化工过程分析与合成化工过程系统的优化

化工过程分析与合成化工过程系统的优化第1页/共144页掌握线性规划问题的求解方法；掌握拉格朗日乘子法及罚函数法；了解过程系统优化的种类及优化的基本概念；了解过程系统参数模拟优化方法；了解变分法。[学习重点与难点]线性规划问题；非线性规划问题[学习目的]第2页/共144页4.1概述4.1.1优化问题的产生通过对化工过程系统的分析，可以建立过程系统的稳态和动态的数学模型。这些数学模型是对实际过程系统进行模拟的基础。所谓系统仿真（或系统模拟）实际上就是建立过程的数学模型。

对于化工过程系统而言，建立数学模型不仅仅是为了对过程进行模拟，其最终目的是要对过程进行优化。

化工系统工程的基础是模拟，但其核心内容是过程系统的最优化。第3页/共144页4.1.2优化问题生产每吨产品的成本最小:与目标大小相关的操作变量，如T，P，U等；实际上，就是求解当成本最小时的最佳操作条件。优化目标第4页/共144页4.1.3优化问题的类型A参数优化

（设计参数、操作参数）一过程系统优化问题二求解方法优化问题B结构优化C管理优化过程系统合成问题，在第7/8章介绍第5页/共144页A参数优化

（设计参数、操作参数）一过程系统优化问题确定设计参数、操作参数，使系统某个技术指标最佳。例如：在设计化工设备或成套装置时，总会碰到设备投资费用和操作费用之间的矛盾，即如何在设备投资费用与操作费用之间求得平衡，使总的投资效益最好；设计参数优化问题如:精馏塔设计中适宜回流比的选择第6页/共144页又如：对于运行着的化工装置，则需要我们通过定性的和定量的分析来确定能使单元或系统的某个目标函数达到最大（小）值时的生产操作条件.操作参数最优化

在实际生产过程中,调节温度、压力，使原料转化率最大第7页/共144页仅当某些因素（变量）从正反两方面影响优化目标时，才会存在最优化问题。注意：并非所有的系统均存在最优化问题。这类问题中，决策变量（参数、生产条件）与目标间的函数关系必定存在一个以上的峰（谷），即参数最优化问题。第8页/共144页B结构优化达到一定的生产目的，应采用什么样的工艺路线、什么样的流程结构最为合理，即流程方案的优化。即确定系统的构造（流程），使达到一定的生产目的，且最佳——系统合成。

费用最小，同时还应保证该方案满足安全、环保、易于实现等要求。第9页/共144页在多种可行方案中找出费用最小的流程结构，保证该方案满足安全、环保、易操作等方面的要求确定冷、热物流的匹配方式，以便充分利用系统内部热量，降低公用工程消耗流程方案的优化第10页/共144页结构优化和参数优化的最终目的：尤其是大型化工企业，由于其庞大的投资和漫长的建设周期，建成后是否具有竞争力至关重要，生产效益成为关注的焦点，故化工过程系统的优化也就变得十分重要。以最小的投入和日常消耗，获得最大的收益（利润）。第11页/共144页二求解方法优化问题一旦最优化问题提出，就还涉及到问题的求解，即求解方法的最优化问题。1、如何将研究对象转化成最优化数学模型；需要解决的问题：2、采用什么样的数学方法来求解最优化数学模型。A

分析问题属于哪种类型：连续操作还是间歇操作；稳态操作还是动态操作；单目标优化还是多目标优化等。B

选择建立何种模型进行优化：确定性模型、统计模型还是半经验模型。第12页/共144页4.2化工过程系统优化问题基本概念4.2.1最优化问题的数学描述问题的提出及数学模型：

A、优化的目标是什么？

B、哪些变量/参数与优化目标关系密切？确定决策变量；C、系统优化问题的数学描述如何进行？D、如何求解描述系统的优化数学模型？原则：与目标关系大、灵敏；生产上可调；尽可能少第13页/共144页最优化：在给定条件下获得最好的结果。在数学上，求解最优化问题就是找到一组决策变量，使目标函数J达到最大或最小值。由于目标函数J的最小值就是-J的最大值，即：minJ=max[-J]。所以求解最小值的方法完全可以用于求解最大值问题。求目标函数的最小值：minJ=minF(y)服从约束条件：不等式等式g(y)>=0e(y)=0y=(y1,y2,…yn)T

最优化问题的组成要素：目标函数，优化变量，约束条件与可行域。第14页/共144页一、目标函数（性能函数、评价函数）目标函数:最优化问题所要达到的目标.不同的决策，其好坏优劣要以它们使目标函数达到多少为评判标准。系统的产量最大、经济收益最大、能量消耗最小、原料利用率最高、操作成本最低、投资成本最低、稳定操作周期最长等.也可以是以上某些单个目标的组合，构成复合目标，即多目标问题:

