《线性代数》第四章 矩阵的特征值与特征向量

线性代数矩阵的特征值与特征向量第四章本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵的相似对角化等问题，然后介绍向量空间、基与维数，以及向量的内积、长度及正交等知识．第四章4.1方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量定义１设是阶矩阵，如果存在数和维非零列向量，使得（1）成立，则称数是方阵的特征值，称非零向量为的对应于特征值的特征向量．（１）式也可以写为．（2）定义２设是阶矩阵，则含有的矩阵称为的特征矩阵．行列式是的次多项式，记作，称为方阵的特征多项式．方程称为方阵的特征方程．显然，特征方程的根（特征根）就是的特征值．第四章4.1方阵的特征值与特征向量二、特征值和特征向量的简单性质定理１阶矩阵与其转置矩阵有相同的特征值．定理２阶矩阵可逆的充分必要条件是其任一特征值不等于零．定理３设是方阵的个特征值，依次是与之对应的特征向量，如果各不相等，则线性无关．即的不同特征值对应的特征向量线性无关．第四章4.2

n维向量空间一、向量空间与子空间第四章4.2

n维向量空间一、向量空间与子空间定义２设有向量空间，若，则称是维向量空间的子空间．任何由维向量空间所组成的向量空间，都是的子空间．例１本身是维向量空间的子空间；只有一个零向量构成的空间也是维向量空间的子空间．定义３设为向量空间，如果向量组满足：（i）线性无关；（ii）中任一向量都可由线性表出．则称向量组为向量空间的一个基（或一组基），一个基中向量的个数称为向量空间的维数，并称为维向量空间．第四章4.2

n维向量空间二、向量的内积定义４设有维向量

，称为向量与的内积．定义５设维向量，则称为维向量的长度．第四章4.2

n维向量空间二、向量的内积定义６设，是两个非零的维向量，则定义，之间夹角的余弦为

．因此夹角为．第四章4.2

n维向量空间三、向量正交定义７若中两个非零向量，之间的夹角等于90°(即)，则称与正交（或垂直），记作．零向量与任何向量都正交．定理１中两个非零向量，正交的充分必要条件是它们的内积等于零．定理２设是一组两两正交的维非零向量，则线性无关．定义８设维向量是向量空间的一个基，如果两两相交，且都是单位矩阵，则称是的一个规范正交基．第四章4.2

n维向量空间四、正交矩阵定义９如果阶矩阵满足，则称为正交矩阵，简称正交阵．第四章4.3

相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵定义１设，都是阶矩阵，若有可逆矩阵，使，则称矩阵与相似，记作，或称是的相似矩阵．对进行运算，称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把变成的相似变换矩阵．定理１若阶矩阵与相似，则与的特征多项式相同，从而与的特征值亦相同．推论若阶矩阵与对角阵相似，则是的个特征值．第四章4.3

相似矩阵与矩阵的对角化一、相似矩阵定理２阶矩阵相似于对角阵（即矩阵可对角化）的充分必要条件是矩阵有个线性无关的特征向量．推论若阶矩阵有个不同的特征值，则矩阵与对角阵相似．证设有个不同的特征值，对应的特征向量．根据§4.1定理3，向量组线性无关，所以由定理2可知，与对角阵相似，其中第四章4.3

相似矩阵与矩阵的对角化二、对称矩阵的对角化定理３对称矩阵的特征值为实数．定理４设，是对称矩阵的两个特征值，，是对应的特征向量，若，则与正交．定理５设为阶对称矩阵，则必有正交矩阵，使