初三数学秋季课讲义教师版

第一讲图形的旋转与中心对 第二讲旋转与几何综合（一 第三讲旋转与几何综合（二 第四 第五讲点、直线与圆的位置关 第六讲正多边形与 第七讲圆的证明与运算小综 第十讲相似三角形的性质与判 第十一讲相似应用及位 第十二讲相似三角形相关证明（一 第十三讲相似三角形相关证明（二 第十四讲锐角三角函 第十五讲解直角三角 第十六讲锐角三角函数与四边 第十七讲相似三角形复 第十八讲期末模拟测试与讲 下列图形中不是中心对称图形的是（ 【答案】关于平行四边形的对称性的描述，错误的是（【答案】 【答案】 B C D1第一讲图形的旋转与中心对点O叫旋转中心，转动的角叫做旋转角。、和和 旋转角(2)形状大2、 如图，已知∠EAD=30°，△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，则∠BAE= 2、 【答案】1、如图所示是三个菱形，它可以看作是什么―基本图形‖通过怎样的旋2、如图，五角星可看作是由什么―基本图形‖通过怎样的旋转而得到的△ABC 则点A′的坐标是( ，)，点C′的坐标是( ，)．等腰直角三角形按题意要求画出图形，由图D9把一个图形绕着某一点旋转180°把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这把一个图形绕着某一个点旋转，那么就说这两个图形关于这个点对称，也称。这个点叫做，这两个图形中的对应点叫做关于中心的。 【例5】如图，若四边形ABCD与四边形CEFG成中心对称，则它们的对称中心是，点A的对称点是，E的对称点是．BD∥且BD= ．连结A，F的线段经过，且被C点，△ABD≌． 【答案】 组【答案】 A.1 B.2 C.3 D.4 D.旋转后能重合的两个图形成中心对称。【答案】 【答案】CG、BF两线段不共线，所以它们的7】如图所示，△ABC与△A′B′C′OO不慎被涂掉了，请你帮排版工人找到对称中心O的位置．连接CC′，取线段CC′的中点，即为对称中心把一个图形绕着某一个点旋转180把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合， D A．1个B．2个C．3个D．4【答案】 个B．3个C．2个D．1【答案】如图所示，作出△ABC关于点O如图所示，作出四边形ABCD关于点A在△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中 y轴 1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（【答案】 A．1 B．2 C．3 D．4【答案】3、如图，已知菱形ABCD与菱形EFGH关于直线BD上某个点成中心对称，则点B的对称 【答案】 D.【答案】B（－4，－1分别为A′(2,－2)、B′(4,1)、C′(－1,－1)，依次连接A′B′、B′C′、A′C′，就可得到与△ABC关于原点对称的△A′B′C′.1.（1）如1，△ABC和△CDE都是等边三角形B、C、D三点共线AD、BE相交于点P，求证：BE=AD.如图2，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列 图∴∠BCE=∠BCEACD∴△BCE≌△∴证明：在PE上截取PM=PCCM，先证△BCE≌△ACD（SAS）CPD∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD，即PB+PC+PD=BE．第二讲旋转与几何综合（一遇中点，旋180，构造中心对称；遇90，旋90，造垂直；60，旋60，造等边；时针旋转45°，则这两个正方形部分的面积是 EB EBA【练习1】如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标 yyF2D OB3xC 图 图中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足关系时，仍有∠DAE=45°BD=1EC=2DEF FDC图 图(2)∵ABC∴∴在△AEG与△AED中∴△AEG≌△AED∴DE=EG∴∴DE 如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，试判断BEDF与EF三条线段之间的数量关系直接写出判断结果： 如图2，若把(1)问中的条件变为―在四边形ABCD中1

2在（2）问中，若将△AEFAE、FBC、CD延3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给结论EFBE＋DF仍然成立（∴△ADF≌ABF∴∠1=∠2，AF'=AF，BF'=DF.∠ABF'=∠1

BAD4=2+2∴∠4=∠1+∠ABCABFABE=180°F、B、E共线AF=AF'∠4=∠1+∠3，AEFAEFEFEF'EF=BE＋BF即：EF发生变化EF、BE、DF之间的关系是EF=ADF绕点AADABFBCF处，得到△ABF'，如图3所示.6060

（DD BCP 图AB证明：延长BP至E，使PE=PC，联结 图 则点P在三角形ADB′外 在△PB′C中，有∵△AB′D、△ABC是等边 ∴C

线AB的两侧.ACA A A∴DG1，AG 3∴GB3∴tanABG

AG 3 3

D ∴ABG30o，AB23∴DBC90o，BC DB24227DB24227作EAD60oAEADED、∴△AED是等边三角形，∴AEAD，EAD60o∴ABAC，BAC60oEADDABBACDAB，即EABDAC， 5∴EB=DC∴EB246CD6，此时ADB120o

CED第24题图已知MANAC平分在图1中，若MAN120，ABCADC90，AB AC（填—‖或―‖或―②若MAN(0180，ABCADC180，含的三角函数表示，直接写出结果，不必证明AB＋AD

ABAD 2CCE⊥AME，CF⊥ANF，则∠CEA=∠CFA=90°．AC∴AC=AC，∴∵在Rt△CEA∴∠ECA=30°，∴∴AE+AF=2AE=AC．∴∵∴CE=CF，∠CED=∠CFB，∴ED=FB，∴∴

E ∵∠MAN=60°，

323

∴GD=HB，∴HB+DA+AH=②AB＋AD＝2cos·AC24】已知△ABCAC为边在△ABC外作等腰△ACD（1）1DAC2ABCAC=BC，四边形ABCDABC 2，若ABC30△ACDAB=3，BC=4.BD3，若ABCAHBCHBD24AH2BC2D 图 图 图2AAB为边在△ABC外作BAE=60°AEAE=AB，连结BE和CE.∵△ACD是等边三角形∵BAE ∴DAC+BAC=BAE+BACD即EACBAD∴△EAC BAE ∵ABC30∴EBC90∵EBC90DAC=2ABC成立..AK.AHBC∴AHC90∴EBC90∵EBC90∴EC2EB2BC24AH2BC2∵BD24AH2BC2∵K为BE的中点 EBC90∴AKB90∴AKBE的垂直平分线∴△EAC≌△BAD∴EACBAD∴EACEADBADEAD即EABDACEBC90ABC为锐角∴ABC90EBA∴EBABEA∴EAB1802EBA

