高中数学第1章基本初等函数(Ⅱ)122单位圆与三角函数线教案新人教B新人教B高一数学教案

单位圆与三角函数线学习目标核心修养1．经过三角函数线观点的学习，培育学生的数1．认识三角函数线的意义．(要点)学抽象和直观想象核心修养．．会用三角函数线表示一个角的正弦、2．借助三角函数线的应用，培育学生的逻辑推余弦和正切．(难点)理及直观想象核心修养.1．单位圆一般地把半径为1的圆叫做单位圆．角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．2．三角函数线思虑：三角函数线的方向是如何确立的？[提示]三角函数线的方向，即规定的有向线段的方向：凡三角函数线与x轴或y轴同向的相应三角函数值为正当，反向的为负值．1.如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完整正确的选项是( )→→A．正弦线PM，正切线A′T′→→B．正弦线MP，正切线A′T′→→C．正弦线MP，正切线AT→→D．正弦线PM，正切线ATC[由三角函数线的定义知C正确．]π6π2．角5和角5有同样的()A．正弦线B．余弦线C．正切线D．不可以确立π6π的终边互为反向延伸线，故它们有同样的正切线．]C[与555π3．角6的终边与单位圆的交点的坐标是________．315π5π3－2，2[因为角6的终边与单位圆的交点横坐标是cos6＝－2，纵坐标是sin5π16＝2，5π31.]∴角6的终边与单位圆的交点的坐标是－2，2三角函数线的观点【例1】(1)设P点为角α的终边与单位圆O的交点，且sinα＝MP，cosα＝OM，则以下命题建立的是( )A．总有MP＋OM＞1B．总有MP＋OM＝1C．存在角α，使MP＋OM＝1D．不存在角α，使MP＋OM＜04分别作出4π和－7π的正弦线、余弦线和正切线．(1)C[明显，当角α的终边不在第一象限时，＋＜1，＋＜0都有可能建立；MPOMMPOM当角α的终边落在x轴或y轴正半轴时，MP＋OM＝1，应选C.]3(2)解：①在直角坐标系中作单位圆，如图甲，以Ox轴为始边作4π角，角的终边与单位圆交于点，作⊥轴，垂足为，由单位PPMOxM圆与Ox轴正方向的交点A作Ox轴的垂线，与的反向延伸线交于TOP3333点，则sin4π＝MP，cos4π＝OM，tan4π＝AT，即4π的正弦线为→→→MP，余弦线为OM，正切线为AT.4②同理可作出－7π的正弦线、余弦线和正切线，如图乙．sin4117＝MP，cos4117＝OM，44→→→11，余弦线为11，正切线为1.tan－π＝11，即－π的正弦线为17AT7MPOMAT1．作正弦线、余弦线时，第一找到角的终边与单位圆的交点，而后过此交点作x轴的垂线，获得垂足，从而获得正弦线和余弦线．→2．作正切线时，应从A(1,0)点引单位圆的切线交角的终边于一点T，即可获得正切线AT，要特别注意，当角的终边在第二或第三象限时，应将角的终边反向延伸，再按上述作法来作正切线．1．以下四个命题中：α一准时，单位圆中的正弦线必定；②单位圆中，有同样正弦线的角相等；③α和α＋π有同样的正切线；④拥有同样正切线的两个角终边在同一条直线上．不正确命题的个数是( )A．0B．1C．2D．3C[由三角函数线的定义①④正确，②③不正确．②中有同样正弦线的角可能不等，如5πππ6与6；③中当α＝2时，α与α＋π都没有正切线．]利用单位圆解三角不等式【例2】在单位圆中画出合适以下条件的角α终边的范围，并由此写出角α的会合．(1)sin3α≥2；1(2)cosα≤－2.31[思路研究]作出知足sinα＝2，cosα＝－2的角的终边，而后依据已知条件确立角α终边的范围．3[解]

