高中数学章末小结教学案苏教版选修42苏教版高二选修42数学案

章末小结知识整合与阶段检测[对应学生用书P47]考情剖析矩阵与变换是新增内容，限制了矩阵为二阶矩阵，所以运算求解难度都不大，大多为基础题，考察基本观点与方法．真题体验1．(福建高考)设曲线22＋2xyy2＝1在矩阵a0a＞0)对应的变换作用下获得＋＝(1b的曲线为x2＋y2＝1.(1)务实数a，b的值；(2)求A2的逆矩阵．解：(1)设曲线2x2＋2xy＋y2＝1上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换下的像是P′(x′，x′a0xaxx′＝ax，y′)，则＝＝得y′b1ybx＋yy′＝bx＋y，又点P′(x′，y′)在x2＋y2＝1上，所以x′2＋y′2＝1，即a2x2＋(bx＋y)2＝1，整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1.2＋2＝2，＝1，＝－1，依题意得解得或b＝1.2b＝2，b＝1，因为a＞0，所以a＝1，b＝1.10101010(2)由(1)知，＝，2＝＝，11111211所以|A2|＝1，(A2)－1＝10－2.12．(江苏高考)已知矩阵A＝11β＝121，向量.求向量α，使得A2α＝β.2解：A2＝111132.2121＝34x32x1设α＝.由A2α＝β，得43＝，yy23x＋2y＝1，进而4x＋3y＝2.1解得x＝－1，y＝2，所以α＝.2[对应学生用书P47]求矩阵、逆矩阵掌握矩阵、逆矩阵的观点，矩阵相等的定义，二阶矩阵与平面向量的乘法例则，两个二阶矩阵的乘法法例及简单性质，会求逆矩阵，会用系数矩阵的逆矩阵或二阶队列式求解二元一次方程组．[例1]求矩阵A＝13的逆矩阵．25[解]ab设A－1＝，依据可逆矩阵的定义，cd13ab10则5c＝1，2d0a＋3cb＋3d10即＝01，2a＋5c2b＋5da＋3c＝1，b＋3d＝0，依据矩阵相等得＋5c＝0以及22＋5＝1.abd解得a＝－5，b＝3，c＝2，d＝－1，所以A－1－53＝.2－1[例2]设矩阵＝21，＝x，＝1，试解方程＝.322y[解]因为A＝21，3221而det(A)＝＝2×2－1×3＝1≠0，32系数矩阵A可逆，此时方程组有独一解，dbdetA－detA2－1而A－1＝ca＝，－－32AdetAdet所以X＝A－1B2－112×1－1×20＝＝＝.－322－3×1＋2×21x＝0，即y＝1.求曲线在平面变换下的方程掌握平面变换与对应矩阵之间的互相转变关系，理解矩阵乘法与复合变换之间的关系．[例3]二阶矩阵M1和M2对应的变换对正方形地区的作用结果以下列图．分别写出一个知足条件的矩阵M1和M2；依据(1)的结果，令M＝M2M1，求直线x－y－1＝0在矩阵M对应的变换作用下的曲线方程．[解](1)察看图形可知，1对应的变换为横坐标不变，纵坐标缩短为本来的1的伸缩变M2换，2对应的变换为逆时针方向旋转π的旋转变换，M2100－1故1＝1，2＝.M0M1020－11001(2)M＝01＝－2，10210设直线x－y－1＝0上随意一点P(x0，y0)在矩阵M对应的变换作用下的对应点P′(x，y)，则011＝x，－2x0＝－2y010y0x0yx0＝y，∴y0＝－2x.因x0－y0－1＝0，∴y＋2x－1＝0.故所求曲线方程为2x＋y－1＝0.[例4]设矩阵＝a0(此中＞0，b＞0)．M0ba(1)若＝2，＝3，求矩阵的逆矩阵－1；abMM22x22(2)若曲线C：x＋y＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下获得曲线C′：4＋y＝1，求，b的值．a－1＝x1y1，解：(1)设矩阵M的逆矩阵Mx2y2－110则MM＝.012020x1y110又M＝3，所以03x2y2＝，001所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，11即x1＝，y1＝0，x2＝0，y2＝，2310－12故所求的逆矩阵＝.M103(2)设曲线C上随意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下获得点P′(x′，y′)，a0xx′ax＝x′，则b＝y′，即0yby＝y′，又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以x′2＋y′2＝1，4a2x222则4＋by＝1为曲线C的方程．a2＝4，又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故b2＝1.a＝2，又a＞0，b＞0，所以b＝1.特点值与特点向量理解特点值、特点向量的观点，会求一个二阶矩阵的特点多项式，特点值及每个特点值对应的一个特点向量；可以计算多次变换的结果；应用二阶矩阵的特点值、特点向量求解实质问题．13－44[例5](江苏高考)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝，求矩阵A的特点值．112－2解：∵A－1A＝E，∴A＝(A－1)－1.13－4423∵－1＝，∴＝(－1)－1＝.11122－2∴矩阵A的特点多项式为λ－2－3f(λ)＝＝λ2－3λ－4.2λ－1令f(λ)＝0，解得矩阵A的特点值λ1＝－1，λ2＝4.[例6]121给定矩阵＝，向量α＝.172求M的特点值及对应的特点向量e1，e2；确立实数m，n使向量α可表示为α＝me1＋ne2；(3)利用(2)中表达式间接计算2008α.M[解](1)特点多项式f(λ)＝λ－1－2＝(λ－1)2－4，2λ－1令f(λ)＝0，得λ1＝3，λ2＝－1.1M的特点值λ1＝3对应的特点向量e1＝，11特点值λ2＝－1对应的特点向量e2＝，1因为α＝me1＋ne2，111m＋n＝1，所以＝m＋n，即71－1m－n＝7.m＝4，