图在图中画出DEM关于点MAMDM时，试求BECGBEC BECGBEC 图 图 图DECBDECB ∴∠CEF=∠F. DEBCDEBC∵FG∥CE且 由（1）CE=CF，∠ECF= ∠ECF= ∴△ECG是等边三角形 AD∥BCAF平分∠BAD 180

2DBDACEEH． A

【答案 ∴△ABH为等腰直角三∴△AHC绕点H逆时针旋转90°得 图HHF⊥HEBEF点，∴∠FHE＝90°，在△AHE和△BHF

D AH 4第三讲旋转与几何综合（二构造方法：遇中点，旋180°，构造中心对称；A C 图 图 图∴△ABC是等边三角形2 D∵∠APB2 D∴△ADP是等边三角形∴∠DAP 321PDF321PDF

如图1：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想AB与BD+CD数量 2：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=45°AB与BD+CD数 猜想：2ABBD证明：如图，过A点作AE⊥AC交CD延长线于E点 AF⊥ABBDF点，连接EF。 在等腰Rt△ABF中，结论可以得出 D D E图 图 CD（2）BE＝ BCMMD60ºMDED. AA B

C图 图 图EDMF的相等关系依然成立证明：连接DE、DFDDDE//BC，DE=1BC，DF//AC，DF=1 △ABC是等边三角MD=MD，DMD△DMDMDD60，MD MDFMDDMDF△DDEEDEDMF的相等关系依然成立

ADDE C 2，若P是线BC上一个动点（PB、C重合）AP，将线APA60°，得到线AE，联结CE，猜想线AD、CE、PC之间的数量关系，中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出线段AD、CE、PC之间的数量关系． 22

∴在△ABP和△ACEABBAPCAEAP∴CE+ 2 （CE－PC．24】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（060BCB逆时针旋转60°得到线段BD。1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求301 △ABE为等边三角形证明连接AD、CD、 则BCBD，DBC 又∵ABE ABD60DBEEBC301 且△BCD为等边三角形.在△ABD与△ACO中ABADBD∴△ABD≌△ACDBADCAD1BAC1 ∵BCEBEC180(301)1501 在△ABD与△EBCBECEBCBC∴△ABD≌△EBC∴AB∴△ABE∵BCD60，BCE∴DCE15060又DEC∴△DCE∴DCCE∵BCEEBC(180150) EBC301 ∴【练习4△ABC中，AB=AC，∠A=30°，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD，A DE 图 图（1）∠ABD=15 45∵线段BC绕点B逆时针旋转 易证△AEF≌△FCD（AAS． FDE 图5将等腰Rt△ABC和等Rt△ADE按图1方式放置，∠A=90AD边与AB边重合，α（0α≤180，D直线CE于点P.如图2，BD与CE的数量关系 ,位置关系 BD

图 图BDCE，BDCE ∴ABAC，ADAE∵BACDAE ∴△ABD△ACE ∴CPBCAB90∴BPCE∵ADBP，DAE90，ADAE∴ADPE2∵ADB90，AD2，AB4∴ABD30∴BDCE23∴CPCEPE232FAF1，若BAC60DF2BFAFBF的数量2，若BAC60DF3BFAFBF的数量关DAE BG EAFBFG EAF2BFADAB∴△ADG≌△ABF

ADG＝ABF∴AGAF，DAG＝BAF∴GAFGAB∴GABDAGDAB

∴GAF是等边三角形.又∵DF3BF.∴AFGFDFDGDFBF1.(1)⊙O最长的弦是 是半圆．若AC=4cm，则⊙O中任意弦长l的取值范 (2)若∠A=40°，则 【答案 B． C． DA【答案】E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为 A．

【答案】 9 2

C D【答案】【答案】证明：(1)∵AB为⊙O的直径，CDABCDD∴CE=ED，CBDB D∴BCD=∴OAC=OCA∴ACO= (2)3OC2=OE2+CE R2R32+46∴2R=225=

3第四 圆的定义与性在在一个平面OAO旋转一周A所形成的图形读作“O”．OD、OC．若∠AOC=70°，且AD∥OC，则∠AOD的度数为 【练习1.1】.已知；如图，在⊙O中，C、D分别是半径OA、BO的中 <2分钟>【答案】提示：证△AOD≌△BOC(4) S=：πr2．【例2】如图，⊙O半径为4cm，则图中最长的弦是，长为．⊙O中任意一条弦的长度l的取值范围是 【答案】直径，8cm，0cm＜l≤8个小圆的周长l2= ；把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长 .<3分钟2

πa 或“3】下列说法中，结论错误的是（【答案】 B．2 C．3 D．4【答案】 【答案】【答案】【答案】提示：作OH⊥AB，利用―三线合一‖及垂径定理即可B1B1x 连接BD1BC ∵点A的坐标是（23 Rt△ABDBD2∴ABBD2 5【答案】 5【练习5.1】如图，两正方形如图放置，若小正方形的边长为6cm5【答案】51

