华师等腰三角形的判定剖析

华师等腰三角形的判定剖析第1页/共34页OAB

如图，位于海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？问题情境：第2页/共34页19.4.2等腰三角形的判定

第3页/共34页学习目标：

1.掌握等腰三角形的判定定理.2、会综合运用等腰三角形的性质和判定进行有关的计算和证明。

重点重点第4页/共34页探究新知●

操作一做一做你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？

●操作二量一量，线段AB与AC的长度。画△ABC.使∠B＝∠C＝30°AB=AC怎样用数学推理进行证明呢？第5页/共34页ABCD12已知：如图,在ΔABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC你还有其他证法吗?证明:作∠BAC的平分线AD则∠1=∠2在△BAD和△CAD中如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等∠B=∠C∠1=∠2AD=AD(公共边)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)∴△BAD≌△CAD(AAS)第6页/共34页已知：△

ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作BC的中线AD在△

BAD和△

CAD中，∠B=∠CBD=CDAD=AD∴△BAD和△

CAD不一定全等∴AB和AC不一定相等ABCD（SSA）第7页/共34页已知：在△

ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作BC边上的高AD在

△

BAD和C△

CAD中，∠B=∠C∴△BAD≌△

CAD∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）ABCD∟∠ADB=∠ADC=90

°AD=AD（AAS）第8页/共34页

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)在∆ABC中，∵∠B=∠C∴AB=AC几何语言表示如下：等腰三角形的判定定理CBA温馨提示：这又是一个判定两条线段相等根据之一。注意：在同一个三角形中应用哟！第9页/共34页

如图,下列推理正确吗?

ABCD21∵∠1=∠2

∴BD=DC（等角对等边）∵∠1=∠2

∴DC=BCABCD21（等角对等边）错，因为都不是在同一个三角形中。辩一辩第10页/共34页巩固练习：下列两个图形是否是等腰三角形？750300400400试一试,我能行第11页/共34页试一试例1.在△ABC中,已知∠A=40°,∠B=70°,试判断△ABC是什么三角形,为什么?答:△ABC是等腰三角形。理由：在△ABC中，∵∠C=180°－∠A－∠B（三角形内角和等于180°）=180°－40°－70°=70°∴∠B=∠C=70°∴AB=AC（等角对等边）即△ABC是等腰三角形第12页/共34页36°72°1272°1236°ABC36°D

如图,已知∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°（1）求∠1和∠2的度数（2）指出图中所有的等腰三角形练习1第13页/共34页练习2

在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD是底边上的高,那么图中有

________个等腰直角三角形，分别是

。ABCD第14页/共34页例2如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,且AD∥BC,试判断△ABC的形状,并说明理由?BDACE12角平分线+平行线=等腰三角形第15页/共34页练习3已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,试判断△ABD的形状,并说明理由?ABDC第16页/共34页练习4如图，在等腰△ABC中，AB=AC，两底角的平分线BE和CD相交于点O，那么△OBC是什么三角形？为什么？ABCEDO第17页/共34页思考:如图,在△ABC中，已知∠ABC=∠ACB，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB,请想想看,由以上条件,你能推导出什么结论?并说明理由.ABCFEG如果EG∥BC？第18页/共34页如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.(1)、请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；∴∠2＝∠ABO∠3＝∠ACOOABCEF解：EF=BE+CF理由：ABCOEF1324∵EF∥BC∴∠1＝∠2∠3＝∠4∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB∴∠1＝∠ABO∠4＝∠ACO∴BE＝OECF=OF

∵EF=EO+FO∴EF＝BE+CF(2)AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？(1)中结论还成立吗？第19页/共34页变式题

如图，BD、CD是△ABC的一个内角平分线和一个外角平分线，且交点为D,过点D作这两角的公共边BC的平行线，问EF、BE、CF之间有何数量关系？第20页/共34页思考题如图,AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF∥BC.(1)、图中有几个等腰三角形?(2)、若△ABC中没有两边相等,则线段

EF、线段BE、CF有何数量关系？(3)、若过△ABC的一个内角平分线和一个外角平分线的交点作这两角的公共边的平行线，如图，则EF、BE、CF之间有何数量关系？第21页/共34页练习5

如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．解∵PQ=AP=AQ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=∠C+∠QAC=600∵QC=AQ∴∠C=∠QAC=300，同理∠B=∠BAP=300∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30+60+30=1200第22页/共34页如图,上午10时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从B处到灯塔C的距离解：∵∠NBC=∠A+∠C∴∠C=80°-40°=40°∴∠C=∠A∴BA=BC（等角对等边）∵AB=20（12-10）=40∴BC=40答：B处到达灯塔C40海里小试牛刀80°40°NBAC北第23页/共34页小结名称图形概念

性质

判定

等腰三角形ABC有两边相等的三角形是等腰三角形2.等边对等角3.三线合一4.是轴对称图形2.等角对等边1.两边相等1.两腰相等运用等腰三角形的判定定理时，应注意在同一个三角形中.第24页/共34页再巩固1、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？2、如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB。求证：OC=OD。ABCDE第25页/共34页等边三角形的判定方法：1.三条边都相等的三角形2.三个角都相等的三角形3.有两个角是60°的三角形4.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形第26页/共34页1.通过“探索”来理解“等角对等边”.2.你能比较“等角对等边”与“等边对等角”有什么不同吗？3.认真思考以下问题：（1）三条边都相等的三角形是_____三角形.（2）三个角都相等的三角形是_____三角形.（3）有两个角是60°的三角形是_____三角形.（4）有一个角是60°的等腰三角形是_____三角形.4.底角等于顶角一半的等腰三角形是_____三角形.第27页/共34页做一做：设三角形三边长分别是下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形．如果是直角三角形，请指出哪条边所对的角是直角．（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）35，91，84．根据勾股定理的逆定理可判断（1），（2），（3）都是直角三角形（最小两边平方和等于最大边的平方），其中最大边所对的角是直角。第28页/共34页练习1．说出定理“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题，并证明该逆命题为真命题．逆命题：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形。证明略2．如图，已知P、Q是△ABC的边BC上两点，并且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，求∠BAC的大小．解：∵PQ=AP=AQ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=∠C+∠QAC=60度∵QC=AQ∴∠C=∠QAC=30度，同理∠B=∠BAP=30度∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠QAC=30+60+30=120度第29页/共34页1.等腰三角形的识别

1).根据等腰三角形定义；

2).等角对等边小结2.了解了等边三角形识别,等腰直角三角形的概念1).三个角都是60的三角形是等边三角形2).顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形第30页/共34页

等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角相等；2.底边上的高、中线及顶角平分线三线合一想一想你怎样识别一个三角形是不是等腰三角形呢？第31页/共34页我能行！直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）若要证明下列定理，请你首先把它们写成“已知…….求证…….”的形式第32页/共34页ABC