操作费用和设备投资折旧的综合目标；能耗与投资的综合目标；产品质量与产量的综合目标等第15页/共144页系统的最优化是建筑在单元最优化的基础上的：系统最优化单元最优化的简单组合第16页/共144页二、优化变量minJ=minF(y)中的y为n维优化变量向量。对于过程系统参数优化问题，优化变量向量是过程变量向量。过程变量向量=决策变量+状态变量决策变量等于系统的自由度，它们是系统变量中可以独立变化以改变系统行为的变量；状态变量是决策变量的函数，它们是不能独立变化的变量，服从于描述系统行为的模型方程。第17页/共144页过程系统模型方程:f(w,x)=0m维状态变量r维决策变量又称状态方程，它表示的是系统状态变量与决策变量之间的关系状态方程数目与状态变量x的维数相同。若状态方程数目=过程变量数n，则可独立变化的决策变量=0，即系统自由度=0。此时，无最优解可寻，只有状态方程构成的非线性方程组的唯一解。自由度为0的系统优化问题即系统模拟问题

第18页/共144页状态方程的一般形式为：f(w,x,z)=0S维单元内部变量向量一般来说，在过程系统优化问题中，决策变量数仅占整个过程变量中很小的一部分，这一特性在缩小优化搜索时是有用的。第19页/共144页状态方程限制了状态变量与决策变量间的关系,故是一种约束条件。对于设计参数优化问题，设计规定要求也是一种约束条件。过程系统参数的优化问题显然都是有约束条件的。三、约束条件和可行域当过程变量向量y的各分量为一组确定的数值时，称为一个方案。实际上，有的方案在技术上行不同或明显的不合理，因此，变量y的取值范围一般都要给以一定的限制，称为约束条件。第20页/共144页约束条件有等式约束和不等式约束之分。过程系统参数优化的不等式约束条件=过程变量的不等式约束条件+不等式设计规定要求等式约束条件=等式设计规定要求+尺寸成本关系式h(w,x)=0与c(w,x,z)=0+状态方程式f(w,x,z)=0l维等式设计约束方程s维尺寸成本方程组第21页/共144页满足约束条件的方案集合，构成了最优化问题的可行域，记作R。可行域中的方案称为可行方案。每组方案y为n维向量，它确定了n维空间中的一个点。过程系统最优化问题是在可行域内寻求使目标函数达到最小值的一个点。这样的点称为最优化问题的最优解。第22页/共144页过程系统优化问题可以表示成：s.t.:f(w,x,z)=0;c(w,x,z)=0;h(w,x)=0;g(w,x)>=0minF(w,x)r维m维s维+++m维s维l维+变量数等式约束方程数自由度为：d=变量数-方程数=

(r+m+s)-(m+s+l)=r-l第23页/共144页自由度为：d=变量数-方程数=r-l即:自由度d=决策变量数r-等式设计约束方程数l若l=0，自由度等于决策变量数r；若r=l，自由度等于0，此时最优化问题的解是唯一的;若l>r，则最优化问题无解；若l<r，是最优化问题有解的必要条件之一。第24页/共144页P79例4-1.求一个受不等式约束的最优化问题服从于约束条件：解：可行域是由:三边所围成的区域，最优解只能是可行域内与点（3，2）距离最近的点(2,1)第25页/共144页4.2.2最优化问题的建模方法一、机理模型分析过程的物理及化学本质和机理，利用化学工程学的基本理论建立起来的一套描述过程特性的数学模型和边界条件.缺点：形式比较复杂，一般具有大型稀疏性特点，需要特殊的最优化方法进行求解，如求解方法选取不当，会影响迭代速度。对于过程机理清楚的问题，一般采用机理模型进行优化，其优点是结果比较精确。第26页/共144页统计模型

二、黑箱模型(经验模型)以小型实验、中间实验或生产装置实测数据为依据，只着眼于输入-输出关系，而不考虑过程本质，对数据进行数理统计分析，从而得到过程各参数之间的函数关系。优点：模型关系式简单，不需要特殊的最优化方法即可进行求解。缺点：外延性比较差，即该模型只适用于原装置操作条件的优化，而不适用于其它场合。多层神经网络模型（智能模型）

第27页/共144页多层神经网络模型（智能模型）

在最近10年中，它被广泛应用于过程系统模拟和优化问题。它也是基于实际生产数据或实验数据，但它在许多方面优于一般的统计回归模型。优点：在理论上，它适用于任何生产过程系统;寻优速度快;具有自学习、自适应能力，尤其适用于多目标优化问题;其求解都有相应的算法，例如BP（BackPropagation,反向传播）法等。缺点：需要大量样本数据，存在局部极值问题。第28页/共144页三、混合建模方法结合机理模型与黑箱模型的建模方法半经验模型第29页/共144页4.2.3化工过程系统最优化方法的分类最优化问题的机理模型通常为一套描述过程特性的方程组，需要特殊的最优化方法进行求解。求解最优化问题的方法很多，大致有如下几种分类原则：