2∴BE=∵AD⊥BC在△OAD与△OBE中∴△OAD≌△OBE（AAS，∴AD=足为H，连接BC、BD．337】已知：⊙O25cmAB=40cmCD=48cm，AB∥CD．求这两条平行弦AB与CD之间的距离．【答案】8cm或22 14cm【练习7.2】如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为 【答案】∴CD是△APB的中位线 圆O的半径为6cm，求AB、CD之间的距离.【答案】 33cm。提示：分类讨论，涉及到上一节平行弦之间距离双解问题⊙O的半径为10，则 C【答案】【答案】【练习9.2】若圆的一条弦把圆分成度数比为1：3的两条弧，设圆的半径为R，这条弦长 B2的度数 如图3，垂直于AD的n条弦B1C1，B2C2，B3C3，…， 把圆周2n等分，则∠Bn （用含n的代数式表示∠Bn的度数． OB OBn-Cn-AO

Bn- Cn-图1 图 图 BDn和DC的延长线交⊙O外一点E．求证：BC=EC．∵四边形ABCD10.1】已知：如图，⊙OABCDAB⊥CDE，FDC延长线上一点，连接AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．10.2已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，在∠BACAC上，任取一点D，如图1，BAC，直接写出∠ADB的大小（用 如图2，如果BAC=60°，求 图 图 图 2∵∴△ABC是等 ∴△DCE是等边三 ⊙O中，M为弧AB的中点，则下列结论正确的是 【答案】 如图， 的直径，C、D是圆上两点CBA70，则D的度数为 B B. BD【答案】【答案】3.17cm证明：在MA上截取ME=MC，连接BE，∴=而（2）BD=5的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知 也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样BD=CD52△OBD是等边三角形，则⊙A的半径为3cm，直线L上有一点P到A的距离为3cm，则直线L与⊙A的位置关系 A.相 B.相 C.相 D.相交或相【答案】在平面直角坐标系中，已知点A(0，2),⊙A的半径为2，点P(a，0).⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有 【答案】如图，△ABC内接于⊙O，且AB＞AC．∠BAC的外角平分线交⊙OE，EF⊥AB，垂足F．

AB、

若EF=AC=3，AB=5，求△AEF的面 （2）AB 2ABAC 3）2DD作⊙ODEACE，DG⊥BCF，交⊙OG．． ∵BC为⊙O∴AC是⊙O的切线.CP=CB．若⊙O的半径为5，OP=1BC所以∠OBC=∠CBP+∠OBA=∠APO+∠A=90°BC是⊙O（2）设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC第五讲点、直线与圆的位置关P在⊙O上；0≤d<rP在⊙O内． 【答案】【练习1.1】关于半径为5的圆，下列说法正确的是（ A．若有一点到圆心的距离为5，则该点在圆外B．若有一点在圆外，则该点到圆心的距离不小于5【答案】－3)，B(4，－2)C(23,2)与⊙OA、BP点AB的垂直平分线上 A．1∶2B．2∶3C．3∶4【答案】【练习2.1】如图所示，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（-2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（ A（-B（1，-C（-D（2，1）【答案】【练习2.2】若正△ABC外接圆的半径为R，则△ABC的面积 3232直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割d=rlO设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d系rdOldr直线l与⊙OrdOldr直线l与⊙Ordldr直线l与【答案】(1)

(4)

cmR＞12cm，(5)

cm

【练习3.1】已知：Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm，以C点为圆心，作半径为【答案（1）0cm＜R＜4.8cm，(2) (4)R＜4.8cmR＞8cm，(5)R=4.8cm 【答案】是的中点，若∠EDA=∠AMD．求证：AD是⊙O的切线．定直线DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

OA即可2又∵EBC【例6】如图，在Rt△AOB中，OA=OB=32，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点，则线段PQ的最小值为 【答案】-轴上一动点，PQ切○A点Q，则当PQ最小时，P点的坐标 若AD2,TC ∵PQ切⊙O根据角平分线性质可得HT=TC=3，根据直径所对的圆周角是直角可得OE⊥BD，从而根据AAS可得△OBE≌△OTH，从而BE=TH= ，所以BD=2 ，在Rt△ABD中，【例7】已知：如图，从两个同心圆O的大圆上一点A，作大圆的弦AB切小圆于C点，大圆的弦AD切小圆于E点．若AB=5，则AD= D两点，若∠APB=40°，PA=5，则下列结论：①PA=PB=5；②△PCD的周长为5；③∠COD=70°．正确的个数为（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】 【例8】已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切

ba2边分别切于E，F，D点，则DF的长为( 【答案】，r⊙O1与⊙O2外离⊙O1与⊙O2外切⊙O1与⊙O2相交r1-⊙O1与⊙O2内切d=r1-⊙O1与⊙O2内含d＜r1-；；；；；；．【练9.1】如图，平面直角坐标系中，⊙O的半径1P（a，0，⊙P的半2把⊙P向左平移，当⊙P与⊙O相切时，a的值 【练习9.2】如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4l1cm为半径的⊙P与⊙OPO=dcmd．d＞5cm )个圆． 【答案】若△ABC中，∠C=90°，AC=10cm，BC=24cm，则它的外接圆的直径 【答案】ABCD6，宽3，点O1为矩形的中心，⊙O21，O1O2⊥AB于点P，O1O2=6．若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现()A．3次B．4次C．5次D．6【答案】【答案】设BC=x，则PC=x，在Rt△OBC根据勾股定理得到（）2+x2=（x+1）2，然后解方程即可DAB=10，AD=2 ∴FBC的中点∵∠OCE+∠COF=180°-∴OC⊥PC．C在⊙O上53在Rt△ABE中 AB2∴AEAB2设⊙O的半径为r，则OCOArOE3r．在Rt△OCE中∴OC2OE2CE2r r23r2 B．5 C.4 D．2【答案】 【答案】 【答案】22正n边形内接于半径为R的圆，这个n边形的面积为3R2，则n等 【答案】.第六讲正多边形与n边形的中心角=n,在半径、边心距组成的直角三角形中进行计算 2】正三角形的边心距、半径和高的比是（A. A360且在弦BC下方，如下图，若∠ABC=60°，BM=1，CM=3，求AM的长.A【答案】过点A作AE⊥MC，AD⊥BM，证Rt△ADM≌Rt△AEM，DM=ME=2,在Rt△ADM中ADBCP圆于EADBCPE【答案】过D作DF⊥AE于点F，则△DEF是等腰直角三角形5于点G、H,则由OE、OF、F及正方形ABCD的边围成的图形(阴影部分)的面积 在这个内切圆中作内接正方形，依次作到第n个内切圆，它的半径是（ 2)n1 C、1)2)n

