(理数)广州市2013届普通高中毕业班综合测试(二)

(理数)广州市2013届普通高中毕业班综合测试(二)LtDPAGEPAGE4广州市2013届普通高中毕业班综合测试（二）理科数学本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不A．B．C． D．7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是A．8年B．10年C．12年 D．15年8．记实数，，…，中的最大数为，最小数为，则A．B．1C．3 D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量．1011．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．12．已知函数，点集，，则所构成平面区域的面积为．13．数列的项是由1或2构成，且首项为1，在第个1和第个1之间有个2，即数列为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列的前项和为，则；．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（几何证明选讲选做题）在△中，是边的中点，点在线段上，且满足，延长交于点，则的值为．15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点，点是曲线上任意一点，设点到直线的距离为，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）某单位有、、三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为，，．假定、、、四点在同一平面内．（1）求的大小；（2）求点到直线的距离．17．（本小题满分12分）已知正方形的边长为2，分别是边的中点．（1）在正方形内部随机取一点，求满足的概率；（2）从这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为，求随机变量的分布列与数学期望．18．（本小题满分14分）等边三角形的边长为3，点、分别是边、上的点，且满足（如图3）．将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、（如图4）．（1）求证：平面；BCED图4图3ABCDE（2）在线段上是否存在点，使直线BCED图4图3ABCDE19．（本小题满分14分）已知，设命题：函数在区间上与轴有两个不同的交点；命题：在区间上有最小值．若是真命题，求实数的取值范围．20．（本小题满分14分）经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为．点、在轨迹上，且关于轴对称，过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点、．（1）求轨迹的方程；（2）证明：；（3）若点到直线的距离等于，且△的面积为20，求直线的方程．21．（本小题满分14分）设是函数的零点．（1）证明：；（2）证明：．

参考答案说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号12345678答案DACABCBD二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．9．541011．12．13．；14．15．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△中，因为，，，由余弦定理得…………………2分．………………3分因为为△的内角，所以．…………………4分（2）方法1：因为发射点到、、三个工作点的距离相等，所以点为△外接圆的圆心．………………5分设外接圆的半径为，在△中，由正弦定理得，…………7分因为，由（1）知，所以．ABCOD所以ABCOD过点作边的垂线，垂足为，…………9分在△中，，，所以………………11分．所以点到直线的距离为．……12分方法2：因为发射点到、、三个工作点的距离相等，ABCOD所以点为ABCOD连结，，过点作边的垂线，垂足为，…6分由（1）知，所以．所以．………9分在△中，，所以．……11分ABCDEFGH所以点ABCDEFGH17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）解：（1）这是一个几何概型．所有点构成的平面区域是正方形的内部，其面积是．…1分满足的点构成的平面区域是以为圆心，为半径的圆的内部与正方形内部的公共部分，它可以看作是由一个以为圆心、为半径、圆心角为的扇形的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△和△）内部构成．……………2分其面积是．………………3分所以满足的概率为．………4分（2）从这八个点中，任意选取两个点，共可构成条不同的线段．………5分其中长度为1的线段有8条，长度为的线段有4条，长度为2的线段有6条，长度为的线段有8条，长度为的线段有2条．所以所有可能的取值为．…………7分且，，，，．………9分所以随机变量的分布列为：……10分……10分随机变量的数学期望为．……12分ABABCDE证明：（1）因为等边△的边长为3，且，所以，．在△中，，由余弦定理得．因为，所以．折叠后有．……………2分因为二面角是直二面角，所以平面平面．……3分又平面平面，平面，，所以平面．……………4分BCEDHP（2）解法1：假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为．BCEDHP如图，作于点，连结、．……5分由（1）有平面，而平面，所以．………6分又，所以平面．………………7分所以是直线与平面所成的角．…………8分设，则，．…………9分在△中，，所以．……10分在△中，，．………11分由，得．……………12分解得，满足，符合题意．……………13分所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．………14分解法2：由（1）的证明，可知，平面．BCEDHxyzP以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图．……5分BCEDHxyzP设，则，，．…………6分所以，，．……7分所以.…………8分因为平面，所以平面的一个法向量为．………………9分因为直线与平面所成的角为，所以………………10分，………11分解得．………12分即，满足，符合题意．……………13分所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．………14分19．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分）解：要使函数在上与轴有两个不同的交点，必须…………2分即………………4分解得．所以当时，函数在上与轴有两个不同的交点．…5分下面求在上有最小值时的取值范围：方法1：因为………………6分①当时，在和上单调递减，在上无最小值；……………7分②当时，在上有最小值；………8分③当时，在上单调递减，在上单调递增，在上有最小值．………9分所以当时，函数在上有最小值．……………10分方法2：因为………6分因为，所以．所以函数是单调递减的．………7分要使在上有最小值，必须使在上单调递增或为常数．……8分即，即．…………9分所以当时，函数在上有最小值．…………10分若是真命题，则是真命题且是真命题，即是假命题且是真命题．……………11分所以…………………12分解得或．……………………13分故实数的取值范围为．………14分20．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为，依题意得，．………1分整理，得．所以轨迹的方程为．…………2分方法2：设动圆圆心为，依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线．…………1分且其中定点为焦点，定直线为准线．所以动圆圆心的轨迹的方程为．………………2分（2）由（1）得，即，则．设点，由导数的几何意义知，直线的斜率为．…………3分ABCDOxylABCDOxylE则，即．……4分因为，．………………5分由于，即．………6分所以．…………………7分（3）方法1：由点到的距离等于，可知．………………8分不妨设点在上方（如图），即，直线的方程为：．由解得点的坐标为．……10分所以．由（2）知，同理可得．………………11分所以△的面积，解得．………………12分当时，点的坐标为，，直线的方程为，即．……13分当时，点的坐标为，，直线的方程为，即．……14分方法2：由点到的距离等于，可知．…8分由（2）知，所以，即．由（2）知，．所以．即．①由（2）知．②不妨设点在上方（如图），即，由①、②解得………10分因为，同理．…………………11分以下同方法1．21．（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为，，且在上的图像是一条连续曲线，所以函数在内有零点．………………1分因为，所以函数在上单调递增．…………2分所以函数在上只有一个零点，且零点在区间内．而是函数的零点，所以．………………3分（2）先证明左边的不等式：因为，由（1）知，所以．……………4分即．所以．…………5分所以．…………………6分以下证明．①方法1（放缩法）：因为，…7分所以．……9分方法2（数学归纳法）：1）当时，