1、无约束最优化与有约束最优化2、线性规划与非线性规划3、单维最优化与多维最优化4、解析法与数值法5、可行路径法与不可行路径法第30页/共144页一、无约束最优化与有约束最优化A无约束最优化

在寻求使目标函数达到最优的决策时，对决策变量及状态变量无任何附加限制.问题的最优解就是目标函数的极值,这类问题比较简单，其求解方法是最优化技术的基础。B有约束优化

在建立最优化模型时，直接或间接地对决策变量施以某种限制.其中又分为等式约束优化和不等式约束优化。通常求解有约束优化模型的方法是将有约束问题转化为无约束最优化模型进行求解。

第31页/共144页二、线性规划与非线性规划

根据目标函数及约束条件线性与非线性性质分线性规划LP非线性规划NLPA线性最优化

目标函数及约束条件均为线性函数B非线性优化

过程系统参数的优化通常属于非线性优化。目标函数或约束条件中至少有一个为非线性函数其求解过程通常来说比较复杂，所以有时也将其近似地线性化，然后用比较成熟的线性化规划技术进行求解。如果目标函数为二次型，而约束条件为线性函数，则称为二次规划问题。第32页/共144页三、单维最优化与多维最优化按优化变量的数目来进行划分.复杂的多维优化问题往往可以反复应用单维最优化方法来解决。只有一个可调节决策变量的单维优化问题是最简单的典型问题。第33页/共144页四、解析法与数值法按解算方法分解析法——间接最优化方法

数值法——直接优化方法/优选法它要求把一个最优化问题用数学方程式表示出来（故一般来说是显式的），然后用导数法或变分法得到最优化的必要条件，再通过对必要条件方程求解得到最优化问题的最优解。古典的微分法、变分法、拉格朗日乘子法和庞特里亚金最大值原理等都属于解析法。第34页/共144页利用函数在某一局部区域的性质或一些已知点的数值，逐步搜索、逼近，最后达到最优点。不要求目标函数为各种变量的显式表达式。

数值法又称为直接最优化方法，或优选法。第35页/共144页五、可行路径法与不可行路径法

按约束条件的处理方法来进行划分.A可行路径法整个搜索过程在可行域内进行.即对于变量的每次取值，均必须满足约束条件。对于每一次优化迭代计算（统计模型除外），均必须解算一次过程系统模型方法（即状态方程）f，也就是做一次全流程模拟计算。同时，要解算约束条件。这类方法简单可靠，但是计算量很大。第36页/共144页B不可行路径法整个搜索过程并不要求必须在可行域内进行，可以从不可行域向最优解逐步逼近，但在最优解处必须满足条件。

这类方法中，所有的过程变量同时向使目标函数最优而又能满足所要求条件的方向移动。这类方法的求解过程有可能不稳定，但计算量比可行路径法显著减少。计算量少的主要原因是比可行路径少一层迭代环节。第37页/共144页4.3化工过程系统最优化问题的类型A参数优化

（设计参数、操作参数）过程系统优化问题B结构优化C管理优化第38页/共144页一、设计参数优化

4.3.1过程系统参数优化把最优化技术应用于过程系统模型，寻求一组使目标函数达到最优，同时又满足各项设计要求的决策变量（即设计变量）。根据最优设计方案，从而计算单元设备的尺寸。

二、操作参数优化

实际生产操作条件不可能完全符合优化设计结果，如原料成分的变化，生产负荷与设计负荷的偏离，季节对环境温度的影响等。根据环境和条件的变化来调节决策变量（即操作变量），从而使整个过程系统处于最佳状态，也就是目标函数达到最优。第39页/共144页通过操作参数优化计算，可以找到对应系统条件下的精馏塔最佳回流比、操作压力、反应器最佳反应温度和再循环流量等。如果操作参数与生产装置的测试系统连接在一起，随时根据检测仪表送来的信息进行优化计算，然后将计算结果信息直接送往控制系统，则称为“在线操作优化”.第40页/共144页过程系统的设计参数优化和操作参数优化的区别：优化对象不同，前者优化的是设计变量，而后者优化的是操作变量.但就其数学本质而言，并没有什么根本的区别，优化的对象都是决策变量。第41页/共144页三、稳态优化模型稳态稳态集中参数优化模型f(w,x,z)=0（流程描述方程）c(w,x,z)=0（尺寸，成本方程）h(w,x)=0（等式设计约束方程）g(w,x)>=0（不等式设计约束方程）minF(w,x)s.t.:适用于稳态过程系统设计参数优化和离线参数优化。代数方程第42页/共144页四、动态优化模型引入了时间变量，过程变量、目标函数和约束条件均可为时间变量的函数。集中参数动态优化模型常微分-代数方程组s.t.:IC：x(t0)=x0状态函数向量决策函数向量微分形式状态方程不等式约束方程不等式设计规定方程等式状态方程及等式设计规定方程第43页/共144页由于动态模型描述的时间连续系统，故从控制论的角度又称为连续系统优化。动态优化模型的解不是一组简单的数值，而是时间的函数。动态优化模型与稳态优化模型的主要区别在于：适用于解决动态过程(间歇过程、开停工过程等)的优化设计及操作问题A