22A、2

()2

D、 【答案】 l πR21： ：S2πR2（设⊙ORn圆心角所对弧长为l【例5】一圆锥的侧面展开后是扇形，该扇形的圆心角为120°，半径为6πcm，则此圆锥的 A、4πcm B、12πcm C、16πcm D、28πcm【答案】 A、60πcm B、45πcm C、30πcm D、15πcm【答案】 cm28

8【练习6.1】已扇形底半径为60cm，圆心角为150°，若用它做成一个圆锥底侧面，则这个 【答案】25 【答案】 【答案】已知正方形的周长为x，它的外接圆半径为y，则y与x的函数关系式是 2y 24

y 282

y12

y 222【答案】 S、P、Q，则（） Ａ．SP Ｂ．SQ Ｃ．SP Ｄ．SP【答案】方形．求二者的边长比AB∶A′B′和面积比S内∶S外．【答案】 ，S内∶S外如图1、2、3、…、n,M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形 （2）90°35°B．70°C．105°D．【答案】ACB等于40°B．50°C．65°D．【答案】如图，PA切⊙OA，PO交⊙OBPA=6，BP=4，则⊙O的半径为（A．B．C． D．【答案】为（）A． B． C． 【答案】心O，且AB⊥CD，则图中阴影部分的面积是（） B． C． 【答案】.第七讲圆的证明与运算小综1】（2015朝阳一模25）如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径D在⊙O上，过点D作⊙O切线AC的延长线交E，ED∥BCADBC于点F.求证：∠BAD=∠∵AB为⊙O的直径【练习1】（2014年石景山一模）如图O是△ABC的外接圆ABAC，连结CO并O的切线APP． PAP切⊙OAEAAB ABEABC//APCFDAO的切线交于点GGDABE．求证：1【答案】证明：连结OD，如图∵DE为⊙O的切线，OD为半径 ∴ODDEODE90，即2ODC90∵OCOD ∴CODC2C90 而OCOB∴3C90.∴2∵13，∴122】（201421）如图，AB⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过点B作⊙ O的切线与AD的延长线交于F．求证：ABCF.CF ∴AB⊥BF于点 ∵∴∠ABF=∠AHD B①AC分别交于D、E两点，DFACF．求证：DF为⊙O的切线。 A 【答案】连接ODAD又ABACDBC的中点.又OAB的中点，∴OD//AC.∵DFAC，∴DFOD的⊙OACD，EBC的中点，连结DE．D EBO求证：DE与⊙OD EBOA1∴DE=2 ∴1∵OD=OB,∴34；∵ABC2490∴DE是⊙O的切为AD的中点，连结CEABFBFBC 【答案】BC与⊙O相 AEAC是OEDFO∴E90，∴EADAFEEDFO∵，BFBC，∴BCE EAD的中点EADBCEACE ACACBC是O4】（201525）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙OPC交BA的延长线于P，OF∥BC，AC于点EPCF，连AF.求证：AF是⊙O的 ∴FA⊥OA，∴AF是⊙O的切 勾股定理勾股定理N∵AB是⊙O的直径OC,∵OC=OA,∵CN是⊙O切线 (2)BH⊥DCH ,∴BH=

（x2)222设DC=x,在Rt△DBH中，利用勾解得：x=2 ∴DC的长为2连接AB交OC于点D．AC=CD．若AC=2，AO 5，求OD的长． ∵直线AC为⊙O的切（2）Rt△OAC中，AC=CD=2，AO=5根据勾股定理得：OC2=AC2+AO2，即(OD2)222(5)26】（2015通州一模25）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切PCBA的延长线于点P，OF∥BC，ACE，交PC于点F，连AF.；且AF是⊙O的切线。已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长.【答案】∵⊙O的半径为32OF232OF2∴AF· ∴3×4=5×EA解得 5AC=2AE=5CD的延长线上的一点，且AP=AC，AP与⊙O相切，AC=3PD的长。CCPP∴PO2AO根据勾股定理得:AO 3.∴AODO ∴PD A（ B． C． D．【答案】 30°B．60°C． D．【答案】（1）求∠BAC的度数；（2）求⊙O△OCD等腰直角三角形，∠OCD=∠ODC=45°=∠ACD，故∠OCA=90°，AC是在直角三角形BDE中，DE=4，BD=2连接AB交OC于点D，∠CAD=∠CDA．;1（14年东城期末）42个白球，这些球的形状、大小、质地等完全DA．―明天的降水概率为80%‖，意味着明天有80%的时间降B．上次的体育测试成绩是―优秀‖，这次测试成绩一定也是―优秀D．掷一枚质地均匀的，―点数为奇数‖的概率等于―点数为偶数‖的概【答案】 1A．

B．

D.4（14年石景山期末）1～124的倍数的A． B． D． 5、一个口袋里放有三枚除颜色外都相同的棋子，其中有两枚是白色的，一枚是红色的.从中随机摸出一枚记下颜色，放回口袋搅匀，再从中随机摸出一枚记下颜色，两次摸出棋子 49第八讲、随机与概； ； ；。 ，向上一面的点数是0 B．多边形的内角和是360 随机抽出10张，恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到，这件( A.可能发 大小可以用0~1的实数予以描述，其中必 0 【例2】某市气象局预报说：明天本市降水的可能性为70%，则下列说法正确的是 明天本市70%的时间下雨，30%明天本市70%的地区下雨，30%明天本市下雨的可能性是 ―明雨的概率是80%‖表示明天有80%的时间都在下1―抛一枚硬币正面朝上的概率 ‖表示每抛2次就有一次正面朝21―的概率为1%‖表示买100 肯定1―抛一枚正方 ，朝上的点数为2的概率6

