0.83)dx 121.29x2dx2(0.88x2.6)xdx24(2.13x

01

1 2 01.29xdx12(0.88x2.6)dx2(2.13x05(z2.5z 26(z2.6z2.6z(5) 2.17)zdz0 12 2

1

mB(5)501.29xdx512(0.88x2

52(2.13x5.1)dx12(2.17xx(6) 20(2.17x 226z2.6zB(6)12 0(2.17x1mB(6)60(2.17x2.6)dx 155Bx(8)08(0.55x0.44)xdx55B

08(0.55x26z0.44zB(8)5

08(0.55x5mB(8)808(0.55x0.44)dx 5B(1)=（15.04,0,2.89,64.92） B(6)=（5.9,0,0.87,9.35）量坐标（A4Suzanne纸飞机重心（质心）心)计算出纸飞机的重心（质心）坐标位置，各版块的位置如下图9所示10xc(A) x(1)m(1)x(2)m(2)xxc(A) m(1)m(2)m(3)m(4)m(5)m(6)m yc(A) y(1)m(1)y(2)m(2)yyc(A) m(1)m(2)m(3)m(4)m(5)m(6)m xc(A)7.86,yc(A) xB(1)mB(1)xB(3)mB(3)xB(3)mB(3)xB(5)mB(5)xB(6)mB(6)x(8)mBcx(B)c

11

zc(B)

m(1)

m(3)m(3)m(5)m(6)m

xc(B)9.44,zc(B) （5.2.42（5.2.43） （5.2.40（5.2.44）

xxc(A)mAxc(B)mBcmA ccyyc(A)mAyc(B)mBcmA 量，其重心（质心）位置如图10所v2stftf yv0

v0 图12冲击计 图13仰ScosFkv2Scos故有 ykv2Scosmgmdvyy 其中m

tdtvy1(t

mdvy v Scoskyvy其中t[0,t1t1Suzanne纸飞机从脱手到上升到最大高度所花的时间，积分yv(t)ABy BA

t

sin，B ,b ,

1arctanA Sky竖直方向上的速度与时间关系（5.3.4）dyABtan(Sky BA

y1(,t)dytABtan(bt) t[0,t 0BA 即y(,t)1ln[BAtan(bt1ln[tan2bt1]1lnBt[0,t y1(,t1)2bln(B2 y0y1(,t1 5.3.2e 的投影为Scos，同理可得其在上升段受到的水平冲击力（阻力）Fkv2Ssin xyv0

v0

kv2Ssinm x tdtvx1(t

t

v0v

kv2Sx(t) x

t C其中C

,D

cos,该式为Suzanne

vx(t1)vx 22dx t[0,t C x1(,t)dxtCD t

0Cx(,t)Cln(CDt)t[0,t x0x1( 可以推测，创下吉尼斯世界Suzanne纸飞机能够根据自身的结构在到达最高点后的很短时间内将飞行调整为水平（文中假设飞行在最高点处在Suzanne力图如图5所示气流对机翼的作用力F完全可以平衡机体自身的重力G这是纸飞机的特点，故在下降开始一段时间后纸飞机将近匀速直线下降（注意机身是保持水平 vx

15mgkv2Sm

2dtvy2(t t[0,t 2t t

e2Etvy2(t)e2Et1vymaxt[0,t2

其中E ，vymax能无限接近不能到达，可以从下落的高度得到t2dye2Et e2Et1vy

t[0,t2

te2Etdy0e2Et1vymaxdtt[0,t2

y(,t)vymaxln(e2Et1) t[0,t y 当tt2Suzanney2(,t2)H0 vy

21)vymaxt2H0

B2 （5.4.81Suzanne纸飞机下落阶段一定能较好的保持水平的飞行（这是纸飞机是1 vx(t)vx

11

x2(,t)vx t[0,t2 C

（5.3.13（5.3.10

L()ClnCDt1 C

mgm

tdtvy1(t v0sinkvyvy(,t)

sinmg)e

t km kmy由v(,t1)0y1tmln(1kv0sin

mg)ek

t[0,t (vsin m 0 y(,t k dy[(v0sin )em t[0,

1 1y(,t)m(vsinmg)(1ekt)mg t[0,t1 1

m

tdtvx1(,t) v

kvx1(,t)v0cose

t

v(,t1)v(, t tdtv0cose t x(,t

k

dx vcosem t[0,t mv

kx(,t) (1em t[0,t mgkvm

t

t[0,t2 0dt其中t2v(,t)

km t[0,t2 k 其中vymaxlim (1em) 为修改后的下落极限速度，物理上无法到t dymg(1e

km t[0,t2 y2(,t

dy

(1ekt t[0,t 0

k y2(,t)k

em

t t[0,t2 k其中下落段的时间t2

y2(,t2)H0y1( v(,t)v(,0)v(,t) mgv0 mgkv0x(,t)mgv0 t[0,t 2

mgkv 0x(,t)mgv0 0 mgkv0即

mv2sin mgvL() mgkv0 mgkv0的v0和k可由试飞者在实验场地测试得到。初速度v0和阻尼系数k出水平抛出的距离s从而根据平抛运动可得如下式子H1gt

s

v0 16v0通过笔者的测试成年人的抛出速度一般在15m/ 利用（5.5.20）式子可以测量出试飞场地的阻尼系数kk是一个与机翼面积，方法如下，从头顶以任意的速度水平抛出纸飞机，测量飞机落地的时间t如图17所示，

m2gk

k2em

ktk

通过测试得到k0.0009kgs，不过k值对于时间的变化很敏感，而时间的测量误差较大，这就导致k值很难测量（准确。下落时间t2下落时间t2由（5.5.21）式子决定，但是该式子无法得到解析解，在固定k仰角仰角(弧度制0

对(5.5.21)式子的数值解分析

43下落时间下落时间210 下落高度可以看出仰角和下落时间t2是一一对应的，也就是说t2也是仰角的函数，函数图像如下图19所示，程序见附录3下落时间下落时间1

不同k值下仰角和下落时间的关系 仰角192t2的一组近似解（k0.0007/y2/t2/R-R-112t()0.552252.76145.57334.73120.224632

2下落时间t下落时间t1

角度与下落时间的关系（suzanne的平抛测试0.6 仰角20

t/平抛测试时间与最佳仰角拟合最佳仰角最佳仰角 平抛测试时间t/s，测试身高取

019.32t228.42t t[0.60, 0

AdjustedR-t/Suzanne的测试时间为0.6秒；测试距离取15m（与抛投着有关500个数据点500个数据点拟合函数Suzanne水平运动的距离Suzanne水平运动的距离0 仰角L()10.16665.245198.54311.73145.1262.43 [0,2R-R-11k设上升时间t后相应的飞行仰角为(t，则联立（5.5.3）和（5.5.10）k

sin

mg)e

mtan(t) m

k

v0coset tsec2(t)´(t) v0cos

k图 图 身 身

e2kt"(t)sec2(t) k

mem mvmem 当t0，(0)，代入（5.5.4）g2sin2gk

ymgrcos(t)kv(,t)(rr)cos(t)mr2y1"(t)mgrcos(t)kvy1(,t)(rr)cos

0mgrkv(rr)0

2g2sin

距离在r[0.001,0.01]上面离散，即在11厘米之间的调整不同重心位移下的仰角0086角加速度（旋转项角加速度（旋转项20 1r\重心位移和发射角度的关系数据点拟合曲线数据点拟合曲线发射角度（发射角度（弧度制 重心位