找到w(t)的最优变量规律，使得在规定时间内到达x(t)的指定值的系统规模最小；B

系统规模已定，找到w(t)，使一定时间内x(tf)值为最大；C

系统规模已定，找到w(t)，使内达到x(t)值的时间最短。第44页/共144页稳态模型与动态模型的比较稳态优化模型通常适用于稳态过程系统设计参数优化和离线操作参数优化。从控制论的角度，称稳态系统优化为离散系统优化。由于动态模型描述的是时间连续系统，故从控制论的角度称其为连续系统优化。动态优化模型与稳态优化模型的主要区别在于前者的解不是一组简单的数值，而是时间的函数.第45页/共144页(P82)例4-2：BR的最优操作。可逆放热反应通过改变其冷却衬套内冷却剂的温度，对反应器实现最优控制。M.B.:H.B.:IC:寻找Tc(t)，使达到给定转化率的时间最短。Objective:第46页/共144页目标函数这就是最短时间控制问题。Tc为操作变量，xA和T是状态变量。借助于最优化技术，可从上述动态优化模型解出使得目标函数J最小的最优解，同时可得到相应的最优状态轨线第47页/共144页4.3.2过程系统管理最优化一、资源的合理分配二、时序问题（Scheduling）三、多产品生产过程的排产计划工厂里的蒸汽、冷却水等公用工程几个车间共用一种化工原料的过程系统时间表问题多组反应器中的催化剂再生；间歇操作的流程中每个设备的运行周期；设备的维护和检修；多产品车间的生产运行。对一个给定生产厂的多个产品的生产计划排定及对一个生产装置网络的生产计划协调，都会出现利润最大的优化问题。第48页/共144页4.4化工过程系统中的线性规划问题线性规划是运筹学的一个重要分支。作为一种最优化方法，线性规划理论完整、方法成熟、应用比较广泛第49页/共144页4.4.1线性规划问题的数学描述一、线性规划数学模型的标准形式求一组非负变量，这些变量在满足一定的线性约束条件下，使一个线性函数达到极值.min/max[c1x1+c2x2+…+cnxn]s.t.:标准形式=一般模型第50页/共144页标准形式一般模型转化方法?A、将求极大化为求极小max(J)=min(-J)B、将不等式约束化为等式约束小于等于型不等式：松弛变量大于等于型不等式：剩余变量第51页/共144页C、将自由变量化为非负变量自由变量在线性规划的数学模型中，没有非负限制的变量一个自由变量化为两个非负变量；或者设法在约束条件和目标函数中消去自由变量。第52页/共144页例：P85例4-3将MaxJ=x1+3x2+4x3化为标准形。第53页/共144页MaxJ=x1+3x2+4x3min(-J)=-x1-3x2-4x3

自由变量标准形第54页/共144页MaxJ=x1+3x2+4x3MaxJ=5+x2+3x3-y1Min(-J)=-x2-3x3+y1-5第55页/共144页二、线性规划数学模型的解min[c1x1+c2x2+…+cnxn]s.t.:线性规划问题的标准数学模型minJ=CX

矩阵s.t.:AX=bX>=0

矩阵可行解最优（可行）解基向量，非基向量，基本解，基本可行解定理1，定理2第56页/共144页将矩阵看成由n个列向量组成，即设A的秩为m(m<=n)，从A的列中选出m个线性无关的列组成一个m阶矩阵，假设选择的是前m列，用B表示这个矩阵，称B为问题的一个基。它由m列线性无关的列向量组成:这些列向量称为基向量。A中其它列向量组成矩阵NN中的列向量称为非基向量。矩阵A可以分解为第57页/共144页相应地把X分解为与B对应的XB的分量称为基本变量，与N对应的XN的分量称为非基本变量。由于B线性无关，故有即基变量可用非基变量线性表示。若令XN=0，则第58页/共144页式(4-19)是式(4-14)的一个解，称为线性规划问题关于基B的基本解。minJ=CX