‖表示随着抛的次数的增加，―朝上点数为2‖这 6【答案】 A，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机 生的概率，记为P(A).件A包含其中m种结果AP(A.mn 0mn0m10P(A1nA为必然P(A)1； A为不可 时，P(A)0一次，则向上一面的点数大于3的概率是 【答案】21，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号小于4的概率为（）A.5

5

C.5

D.5【答案】

【答案】A．4【答案】

B．6

2

D．3 【答案 251 A．5 B．8 C．10 D．15【练习5】在掷一枚硬币的试验中，着地时 【答案 ①通常情形下，水加热到 摄氏度时沸腾③口袋中装有 个黑球，从中摸出一个是黑球④测 某天的最低气温，结果为200摄氏度⑤口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球 【答案】必然：①、③、⑤ 不可能：④ 随机：②、⑥ 2D．每次实验中发生的可能性是50％ 1,1.53

3,0 A．6

B．3

2

D．35（15年海淀一模）某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九 A．2【答案】

B．5

9

D．9 于摸到白球的机会(填―大‖或―小【答案】(1)35

(2)25

(3)0；(4)1；(5)1、一道选择题共有4个答案，其中有且只有一个是正确的，有一位同学随意地选了一个答 B． D． A． B． D． 【答案】3、在―抛硬币‖的游戏中，如果抛了10000次，则出现正面的概率是50％，这是 【答案】4、某班用抽签的方式，在甲、乙、丙、丁四位同学中挑选2位同学，代表该班参加学校卫∵一共有12种等可能的结果，其中乙被选中的有66 5、一布袋中有红、黄、白三种颜色的球各一个，它们除颜色外，其它都一样，从布袋【答案P白，白)9第九讲、求概率的方A.2【答案】

B.3

C.4

D.5【答案】1（共有6种等可能的结果，积是正数的有2种情况3上分别画上☆○☆，B组的卡片上分别画上☆○○，如图1所示.若把A，B两组卡片无标记的一面对应粘贴在一起得到3张卡片，其正标记如2所示，将卡片正面朝上摆放在桌上，并用瓶盖盖住标记.若揭开盖子，看到的卡片正面☆○☆○○○○○☆☆☆BA 正☆○☆○○○○○☆☆☆B图 图☆○☆☆○○1

P(两张都是☆)29A型：6000B型：4000C型：2500A型：6000B型：4000C型：2500D型：5000E型：2000乙甲ABCDE1分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转开 红黄红黄绿红黄（ （（（ ）)= 9 32（甲获胜

（乙获胜

游戏1【答案】（1）取出黄球的概率是3开 黄白白黑黄白1 9(1)(1)能不能发生事先无法估计，表面上看似无规律可循，但当我们做试验发生的频率就呈现出一定的稳定性。因此，通过大量重复试验一 【例4】一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球.每次摸球发现，摸到黄球的频率稳定在30%n大约是.【练 4】做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得―凸面向上‖的频率约 ，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现―凹面向上‖的概率约.56569A. B. D. 【答案2、一个经过500次的试验，它的频率是0.32，那么它的概率估计值是【答案】3（14朝阳期末）在三个不透明的袋子中分别装有一些除颜色外完全相同的球．甲袋中装3张洗匀后再摸出一张请用画树状图或列表的方法求摸出 ABCDABCD （2）P＝12＝6计算各次检查中―优等品‖的频率，填入表中mn】若xyz,则2xyz 【答案】且AP：PC=AD：AB=4：3，下列对于矩形是否相似的判断，正确的是（ 【答案】如图，四边形ABGH，四边形BCFG，四边形CDEF都是正方形，图中与△HBC相似的 【答案】【答案】A1C152A1B110B1C125.△A1B1C1的面积为2(1)求△BEF的周长与△AFD的周长之比(2)若△BEF的面积S△BEF＝6cm2，求△AFD的面积【答案】(1)13

第十讲相似三角形的性质与判在四条线段a,bcd中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,bcd叫ABBC的比例中项（AC2ABBC）AB被点C黄金分割，点CxABAB 51AB，AC 51AB0.618AB，BCABAC35AB0.382ABACABACB1、若x:y2:3，则下列各式不成立的是 xy yx x x1 2 y 2、若xyz

，则2x3y z4】【练习 abbccak，则k的值为（ 】 A. 【答案】

C．2或 A.正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D【答案】OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C'D′是否相似，并说明理由．上上下上下下上上全全全 ABAB F ．A E BC3】a、bxx

a

【答案】【例4】如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有 【答案】6ADDE

DDEM OBAC5】如图，已知O是△ABCD、E、F分另是OA、OB、OC的中点．求证：△ABC∽△DEF．A ,求 ∴∠DBC=2∠ABC∴AOCDBCBF=BF

∴AOCDBC∴∴OEBM ∵OC3OE，OA∴BMOEOE1 ∴∴BMBM1 1ABCABC60P是△ABC内一点，使得APBBPCCPAPA8，PC6，则PB A 3【答案】3(1)（2）在△AFB与△EFA∴△AFB∽△EFAAFFE 交BC边于点E，∠BDE=∠A． =

∵AB是⊙O直径∴ODE900∴DE是⊙O的切线∵tanA=BC＝3 102102152AB2AB2

15 ( CD 2A E【答案】AA证明△ABD≌△CBE，再SAS证明AD，AEDE 【答案】AD=2，AE=4，DE3AD=4，AE=2，DE3【练习8】已知：如图，△ABC△ADE与△ACB相似，∠AED＝∠B，DE＝5．求AD，AE的长AD7