(1)作直线

y＝

2

，交单位圆于

A，B两点，连结

OA，OB，则

OA与

OB围成的区域(图(1)中暗影部分)即为角α的终边的范围．故知足条件的角α的会合为π2πα2kπ＋3≤α≤2kπ＋3，k∈Z.1作直线x＝－2，交单位圆于C，D两点，连结OC与OD，则OC与OD围成的地区(图中的暗影部分)即为角α的终边的范围．故知足条件的角α的会合为2π4π.α2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z331．经过解答此题，我们能够总结出用三角函数线来解基本的三角不等式的步骤：作出取等号的角的终边；利用三角函数线的直观性，在单位圆中确立知足不等式的角的范围；将图中的范围用不等式表示出来．2．求与三角函数有关的定义域时，先转变为三角不等式(组)，而后借助三角函数线解此不等式(组)即可得函数的定义域．2．求y＝lg(1－2cosx)的定义域．[解]如下图，1－2cosx＞0，2cosx＜2，π7π∴2kπ＋4＜x＜2kπ＋4(k∈Z)，∴函数定义域为2kπ＋π，2kπ＋7π(k∈Z).44三角函数线的综合应用[研究问题]1．为何在三角函数线上，

点P的坐标为

(cos

α，sin

α)，点

T的坐标为

(1，tan

α)呢？[提示]

由三角函数的定义可知

sin

yα＝r，cos

xα＝r，而在单位圆中，

r＝1，因此单位圆上的点都是

(cos

α，sin

α)；此外角的终边与直线

x＝1

的交点的横坐标都是

1，因此依据

tan

yα＝x，知纵坐标

y＝tan

α，因此点

T的坐标为

(1，tan

α)．2．如何利用三角函数线比较大小？[提示]

利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：

(1)角的地点要“对号入坐”；

(2)比较三角函数线的长度；

(3)确立有向线段的正负．π【例

3】

已知

α∈

0，2

，试比较

sin

α，α，tan

α的大小．[思路研究

]

此题能够利用正弦线，所对的弧长及正切线来表示

sin

α，α，tan

α，并借助它们所在的扇形及三角形的面积大小来解决．[解]

如下图，设角

α的终边与单位圆交于点

P，单位圆交x轴正半轴于点A，作PM⊥x轴，PN⊥y轴，作AT⊥x轴，交α的终边于点T，由三角函数线定义，得sinα＝MP，tanα＝AT，又α＝AP的长，11S△AOP＝2·OA·MP＝2sinα，1S扇形AOP＝·AP·OA21AP1，＝·＝22α1·1.△AOT＝·＝tanαS2OAAT2又∵S△AOP＜S扇形AOP＜S△AOT，sinα＜α＜tanα.1．此题的实质是数形联合思想，即要求找到与所研究问题相应的几何解说，再由图形有关性质解决问题．2．三角函数线是单位圆中的有向线段，比较三角函数值大小时，一般把三角函数值转化为单位圆中的某些线段，从而用几何方法解决问题．3．利用三角函数线证明：|sinα|＋|cosα|≥1.[证明]在△中，＝1，＝|cosα|，＝|sinα|，因为三角形两边之和大OMPOPOMMP于第三边，因此|sinα|＋|cosα|＞1.当点P在座标轴上时，|sinα|＋|cosα|＝1.综上可知，|sinα|＋|cosα|≥1.(教师用书独具)1．应用三角函数线比较大小的策略①三角函数线是一个角的三角函数值的表现，从三角函数线的方向能够看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．②比较两个三角函数值的大小，不单要看其长度，还要看其方向．2．利用三角函数线解三角不等式的方法①正弦、余弦型不等式的解法关于sinx≥b，cosx≥a(sinx≤b，cosx≤a)，求解要点是合适地追求点，只要作直线y＝b或x＝a与单位圆订交，连结原点与交点即得角的终边所在的地点，此时再依据方向即可确立相应的范围．②正切型不等式的解法关于tanx≥c，取点(1，c)连结该点和原点并反向延伸，即得角的终边所在的地点，联合图象可确立相应的范围．1．已知α(0＜α＜2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号同样，那么α的值为( )3ππ5π7πA.4或4B.4或4π5ππ7πC.4或4D.4或4C[由题意α的终边为一、三象限的均分线，且0＜α＜2π，故得α＝π5π或.]4412．在[0,2π]上知足sinx≥的x的取值范围是( )2ππ5πA.0，B.6，66C.π2πD.5π6，6，π31π5πB[画出单位圆(图略)，联合正弦线得出sinx≥2的取值范围是6，.]63．用三角函数线比较sin1与cos1的大小，结果是_____