与圆锥有关的问题

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学员姓名:课时数：3课时学科教师：教案年级：初三

辅导科目：数学教学内容一、 学习目标：认识圆锥，了解圆锥的侧面、底面、高、母线等有关概念；2•动手实践得出圆锥侧面展开图的形状；3•探索圆锥侧面积、全面积计算公式；4•会应用圆锥面积公式解决有关问题；5•复习和巩固圆锥的侧面和侧面展开图之间的关系；掌握圆锥侧面上路径最短问题的解决方案.对最短距离问题或最短路径问题进行归纳，培养学生解决此类问题的能力.二、 知识回顾：7nnn兀R1.弧长的计算公式：l= -2兀R=二TOC\o"1-5"\h\z360 180n 12•扇形面积计算公式：S= •兀R2或S=1R.\o"CurrentDocument"360 2三、 知识梳理：1圆锥的有关概念如图，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段，叫做圆锥的母线，通常用字母l表示母线长.连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，通常用字母h表示.离离圆锥的基本特征：圆锥的高通过底面的圆心，并且垂直于底面；圆锥的母线长都相等；经过圆锥的高的平面截圆锥所得的轴截面是等腰三角形;圆锥的侧面展开图圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图.圆锥的母线长=侧面展开图扇形的半径；圆锥底面圆的周长=侧面展开图扇形的弧长=2nr.圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面积可以利用展开图的扇形面积求得.S=S =—l-2兀r=兀rl侧扇形2圆锥的全面积等于侧面积与底面积之和，即S=S+S=兀rl+兀r2全侧底圆锥中的展、围、转、剖圆锥是一种重要的几何体，与它相关的计算类型繁多，若能根据展、围、转、剖的特征学习圆锥，则这部分知识可迎刃而解.请看下面的解读.展——“展”就是把一个圆锥的侧面沿它的一条母线剪开后展在一个平面上.圆锥的侧面展开图是一个扇形，此时圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径.围——“围”就是将扇形两边的半径拼到一起，围成一个圆锥，它与“展”恰好相反.此时，扇形的圆心就成了圆锥的顶点，扇形的半径就变成了圆锥的母线，扇形的弧长变成了圆锥底面圆的周长.下图是圆锥和圆锥的侧面展开图，体现了圆锥和扇形之间的转化关系，灵活理解“展”和“围”的过程，可以帮助同学们理解圆锥的侧面积和全面积的计算公式：S=S=1・2n「1=nrl,S=nrl+nr2.圆锥侧扇形2 圆锥全转一_圆锥可以看做是由一个直角三角形旋转得到的.旋转过程中直角三角形的一条直角边等于圆锥的高，另一条直角边等于圆锥的底面半径.如下图，右边的圆锥可以看成是Rt^ACD绕直角边AD旋转得到的，其中CD为圆锥的底面半径，斜边AC为圆锥的母线长.剖一一“剖”就是将圆锥沿着它们的轴将它们一分为二，所得到的截面（轴截面）是等腰三角形，这个等腰三角形的腰长等于圆锥的母线长，底边长等于圆锥的底面直径.4.圆锥侧面上路径最短问题解决圆锥侧面上的“最短路径”问题，关键是将圆锥的侧面展开得到与原侧面对应的平面图形，在平面图形中寻找最短路径.四、典例探究1已知圆锥底面半径和高求侧面积、全面积【例1】已知圆锥的底面的半径为3cm，高为4cm，求它的侧面积和全面积.总结：圆锥底面圆周上任一点与顶点间的线段都是圆锥的母线，连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，不要将母线与高混淆.若圆锥的母线为1,底面半径为r,高为h则r2+h2=l2，已知任意两个量，就可以求出另外一个量3•圆锥的侧面积公式是Srrl，圆锥的全面积=侧面积+底面积，即：S=S+S=兀厂1+兀厂2.侧 全侧底练1.一个圆锥的底面半径为3cm，高为3叮3cm，求：（1） 圆锥的轴截面中，两母线所夹角（锥角）的度数；（2） 圆锥的全面积.-已知底面圆周长和母线长求扇形圆心角【例2】一个圆锥的底面圆周长是2n,母线长是3,则它的侧面展开图的圆心角等于（ ）A.150°B.120°C.90°D.60°总结：1•圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长nn2•根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长忌与圆锥底面圆周长相等，列等式可求得扇形圆心角.180练2.（2014•宁化县质检）已知圆锥的底面半径是3,母线长为6,则该圆锥侧面展开后所得扇形的圆心角为（ ）A.60°B.90°C.120°D.180°实际问题中的圆锥问题【例3】某学生一家周日去旅游，准备搭建一个如图所示的帐篷，其中已知下方圆柱底部面积为16n平方米，高为2.5米，上方圆锥高为1米，市场购买布料需每平方米10元，求搭建这样的帐篷需要多少钱？总结：求立体图形表面积问题，首先要分析该立体图形有几个面围成，然后将有关数据标注在示意图上，根据不同表面的面积计算公式依次做出计算.注意要灵活应用圆锥侧面积公式.实际问题中，求完立体图形的表面积之后，往往进行一些与实际相关联的计算，注意审题练3.九年级（1）班为即将到来的“五•一”国际劳动节排练节目时需要3个底面圆半径为10厘米，母线长为20厘米的圆锥形小红帽（不计接缝损失）.（1） 试确定这种圆锥形小红帽侧面展开图（扇形）的圆心角的度数；（2） 现有宽为40厘米的矩形布料可供选用，按照题目要求在图1中画出使布料能充分利用（最省料）的示意图，并求出矩形布料的长至少为多少厘米.40求从圆锥母线上一点出发绕圆锥侧面一周的最短路径长【例1】已知圆锥的底面半径为r=20cm，高h=20\：'15cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发.在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离.