AE 9如图△ABC与△ABC相似，AH是△ABCBC边上的高线，AH是△ABCBCAB

BC

kAH

（k为相似比A 1、两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们周长之比为 【答案】 3,1:【答案】AC=BC，∠A=∠ACB=60°，AD=CE，可以判定△ABD≌△BCE，即可得∠CBE，又知∠BPD=∠EBC+∠DCB求出的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则△ABC的面积为 FGFG 【答案】1、如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝1，DB＝2，则的面积与△ABC的面积的比等于 BCA．2【答案】4892、在△ABC和△DEF中，AB2DE，AC2DF，AD．如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次是 333、已知：如图，△ABC中，AB＝4，D是AB边上的一个动点，DE∥BC，连结DC，设的面积为S，△DCE的面积为D

S【答案】 (2)y164x(0x1、如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且DE∥BC，如果AD∶DB=3∶2，EC=4，那么AE的长等于 DEDE 【答案】值为 32

92

D.33C 【答案】使△ADE与△ABC相似，那么AE＝

1时，求⊙O3 F （1）证明：如图，连结OD∴ODOB∴12∵BD平分ABC∴1∴2∴OD∥BC∴ADOC90∴OD⊥AC∵OD是⊙OAC是⊙O

1△3∴AB

6设⊙O的半径为rAO6r∵OD∥BC∴△AOD∽△ABC 6 3解得r 225.ABCD中，AB图形，并判断∠AEB与∠CEB的数量关系； ，b 证明 1a b2F F ∵AB＝AE，∴BF12 1∴EC a12AB2m,CD5m，点P到CD的距离是3m，则P到AB的距离是 56

67

3

65【答案】如图，家（点A处）和公路（L）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型路设为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段BC的时间是3s，已知牌和公路的距离是40m，则家到公路的距离是．【答案】如图，小―鱼与大―鱼是位似图形，已知小―鱼上一个―顶点的坐标（b），那么大―鱼‖上对应―顶点的坐标为（ ）yy1O

第3C.2a, D．2b,【答案】 【答案】【答案】第十一讲相似应用及位设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE40cm，EF20cm，测得DF离地面的高AC1.5m，CD8m则树高ABm．【答案】路书 【答案】1、如图，设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB，AB经小孔O形成的像A′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上，则像A′B′的长是 【答案】4mA、CED、BF处用绳索拉紧，以固定老树，那么绳索ADBC的交点P离地面的高度为多少米？【答案】过PPH⊥BDH，由于BP：BC=3：7，又△BPH∽△BCD，PHBP=3， 所以PH3×4=12，即点P12 【例2】墙壁D处有一盏灯（如图站在A处测得他的影长与身长相等都为1.6m，小明向墙壁走1m到B处发现刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD= m（OA所在的直线行走14米到点B时，人影长度在A处 米【答案】1.8012米，则路灯的高为【答案】31m0.9m，但当他马他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？【答案】4.2 D AD DE 2（【答案】 ；OAB与 【答案】(2)△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似比为7：4；△OAB与△OA′B′是位似图形，位似比为7：4．4】如图，△ABC中，A，BxC的坐标是(-1，0)C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′BC，并把△ABC的边长放大到原来的2倍 Ay1BC-111xA．1 B．1(a1)C．1(a D．Ay1BC-111x 5【答案】坐标为（-4，2，则这两个正方形位似中心的坐标是 2,0或4,2 33 【答案】A（7，3，B（7，0， 【答案】

3或y 【答案】(1)略(2)线段B′C′所在直线答案式为y=-2x+6C，D点的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．A2B2C2D2E2，这时它的各顶点坐标分别是多少【答案】(1)E(3,2),A(2,2 A1(6,23A2(10,233),以G＇D＇为边，在△ABC内作一正方形DEFG1、如图ABCAB80cm,高CD60cmEFGHE、FAB边上，G设其宽为x，则长为2x，根据相似三角形的性质可知：x

,2x

IC两式左右两边分别相加得：x2x1，解得：x=24，x BI OA、OBAB上.1OAB内画出正方形CDEF，使得C、DOA上，FOB上，连结OE并延长ABG点，GGJOAJGHGJOBHHIOAI.【答案】（1）四边形GHIJ是正方形 ∴四边形GHIJCD边与矩形GHIJIJ∴∴OFFC,OFEF

B∴FCEF 又∵ ∴ F∴四边形GHIJ是正方形 3、如图，正三角形ABC的边长为3+

EFPNE、FABNAC上，在正三角形ABCAEFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形；ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPHDE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明 EE'图

（2）设正方形E＇F＇P＇N＇的边长为3 x332∴x x329323∴x 9323设正方形DEMN、正方形EFPHm、它们的面积和为S，则 2m 2n S=m2+n2=1/2PN2--延长PHNDGRt△PGN中，PN2=PG2+GN2=(m+n)2+(m-∵3mmn3n

3,即mn3.∴Ⅰ当（m-n）2=0时，即m=n时，S由（2）知，m最大=33

F图∴S最大=1/2［9+（m最大-n最小=99-54（S最大≈5.47也正确2、如图，A，B两点被隔开，在AB外取一点C，连接AC，BC，在AC上取点M，使AM＝3MC，作MN∥AB交BC于N，量得MN＝3.8m，则AB的长为 【答案】15.2 △CMN∽△CAB 【答案】(1)QQH⊥PB于H.当狮子将跷跷板P端按由△PAB∽△PQH 1

，又APQ2

∵AB=1.2∴QH=2.4m＞211

△PAB∽△PQH，

＝

5.如图，正ABC的边长为3 EFPN的面积最大（不要求写作法；

<4分钟31（201514）如图，在ABCDAB上，ACDABC,AD1ABAC的长

AACDABC，B ADAC AD1,ABAE ∴∠A+∠ACB=∵∴∠ACB+∠ECD∴∴∴ABBC ∵AB=3，DE=2，BC∴CDEEC ∴AB ∴ ∴ 3且 【答案 C(2)∵△ABE∽△ACD，∴AB＝AE ∴AC＝BCAD＝26 （201523）如图，AB是⊙OC在⊙O上，CD与⊙OAD∥BC，OD，AC．656若tanB= 2