若B-1b>=0，称B为可行基，此时，称式(4-16)为关于可行基B的基本可行解按上式，目标函数J=CX也可以用非基变量线性表示：第59页/共144页整理得到：定理1（最优性判别定理）对于线性规划问题的基B，若有B-1b>=0，则对应于B的基本可行解XB是线性规划问题的最优解，称为最优基本可行解，基B称为最优基。定理2对具有标准形式的线性规划问题若存在一个可行解，则必存在一个基本可行解。若存在一个最优解，则必存在一个最优基本可行解。第60页/共144页4.4.2求解线性规划问题的图解法图解法实用于变量较少的线性规划问题。它通过作图的方式，直观地显示满足约束条件的可行域和目标函数的最优解。P86例4-4用图解法求解：第61页/共144页将x1、x2看作是坐标平面上的点，将前两个约束条件写成等式，则可以在平面上画出两条直线.四个约束条件围成的区域为可行域,最优解将落在由原点、A、B、D四个点围成的四边形内目标函数是线性函数,可得到一个平行直线族，平行直线族上落在可行域中的点都为可行解，其中使J取最小值的点即为最优解第62页/共144页第63页/共144页4.4.3求解线性规划问题的单纯形法由4.4.1节定理1及定理2知，线性规划问题的目标函数的最大值或最小值一定在基本可行解中获得。所以在寻找最优解时，只需要考虑基本可行解就行了。第64页/共144页记：第65页/共144页s.t.每一个等式约束中含有一个且仅含有一个基变量，而且基变量用非基变量线性表示。同样，目标函数也仅用非基变量线性表示，其中非基变量xj的系数yoj=Cj-CBB-1Aj称为的检验数或相对成本系数.第66页/共144页单纯形表x1x2…xmxm+1xm+2…xn-y0000…0y0m+1y0m+2…y0nx1y1010…0y1m+1y1m+2…y1nx2y2001…0y2m+1y1m+2…y2n…………xmym000…1ynm+1y1m+2…ymn第0行第1~m行m个约束方程第0列约束方程右端的常数项目标函数的变形y0j=cj-CBB-1Aj非基变量xj的系数检验数或相对成本系数第67页/共144页C

迭代计算，当目标函数值不能再减小，即满足最优条件用单纯形法求解线性规划问题的方法如下：A

求一个初始基本可行解；B

从基本可行解出发，转移到另一个目标函数值最小的基本可行解；P88[例4-5]第68页/共144页A将问题转化为标准形：解：第69页/共144页B为标准形找出一个基本可行解：最明显的可行解就是将系数为1的变量留下作为基变量，并设其他变量为0，作为非基变量。本问题中,留下x1,x5,x6,其值为约束等式右边的常系数，即：x1=6，x5=3，x6=4。剩下的变量x2,x3,x4为基本变量，均为0。可行解为：X=（6,0,0,0,3,4）T，初始可行基为单位矩阵：B=（A1，A5，A6）=I，CB（1，0，0）。非基变量xj的系数:y0j=cj-CBB-1Aj第70页/共144页非基变量xj的系数:y0j=cj-CBB-1Aj第71页/共144页C建立单纯形表;对应的目标函数值把b放入表的第0列，A1,A2,A3,A4,A5,A6放入表的1~m行中，把-y00和y0j放入表的第0行D检验可行解，看是否为最优解;最优解满足的条件为：第72页/共144页E转移至另一个基本可行解:I选择出现负检验数y0j最小的列q作为主列;II求最小比值选择出现θ的最小行p最为主行III以ypq作为主元，以换基公式：修改单纯形表,回到第B步,重新计算.F直到满足即得到最优解。第73页/共144页第74页/共144页4.4.4排产计划化工过程存在大量排产问题。例如该工段通常有十几组塔组成，这些塔交替进行制碱和清洗操作，如何将塔进行分组，合理安排制碱和清洗时间以保证重碱产量，这就构成了重碱生产中的排产问题。纯碱生产过程的重碱工段第75页/共144页又如多产品生产厂当原料成本或市场价格等因素发生变化时，为了保证全年利润，也需要重新安排生产计划.由于涉及到设备的生产安排、生产负荷与操作时间的调整，因此建立的优化模型大都为非线性模型。而对于只涉及到成本和利润的排产问题，建立的优化模型一般为线性方程，可以采用线性规划法进行求解。第76页/共144页例炼油厂排产计划某炼油厂的原料和产品情况如下:1#原油24$/桶2#原油15$/桶炼油厂A汽油36$/桶B煤油24$/桶C燃料油21$/桶D残油10$/桶第77页/共144页产品名称得率/%最大生产力或需求量/(桶/天)1#原油x12#原油x2A汽油x3804424000B煤油x45102000C燃料油x510366000D残油x6510加工费/$0.51.0产品得率及加工费,市场需求如表所示求每天用1#,2#原油多少桶进行生产可获得最大利润?第78页/共144页=(36x3+24x4+21x5+10x6)-(24x1+15x2)-(0.5x1+x2)目标函数maxf(X)=产值-原料费-加工费s.t.:0.8x1+0.44x2=x3,x3<=240000.05x1+0.1x2=x4,x4<=20000.1x1+0.36x2=x5,x4<=60000.05x1+0.1x2=x6x1,x2>=0第79页/共144页fmax=286700$/天x1=24000桶/天x2=2000桶/天x3=5120桶/天x4=2000桶/天若市场发生变化,例如原油价格、产品价格及原料品种等发生变化？若加工费用变化？若各产品得率发生变化？第80页/共144页4.5化工过程中的非线性规划问题4.5.1无约束条件最优化问题的经典求解方法对于一个函数f(x1,x2,…,xn)，如果都存在一阶导数则函数f(x)的极小值的必要条件为：对于满足以上方程的点成为极值点的充分条件：该点上的所有二阶导数均存在，且其赫森矩阵为正定。第81页/共144页赫森矩阵H正定的判定：行列式其主子式{D1，D2，…,Dn}均>0第82页/共144页根据函数存在极小值的充分必要条件，将无约束最优化问题的求解，转化为下面一组非线性方程的求解：其中满足的点，就是方程组的解。第83页/共144页方法缺点：B