总结：解决圆锥侧面上路径最短问题的步骤：展开-一将圆锥侧面(曲面)展开成扇形(平面)；连线-—在扇形中找到最短路径；计算-—找直角三角形，利用勾股定理计算.练1.如图，一只纺锤可近似看作由两个圆锥拼合而成，AB=18,AD=9,r=3.求纺锤的表面积；—只蚂蚁要从C点出发绕这只纺锤爬一圈回到原地，求蚂蚁爬过的最短路线长.2.求从圆锥底面圆周上一点到对面母线或母线中点的最短路径长【例2】如图，已知圆锥的底面半径为9cm,PA=27cm,C为PB的中点，AB为底面直径，则在圆锥侧面上由点A到点C的最短路径是多少?总结：解决圆锥侧面上路径最短问题的步骤：展开-—将圆锥侧面(曲面)展开成扇形(平面)；连线-—在扇形中找到最短路径；计算-—找直角三角形，利用勾股定理计算.将圆锥侧面展开后，注意圆锥侧面上的有关元素与展开后的扇形上的有关元素要对应练2.如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm.求它的侧面展开图的圆心角和表面积.若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B,请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？

五、课后小测一、选择题TOC\o"1-5"\h\z已知圆锥的底面半径为lcm，母线长为3cm，则其侧面积为（ ）A.n B.3nC.4nD.7n2•用半径为3cm、圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）A.2ncm B.1.5cmC.ncmD.lcm用一个半径为30cm,面积为300ncm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（ ）A.5cm B.10cm C.20cmD.5ncm如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为r,扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（ ）A.2\2rB.rC.“0rD.3r如图，圆锥底面半径为8,母线长15,则这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角Za%（ ）

A.120。B.150。C.192。 D.210°TOC\o"1-5"\h\z已知圆锥的底面周长为58cm，母线长为30cm，求得圆锥的侧面积为（ ）A.870cm2 B.908cm2 C.1125cm2 D.1740cm2圆锥的底面半径与母线比是1：2,则这个圆锥侧面展开圆的圆心角的度数是（ ）A.30°B.60°C.120° D.180。如图在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个圆，使之恰好围成圆锥，则扇形半径R与圆的半径r的关系为（ ）A.R=rA.R=rC.R=3rD.R=4r、填空题如果圆锥的底面周长是20n,侧面展开后所得的扇形的圆心角为120°，则其侧面积 （结果用含n的式子表示）.若一个圆锥的底面圆的周长是4ncm，母线长是6cm，贝V该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 度.已知圆锥底面圆的半径为3,高为3，则它的全面积 .一个圆锥的三视图如图，则此圆锥的表面积为 圆锥体的底面周长为6n,侧面积为12n,则该圆锥体的高为 .如图，一个扇形铁皮OAB.已知OA=60cm,ZAOB=120°,小华将OA、OB合拢制成了一个圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），则烟囱帽的底面圆的半径为 .

（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积?（2） 若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求这个圆锥的底面圆的半径？（3） 能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底面？请说明理由.如图，要用芦席造一个粮仓，其上部是圆锥形，下部是圆柱形，底面也用芦席铺垫,如果每平方米需用芦席2平方米，按图中尺寸计算一下，共需多少芦席（精确到0.1m2）.一、选择题如图，已知圆锥的母线长OA=6,底面圆的半径为2,一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处.则小虫所走的最短距离为（）A.12B.4nC.6*2 D.6J3一圆锥体形状的圣诞帽，母线长是30cm，底面圆的直径是15cm，点A为圆锥底面圆周上一点，从A点开始绕圆锥侧面缠一圈彩带回到A点，则彩带最少用（）厘米（接口处重合部分忽略不计）

(2)若一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处，且SM=3AM，求它所走的最短距离.8•如图，有一堆圆锥形的稻谷，垂直高度CO=4j2m,底面0O的直径AB=4m,B处有一小猫想去捕捉母线AC中点D处的老鼠，求出小猫绕侧面前行的最短距离.9.动手操作:圜③ 图④ 图⑤圜③ 图④ 图⑤如图①，把长为1、宽为h的矩形卷成以AB为高的圆柱形，则点A，与点A重合，点B'与点B重合；探究发现：如图②，圆柱的底面周长是40,高是30,若在圆柱体的侧面绕一圈丝线