C3C321AO又 5∴ACBC,∵∠B的正切值 5 3设AC=5k，BC=2k,则 2，DC 3 35k 在△ODC中，OD36

36 第十二讲相似三角形相关证明（一A字 8字 B C 旋三垂 D G1（201521）如图，在Rt△ABC中,∠C=90°，BC=9,CA=12,∠ABCBDAC于点DDE⊥DBABE.OAB上，⊙O是△BDE的外接圆,求 的值EOBFEOBFDCRt△ABC中∴AB

AB2BC2CA292122225…∴ADOC90又AA∴AOOD 15 ∴ ∴r .∴BE 又∵BE是⊙O的直径∴BFE ∴EFBE43 ABGDBC中点，DE⊥AB，垂足为E，5 5CD B GACPADEBA的延长线于F．

∴ ∴PD∵DP1 ∴PA1 ∴AP23，BP43 ∴BD在△ADE和△CDGAD∵ADECDGDE∴△ADE≌△CDG（AS又∵∠ANM=∠CND，∴△ AN•DN2AB2BDBCAC2CDBCAD2BDDC（射影定理3（201515）如图，在△ABCDABBACD，AD4BD3AC的长．DAD又AA，C D D ∴AC2ADAB ∵AD4，BD∴AD7∴AC 7于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．=4∵AB是⊙O直径∴ODE900∴DE是⊙O的切线

A ＝ 102102152AB2AB2

15 (2 CD

22DAB=10，AD=2PC ∴FBC的中点在Rt△ABE中 AB2∴AEAB2设⊙Or，则OCOArOE3rRt△OCE∴OC2OE2CE2∴r23r25解得r 3∴OEOC 3 33 5∴CP 44】(201521)AB是O的直径，C是圆周上一点，ODACDP过C作O的切线，交ODP,APAP是O的切线 ，PD ，求O的半径 P证明：连结AC是OODACAOP 在AOP和COPOAAOPCOPAOPCOPPCOOPPC切OCPCO90PAO90PA又OA是O的半径，AP是O连结 AB是O的直径，ACBC又ODACOD/ ADAC CD 设CD=4k,则 CPDCOD90,CODOCDCPD PDCCDO90,CPD∽CD CD=4k,则CO=5k,OD=3k.(k>0)PD163PD16k1OC3

旋2相似ABC∽ADE和旋的两边分别与边AB，AC交于点E，F，且∠EDF与∠A互补．AAA D

图 图 图 则

D图 F E又

图∴ EAC的中点，∴S△ABD=S△ADC1ABDM1ACDNDMAC ABmDM=n

E在△ABG和△CBE中ABABGBG∵四边形ABCDBEFG ∴∠ABG=∠DBF，∴△ABG∽△DBF， 点E，F，G分别在AB，BC，FD上．∴∴∴∠EFB ∴ABBC

∵B90∴AACB90CBDACCE∴ACBECD90∵BD=90∴ABBC ..AB∴BADCBADCADEBBADABD∽ABD∽ABBD 82∴EC 遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数； 且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（C2 图 图 APE． ∴AB＝AD ∴∠C=∠D=90°．………∴△OCP∽△PDA．……………………∴OPCP 1

CP=

xRt△PCO由勾股定理得x28x242．…………∴AB=AP=2OP=10．………求出△ABE和△BCF部分（即△BEG）的面积 在△BGE与△ABE中

BE)2又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4 ∴SBGE=AE2SABE42BD,ABF,BC=BD.E若AE=9,CE=12,求BF的长E ∴CEB90∵CD平分ECB, ∴12,2D1FE∴1D 1FE∴CE∥BD∴DBACEB90 AB是⊙O的直径∴BD是⊙O的切 2∵AB是⊙O直径 ∴ACB90∵CEAB可得CE2AEEB∴EB 在Rt△CEB中，∠CEB=90,由勾股定理得BC CECE2∴BDBC20∵1D,∠EFC∴∴ECEF ∴1216BF ∴EDF=90°，DEACG，DF经过点21中的∠EDFD顺时针方向旋转角（060），旋转

若图1中∠B=6090，（2）中的其余条件不变，判断 QMPN GA 图 图∵∠ACB=90°，DAB的中∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°∴∠CDA=120°∵ CQGMHPN∴PMCQGMHPN∵DG⊥ACGDH⊥BC∴DG 又∵D为AC中 ∴GAC Rt△AGDDG

即PM 第十三讲相似三角形相关证明（二A．5×（3B．5×（9C．5×（9D．5×（32442D的坐标为（0，2）．延CB交xA．5×（3B．5×（9C．5×（9D．5×（32442【答案】2则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图2 【答案】3】（201312）如图所示，在△ABC中，BC=6，E，FAB，AC的中点，1当 CE时，y与x之间的函数关系2 ；当CQ=1CE（n为不n于2的常数）时，y与x之间的函数关系式 【答案】yy=C D∴CE=ED，CBDB ∴OAC=OCA∴ACO=BCD. CE2(2)CE2

5 ∴AB2R3

.……………OC2OE2+CE R2=(R3)2+46∴2R=225=25……………… 3当点D是BC边上的中点时 解：（1）S△ABD：S△ABC 1： ；……………

BC

D ∵SBOC OM 1BC 2∴

OD A

．………… ODOEOF

．E，F，G分别在AB，BC，FD上．∴∴∴∠EFB=∠FDC．∴解：∵ 图∴CF=9，DF由（1）得BECF BF 3

15∴BE ．∴GHFGEF

15BE2BE2BFDGDFFG454∴tanHDGGH1． 求出△ABE和△BCF部分（即△BEG）的面积 在旋转前后与△BCF部分的面积是否发生了变化？请说明理由． 在△BGE与△ABE中