由于上述条件是满足极小，而不是最小，所以找到的解可能是局部极值，而不是全局最优值；C

只能用于导数连续的场合，当导数不连续时，不能使用。而导数不连续之外，可能正好是最小值或最大值所在之处。A

对于复杂的问题，这种非线性方程组求解是相当困难的；第84页/共144页4.5.2有约束条件最优化问题的经典求解方法拉格朗日乘子法/罚函数法共同点:将有约束最优化问题转变成无约束最优化问题。第85页/共144页一、拉格朗日乘子法目标函数f(x1,x2,..,xn)服从等式约束条件：ej(x1,x2,..,xn)=0，（j=1,2,…,m）引入拉格朗日函数拉格朗日乘子第86页/共144页根据无约束最优化问题的求解方法，只要上式中的函数f和约束ej的一阶偏导数在所有各点存在，则只要求解下列非线性方程组，就可得到最优解。n+m个方程，个未知数第87页/共144页P91[例4-6]已知：压缩机混合器反应器蒸馏塔烃蒸汽压缩费用：1000p元/年输送费用为1/pR*4*109元/年分离所需费用为105R元/年再循环和压缩费用为1.5*105R元/年年产107千克A最优的操作压力p和循环比R，使每年总费用最小；B若要求的p和R乘积为900MPa，求最优的p和R。求：第88页/共144页A:无约束最优化问题I、将J对p和R求导数，求一阶导数零点；II、将J对p和R求二阶导数，并在其一阶导数为0点处验证其赫森矩阵是否正定，若正定，则为极小点。第89页/共144页此矩阵为正定矩阵，因此这一点就是极小点。第90页/共144页B有约束最优化问题：s.t.:pR=9000

I建立拉格朗日函数：第91页/共144页III、将J对p和R求二阶导数，并在其一阶导数为0点处验证其赫森矩阵是否正定，若正定，则为极小点。II、将J对p和R求导数，求一阶导数零点；第92页/共144页二、罚函数法基本思想：通过一个惩罚因子，把约束条件连接到目标函数上去，从而将有约束条件的最优化问题转化为无约束条件的问题。新的目标函数具有以下性质：当搜索到不可行点时，附加一个约束惩罚项，会使目标函数变得很大，而且离约束条件越远惩罚就越大。第93页/共144页目标函数：minf(x1,x2,..,xn)等式约束条件：gj(x1,x2,..,xn)惩罚因子罚函数等式约束条件的优化问题：第94页/共144页当kj为很大的正数时，只要x违反了约束条件，则惩罚项就会变成一个很大的正值，从而使F(x)离最小值更远。且x对约束条件偏离越大，惩罚也就越大。当kj趋近于无穷时，则只有gj(x)=0时，才使F(x)达到最小值，这时的解就是f(x)的解。F(x)最小值会因kj值的不同而不同。kj值越大，则惩罚项的权也就越大，偏离约束的可能性越小。第95页/共144页P93[例4-7]等式约束条件为：x1+x2-5=0目标函数：f(x)=x12+4x22解：I、建立带罚函数的目标函数：F(x)=x12+4x22+k(x1+x2-5)2

II、求新目标函数的极小值：第96页/共144页目标函数：minf(x1,x2,..,xn)一般约束条件的优化问题s.t.:带罚函数的目标函数：取gj(x)和0中较小的作为约束第97页/共144页计算步骤:

