高中数学同步讲义分册选修1-1第一章1.2充要条件

学习目标1.理解充要条件的意义.2.会判断证明充要条件.3.通过学习弄清对条件的判断知识点一充要条件的概念思考1 命题“若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数”中条件和结论有什么关答案只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立思考2 若设p：整数a是6的倍数，q：整数a是2和3的倍数，则p是q的什么条件？q是p的什么条件？答案梳理p⇒qq⇒pp⇔q.此时，我们说，pq知识点二充要条件的判断(1)充分必要条件(充要条件)p⇒qq⇒p；(2)p⇒qq⇏p；A⊆BpqABpq的B⊆ApqBApq的若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不q类型一例1 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不p：x＝1x＝2，q：x－1＝解(1)因为四边形的对角线互相平分⇏四边形是矩形，pq的必要不充分条件(2)因为x＝1或x＝2⇒x－1＝ x－1⇒x＝1或x＝2，pq的充要条件(3)m>0⇒x2＋x－m＝0Δ＝1＋4m>0，即方程有实根；方程x2＋x－m＝0有实根，pq的充分不必要条件与感悟①原命题为真，逆命题为假时，pq②原命题为假，逆命题为真时，pq③原命题与逆命题都为真时，pq④原命题与逆命题都为假时，pq的既不充分也不必要条件.pqqp的什么条件训练 (1)“x＞1”是“log1(x＋2)＜0”的 2 答案解析由x＞1⇒x＋2＞3log1(x＋2)＜0log1(x＋2)＜0⇒x＋2＞1⇒x＞－1，故 是log1(x＋2)＜0”成立的充分不必要条件.2(2)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( 答案解析x＝1，y＝－2时，x>yx>|y|不成立；因为|y|≥y，所以若x>|y|，则x>y.所以x>y是x>|y|的必要不充分条件.类型二充要条件的探求与证明命题角度1 4例 4解

Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，则ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立.a＝0ax2－ax＋1－a>0a＝0ax2－ax＋1－a>0x都成立.必要性：因为ax2－ax＋1－a>0对一切实数x都成立，所以a＝0或0≤0≤4ax2－ax＋1－a>0x都成立的充要条件与感悟探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结训练2 解是充要条件t＝－1n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，又a1＝3适合上式，又∵an＋1－an＝2(常数∴数列{an}3为首项，2为公差的等差数列.故t＝－1是数列{an}为等差数列的充分条件.2a2＝a1＋a3t＝－1，故命题角度 例 证明充分性：∵ac<0，∴ax2＋bx＋c＝0aaax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根方程a，且a与感悟一般地，证明“pq”，在证充分性时，应以q为“已知条件”，p是要证明的“结论”q⇒pp为“已知条件”，q是要证明的“结论”p⇒q.3a，b是实数，求证：a4－b4－2b2＝1a2－b2＝1，该条解a4－b4－2b2＝1a4－b4－2b2＝1，即a4－(b4＋2b2＋1)＝0，a2＋b2＋1≠0a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1.a2－b2＝1a4－b4－2b2＝1成立的必要条件“x2>2017”是“x2>2016”的 答案sinA>2 sinA>2答案2解析∵A＝120°，∴sinA＝2sinA>故sinA>，，sinA>2故“A>60°”是“sinA> 2 在△ABC中，B＝60°是△ABCA，B，C在△ABC中，A＝BsinA＝sinBlgx>lgy是x>y答案解析选项AB＝60°⇒A＋C＝120°⇒A＋C＝2B⇒A，B，C成等差数列；而角A，B，C成等差数列⇒A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°3B＝180°，所以B＝60°，故命题为真.B2x＋2＝0x＝－1B正确C中，在△ABC中，A＝B⇒sinA＝sinB，反之，若sinA＝sinB，AB不可能互补(180°)A＝BsinA＝sinB的充要条件.选项D中，取x＝2，y＝0，有x>ylgy却无意义， 答案m＝－4解析圆心(1,1)x＋y＋m＝0的距离为22即|2＋m|＝2m＝－43解3x＋m<0333x2－2x－3>0x<－1∴q：B＝{x|x<－1∵p⇒q3∴A3∴m≥3m的取值范围是①pqp⇒qq⇒p②pqp⇒qq⇒p证的是充分性40分钟作设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( 答案解析a＝1⇒N⊆M，N⊆M⇒a2＝1或2，a＝1N⊆M的充分不必要条件设p：x<3，q：－1<x<3，则p是q成立的( 答案解析∵x<3⇏－1<x<3∴pq设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( 答案解析a>b⇏a2>b2，∴a>b是a2>b2的既不充分也不必要条件. ①x2>4x3<－8③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件. 答案解析选项①中，x2>4⇒x>2x<－2，x<－2⇒x>2x<－2，x>2或x<－2⇏x<－2，∴x2>4x3<－8函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( 答案 解析∵f(x)＝x＋mx＋1＝x2＋14 已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的( 答案解析p⇒r⇒s⇒qq⇏pr⇒p，故选 1 答案解析x2－x＋m>0R则 设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的 答案解析x>1y>1⇒x＋y>2，而x＋y>2⇏x>1且y>1，∴pq 答案①“a>b”是“3a>3b”的充分不必要条件③“a＝0”是“函数f(x)＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件 答案解析

＝x3＋ax2(x∈R)为奇函数”的充要条件，正确关于x的方程m2x2－(m＋1)x＋2＝0的实数根的总和为2的充要条件 答案解析m＝0x＝2

2m＝1

m2 2m＝1m＝－1Δ<0，故充要条件是m＝0.2M＝{x|x<－3解M∩P＝{x|5<x≤8}若，显然是a<－3