BE)2又∵BE=1，∴AE2=AB2+BE2=3+1=4 SBGEAE2SABE428。 3∴AB′AE在同一直线上，即BFAB′的交点是G。设BF与AE′的交点为H，=S四边形GHEBSABESAGHSABESABGSBGE∴△ABE在旋转前后与△BCF部分的面积没有变化求证：∠CBF12555

∴∠CBF∴∠CBF=∠1.…………… ………∴∠1=12∴∠CBF=1∠CAB.……………………25555 55

5 5∴BC=2BE=2.………… 25∴sin∠2=25 5 在Rt△CBG中，可求∴AG=3.……………………∴GCAG ∴BFGCAB20.……………… 图形，并判断∠AEB与∠CEB的数量关系； ，b 证明 F 图 图1（2）a b2∵AB＝AE，∴BF12 1∴EC 1即a 2遇到了这样一个问题：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA边上的点，且AE=BC，BD=CE，BE与AD的交点为P，求∠APE的度数； 且BF=AD，连接EF，AF，从而构造出△AEF与△CBE全等，经过推理和计算能够使问题得到解决（C2 图 图 图APE．参 3AB为⊙O的直径，点COD、E分别为CB，CA上的点， AE2BCBD2CE，BEADP3中画出符合题意的图形，并求出sinAPE的值．解：(1)BFB//ADFB=AD，连结EF∵AB是⊙O∴FAEBCE∵CE2BD，BC2AE ∴CE2AF

BE2，∠1=∠3

APEFBEsinAPE5CFFEBCAE=EF成立；―点E段BC上；―点E段BC延长线；点E段BC反向延长线上‖三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明AE=EF．AFAF

图 AC于点E、F．yx的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；xx3＜x＜PE4231（则sinB

，C90，AC8，BC6 A．45

B．3D．5【答案】（2013延庆初三第一学期期末3）正方形网格中，∠AOB如图放置，则tan∠AOB的 52 52A B. 【答案】（201513）计算3tan30cos2452sin【答案】3tan30cos2452sin 2 3322 31212当锐角a60cosa的值（12

2

大于 2

大于【答案】5BDC45DC6AD的长【答案】在BDCC900DC∴tan45BC

BDC450

∴BC∴AB

在ABC中，sinA 152∴AC152∴AD321B .第十四讲锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinAsinAc锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosAcosAc锐角A的对边与邻边的比叫做A的正切，记作tanAtanAb【例1】（2015海淀初三第一学期期末2）在Rt△ABC中，∠C=90º，BC3，AB5，则 的值为 A.5

B.5

C.4

D.3【答案】【练习1】（2015燕山初三第一学期期末6）如图，在Rt△ABC 5 B．25

2AB【答案】3【例2（2015怀柔初三第一学期期末4）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若5

的是 A．5

5

4

D．3B 【答案】BC=5，CD⊥AB于点D，那么sinBCD的值是 5

5【答案】 A．5C．5

4BBC【答案】则tanB的值为 44（20151）已知sinA1A2【答案】

C. D.【练习4（2015通州初三第一学期期末10）计算：在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，那么sinA+cosB的值等于 【答案】5（201513）计算：(3

2cos30

1)182解：原式=1-2×2

-8+2==3-5（201513）计算：8-4sin45

(1)2【答案】计算：8-4sin45

(1)2)2= 2

12220sin＜1，增减性正弦值随着角度的增大而增大0cos＜1，增减性余弦值随着角度的增大而减小tanA0，增减性正切值随着角度的增大而增大6】（20133）已知∠AsinA<2

A.0°<A< B.30°<A C.60°<A< D.30°<A<【答案】6】已知A为锐角，且cosA

，那么（2A．0AC．0A

B．60AD．30A【答案】2

CD，sin∠CBD=3

3∴CDDBsinCBD624 ∴AD1CD142 BD262∵CB 25BD262Rt△ABC中25∴tanACB 25 AC6，D是AC上一点，如果tanDBA1,那么AD的长 5C 【答案】8（201518）已知：如图，ABDACBD于CBC3EABtanD2CE1，求sinECBAD 【答案】∵ACBD，∴ACBACD ∵E是AB的中点，CE AB2CE2∵BC3BC3xCD Rt△ACDtanD 2，AC4x RtACBAB5x ∴sinECBsinB 2AB2x5AC24∴AD AC244△ABC 45求cosABE的值B 【答案】（1）∵△ABC中，∠ACB=90°sinA

，5∴ABsin

810451 AB512102102AB2AB2∵CFABACBCAC ∴CF

6

∴∠ABE=∠DCF．∴cosABEcosDCF 524 B 1cos【答案】

cosA C．1sinA

D．sin53345455（2014通州初三第一学期期末7）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中53345455【答案】（201513）计算cos30sin602sin45tan45【答案】原式 3 32 21 2 当锐角＞45时，求cos 23 ，3DADCABBC【答案（1）∵在△ACD中，C90，CD=3∴tanDACCD 3 DAC AD∴∠BAC=2∠DAC∴∠B(2)Rt△ABC∴AB=2ACBCACtan

3 33如图3，在RtABC中，ACB90，BC1，AB2，则下列结论正确的 3sinA32

tanA2

cosB323

tanBB 【答案】（201519）如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=75°，AC32，求AB的长．A ∴AB=3+3ABCBC45，ADB60，BC3AD的长【答案】230°C60°A120m，这栋高楼BC的高度为米．【答案】面A、B两个探测点探测到C处有金属回声．已知A、B两点相距8米，探测线AC，BC与地面的夹角分别是30°45°，试确定有金属回声的点C的深度是多少米？C∴∴∵在Rt△DBC∴∵在Rt△DAC∴AD2CD2AC2∴(8CD)2CD2(2CD)2 ∴CD4 ∵CD443∴CD4 第十五讲：1】在ABC中C90如果a3,b4，求A的三个三角函数值

sinA3cosA4tanA【答案】abcc5 41】RtABC中C90，AC1，BC2求sinA,cosAtanAC2BC ,sinAAC2BC

2