C、设k增大的倍数为a(a>1)，用ak代替原来的k值，作为新的罚因子，以x1为初始点，回到第2步。A、给定初始点x0及一个恰当的罚因子k；B、求F(x)的最小点x1,若x1可接受，则计算结束，否则第98页/共144页从不可行域逐步收敛到解的，这就要允许在不可行域进行函数估值，比如，试图求负数的对数或求负数的平方根等。缺点:将罚函数引入目标函数，可能导致二阶导数不连续；可能导致程序计算失败.使用梯度法来搜索最小时会发生困难；第99页/共144页动态系统参数的最优化又称连续系统最优化，这是由于优化问题的解是时间t的连续函数动态系统参数优化问题的一般模型4.5.3动态系统参数的变分优化法IC：x(t0)=x0第100页/共144页可以看出，目标函数随状态变量和决策变量的不同而不同，就是说明目标函数是函数的函数。在数学上，这种函数的称为泛函，求泛值的问题称为变分问题。因此，连续系统的最优化问题就是一个变分问题。第101页/共144页对于有约束的最优化问题，则先利用拉格朗日函数或罚函数，将其转化为无约束最优化问题后再进行求解。由于求泛函的极小值问题也是一种极值问题，因此与上两节中介绍的一般函数F(x)的极值问题有很多类似之处:对于无约束问题，根据极值问题存在的充要条件求取极值；第102页/共144页一无约束连续系统的最优化当函数y(x)经微小改变后变为y1

(x)，则称为函数的变分，表示了y(x)的微小改变。也写为式中是一个连续可微的任意函数，ε是一个很小的正数，当时，(1)泛函极值的必要条件第103页/共144页若y(x)的微小改变要求在区间[x1，x2]两端固定，即保持y(x1)=y1，y(x2)=y2，则应满足或记为：相应于函数y(x)的微小改变，泛函I[y(x)]的改变量为：将大括号内的函数的用泰勒级数展开，并略去ε的高次项得:第104页/共144页式中称为泛函I[y(x)]的第一变分。泛函I[y(x)]取极值的必要条件为：将前式等号右侧第二项分部积分得到：在端点固定（即y(x1)=y1及y(x2)=y2）的条件下，所以上式等号右侧第一项为零。因此第105页/共144页由于为任意函数，不恒等于零，所以要式4-32成立，必然有上式就是使泛函I[y(x)]取极值的必要条件，称为欧拉方程。有了这个方程，求泛函极值的问题就转化为求解微分方程的问题了对于（4-27）式给出的优化问题，其极值为下列偏微分方程组的解：第106页/共144页(2)泛函极值的充分条件要判断满足欧拉方程的函数是使泛函极大还是极小，需计算第二变分对作泰勒级数展开，忽略以上的高次项，得到：式中等号右侧第二项记为，称为第二变分：第107页/共144页对于满足欧拉方程的函数y(x)，，因此，若函数y(x)使第二变分,则有即函数y(x)使泛函I[y(x)]取极小；若函数使第二变分，则即函数y(x)使泛函I[y(x)]取极大。第108页/共144页我们把第二变分写成矩阵的形式：其中矩阵：就是Hesse矩阵，这时大于零（或小于零）与Hesse的正定（或负定）是一致的，二者都可作为判定泛函极值的充分条件第109页/共144页二有约束连续系统的最优化

(1)目标函数不含终态该问题是求函数向量x(t)和w(t)，使之满足常微分形式的约束条件，且使泛函极小的问题第110页/共144页先考虑一维情况。引进拉格朗日泛函：式中称做伴随函数或拉格朗日乘子函数利用泛函极值必要条件欧拉方程可得：即：边界条件：第111页/共144页由于时x是自由的，所以由欧拉方程的推导过程（4-33)式可知，。此时只有才能使欧拉方程成立。因此有：由（4-43）式有所以，应满足：第112页/共144页这样，原变分问题便转化成下面微分方程组的边值问题：边界条件：若给定终端条件的话，只需用其替代式中的边界条件即可。第113页/共144页和一般函数一样，上述方法称为拉格朗日方法。也可以推广到多维状态函数和决策函数的情形边界条件：同样可定义拉格朗日泛函：第114页/共144页由此可导出相应的两点边值问题：边界条件：这里共有2m+r个方程，可解出2m+r个未知函数，作为原问题的最优解第115页/共144页例4-8

有回流的连续反应系统的最优控制浓度为xi的物料以常流量q流入混合器，与分离器回流的物料混合后，以浓度x0及流量q+r进入反应器。反应后浓度为x，在分离器中分离出浓度为xf的产品以流量q流出。另一部分浓度为xr的物料以流量r回流至混合器第116页/共144页

反应器内进行不可逆吸热反应，反应动力学方程：(1)式中T

为反应温度。分离器的分割比s定义为(2)令C1表示纯产品的单价，C2表示反应器升高单位温度所消耗的能量费用，C3表示原料的单位成本。问题是应如何控制反应温度T，才能在[0,]时间内获得最大的利润第117页/共144页因此：原问题就是求取温度T与时间t的关系，以使得目标函数取得最大值

解：利润＝总收入－操作费用－原料成本（3）第118页/共144页分离器物料平衡为：（4）将2式代入4得：（5）混合器物料平衡为：（6）将2式代入6得：（7）由反应速度方程有：（8）(8)式代入(7)式消去，得到：（9）第119页/共144页(9)式代入(5)式并化简，得：（10）代入目标函数(3)式得：（11）式中A=C1(r+q)。由于y0是常数，所以原问题转化为求目标函数（12）的最大值。引进拉格朗日泛函：（13）因此，有：（14）（15）第120页/共144页由动力学方程式(1)和目标函数(11)式得到：（16）（17）代入(14)式得：上式与(1)式相除可得：（19）方程两端自x(0)至x(f)积分得：即：（21）（18）（20）第121页/共144页由(11)式得：由(1)式得将(22)和(23)式代入(15)式，得到：（24）上式与(21)式结合，可得：（25）上式是由拉格朗日法(4-35式)导出来的一个关系式，表明了温度应满足的条件。显然只有Tf为常数上式才会成立。因此得出结论，在等温条件下，这个反应系统能得到最大利润（22）（23）第122页/共144页4.6化工过程中非线性规划问题的数值求解化工数值算法以迭代形式逐渐逼近最优解：由一个初始点出发，如何不断寻找更新点，以逐渐趋近于最优解，并判断所得的点是否已足够趋近于最优解，而停止搜索的过程。第123页/共144页一、无约束非线性规划问题的搜索策略搜索方向搜索步长随机搜索、格点搜索、变量轮换法、单纯形法、最速下降法、共扼梯度法、牛顿法和拟牛顿法等。第124页/共144页二、变量轮换法

为含有n个变量的目标函数选择n个固定的搜索方向(通常是坐标轴)，然后连续使用一维搜索，使f(x)在每一个搜索方向上最小化。优化技巧：三、非线性规划的单纯型法四、最速下降法和共轭梯度法五、牛顿法和拟牛顿法六、有约束多变量非线性规划问题的搜索策略第125页/共144页4.7化工过程大系统的优化由于过程系统最优化是在过程系统模拟的基础上发展起来的，因而各种大系统的优化策略，也是最优化方法与过程模拟方法相结合而产生的。第126页/共144页一、化工过程大系统的优化方法MinF(w,x)

目标函数f(w,x,z)=0（流程描述方程）x(w,x,z)=0（尺寸，成本方程）h(w,x)=0（等式约束方程）g(w,x)>=0（不等式约束方程）s.t.:OPT1

第127页/共144页其优化方法按其处理约束条件的方式分为两大类：可行路径型和不可行路径型。优化搜索过程在可行域内进行对决策变量w迭代的每次取值，都必须求解流程方程，尺寸及成本模型方程和等式约束方程。优化搜索过程仅在最优解处满足约束条件所有变量w、x及z同时向使目标函数F最优而又满足约束条件的方向移动。第128页/共144页MinF(w,x)

目标函数f(w,x,z)=0（流程描述方程）x(w,x,z)=0（尺寸，成本方程）h(w,x)=0（等式约束方程）g(w,x)>=0（不等式约束方程）s.t.:OPT1

按稳态流程模拟系统求解因此，过程大系统优化问题的求解方法，实际是最优化方法与稳态模拟方法的结合。通常，可以利用稳态模拟方法求解(OPT1)MinF(w,x)中的等式约束方程，利用最优化方法寻求满足约束的目标函数最优解。第129页/共144页系统模拟优化策略可行路径黑箱搜索法可行路径联立模块法不可行路径序贯模块法第130页/共144页二、化工过程大系统优化方法评价标准A应用方便；如尽可能地利用现有的流程模拟系统，把数据和函数引入最优化算法程序，且花费的人工最少B计算可靠，初值选择方便，计算过程需要人工干预少，计算方法的适应性强；C解效率高过程系统参数优化算法解效率的衡量指标：ICPU时间；II流程贯通（FlowsheetPass）总次数。III优化/模拟所需CPU时间比RTos，IV优化/模拟所需流程贯通次数比RNos一般而言，系统参数优化的效率主要取决于RTos的数量级。第131页/共144页三、系统模拟优化采用的最优化方法评述A直接搜索法B罚函数型和拉格朗日型的优化方法它应用简便，计算比较可靠，但优化方法每迭代一次都要做一次全流程模拟计算，属于可行路径法。曾被广泛用于处理有约束的非线性问题，但随着问题维数的增多，其数学性质变得复杂，条件变坏，求解困难，而且罚函数的选择和修正带有很大的任意性。用以解决大系统参数优化问题。第132页/共144页C序列线性逼近法（SLP