贵州省普通高等学校招生2022届高三4月统一模拟测试数学(文)试题(Word版含答案)

贵州省2022年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试本试卷共23题，共150分，考试时间120分钟，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱.不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.复数（其中i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.2021年7月24日中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.自此全国范围内落实“双减”工作要求的步伐在不断迈进中，校内、校外教育生态迎来巨大变化与革新.在此背景之下，提出已久的“教师轮岗制”再度进入讨论视野，并在北京、上海、深圳等城市开始试点，某区教育局为了解教师对轮岗制度的态度，对本区在编1000名教师进行问卷调查，将赞成轮岗制度的教师年龄的调查数据整理得到如图所示的样本频率分布直方图，根据此频率分布直方图，用样本估计总体，则下列结论不正确的是（）A.该区赞成轮岗制度的教师年龄低于25岁的比例约为24%B.该区年龄在35到40岁的教师对轮岗制度的赞成人数最少C.该区赞成轮岗制度的教师年龄的平均值不超过40岁D.该区赞成轮岗制度的教师中有一半以上的人年龄不超过25岁或大于50岁4.已知命题p:函数的最小值为2，命题q:，，则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.5.已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则圆锥的体积为（）A. B. C. D.6.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型（为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为（，）（）A.22.0天 B.13.8天 C.24.8天 D.17.9天7.已知，则（）A. B. C. D.8.已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比为（）A.2或 B.或 C.或2 D.或9.若双曲线的实轴的一个端点是由双曲线的一个焦点和虚轴的两个端点所构成的三角形的重心，则该双曲线的离心率为（）A.3 B.2 C. D.10.已知圆和直线，则圆心C到直线l的最大距离为（）A.1 B.2 C.3 D.11.在一个边长为4的正方形的四边上分别取一个距顶点最近的四等分点，连接成正方形，再在新的正方形中，以同样的方式形成一个更小的正方形，如此重复9次，得到如图所示的一个优美图形.若在这个大正方形内部随机投掷一粒豆子，则这粒豆子落在图中阴影部分的概率为（）A. B. C. D.12.如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，四边形为等腰梯形，平面平面，且，，则该几何体外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量，满足，则______.14.曲线在处的切线方程为______.l5.已知函数，点A，B，C是直线与函数的图象从左至右的某三个相邻交点，且，则实数______.16.已知椭圆的左右焦点分别为、，O为椭圆的中心，P为椭圆上（除x轴以外）任意一点，过作的外角平分线的垂线，垂足为点Q，则______.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）2021年9月30日，电影《长津湖》在各大影院上映，并获得一致好评.该片是以长津湖战役为背景，讲述了一个中国志愿军连队在极度严酷的环境下坚守阵地，奋勇杀敌，为长津湖战役胜利作出重要贡献的感人的历史故事.某同学看完电影后以抗美援朝时期的历史为内容制作了一份知识问卷，并邀请了该校100名同学（男女各一半）参与了问卷的知识竞赛，将得分情况统计如下表：得分性别男生581341055女生3101210654将比赛成绩超过60分的考生视为对抗美援朝的历史了解.（1）从这100名同学中随机抽选一人，求该位同学对抗美援朝的历史了解的频率；（2）能否有95%的把握认为对抗美援朝的历史了解与性别有关？附：，0.100.050.102.7063.8416.63518.（12分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求B；（2）若，求的面积的最大值.19.（12分）如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，，，O为线段上的一点，点P在底面上的射影为点M.（1）证明：平面.（2）若三棱锥的体积为，求的值.20.（12分）已知抛物线的焦点为F，点是曲线C上一点.（1）若，求点A的坐标；（2）若直线与抛物线C的另一个交点为B，点P为抛物线C的准线与x轴的交点，直线与的斜率分别为，，求的值.21.（12分）已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若函数在（e为自然对数的底数）上有零点，求实数a的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（m为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）.（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）已知点，若直线l与曲线C交于A，B两点，求的值.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知.（1）求不等式的解集.（2）若，且，证明：，，，.2022年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟测试参考答案1.B【命题意图】本题考查集合的交集，要求考生理解集合的交集运算.【解题分析】∵集合，，∴.2.B【命题意图】本题考查复数的基本运算及几何意义，要求学生掌握复数的周期性和运算法则.【解题分析】复数在复平面内对应的点在第二象限.3.D【命题意图】本题以双减政策背景下的“教师轮岗制”为情景，要求考生运用所学统计学中频率直方图及样本的数字特征等必备知识解答相关问题，主要考查数学运算与数据分析的核心素养，考查创新能力，解答时应根据对频率分布直方图和样本的数字特征的理解进行数学运算，突出基础性、应用性的考查要求.【解题分析】用样本估计总体，由频率分布直方图可得，该区赞成轮岗制度的教师年龄低于25岁的比例约为，年龄在35到40岁的教师赞成轮岗制度所对应的频率最小，故选项A，B正确；该区赞成轮岗制度的教师年龄的平均值为，故选项C正确；该区赞成轮岗制度的教师中年龄不超过25岁或大于50岁的比例约为，所以选项D错误.4.B【命题意图】本题考查命题真假的判定问题，要求学生会判断复合命题的真假性.【解题分析】当时，函数，所以p为假命题.恒成立，则，，所以命题q为真命题，所以为真命题.5.A【命题意图】本题考查圆锥的体积，要求考生掌握圆锥的体积公式，会利用圆锥的母线长及轴截面求圆锥的体积.【解题分析】由题意知圆锥的底面半径，圆锥的高，所以圆锥的体积，故A正确.6.C【命题意图】本题以入侵物种的繁殖为背景，考查运算求解能力，要求考生理解繁殖数量与入侵时间的关系，利用对数型模型求解物种繁殖到一定数量所需时间.主要考查对数型函数的运算求解的能力，运用所学知识解决实际问题的能力，体现数学运算与数学建模的学科素养，突出创新性、应用性的考查要求.【解题分析】因为，，，所以，解得.设初始时间为，初始累计繁殖数量为n，累计繁殖数量增加11倍后的时间为，则（天）.7.D【命题意图】本题考查三角恒等变换，要求会利用角之间的关系，并运用三角恒等式和诱导公式求角的三角函数值.【解题分析】，.8.A【命题意图】本题考查等比数列，要求考生掌握等比数列的前n项和公式，并利用等比数列的定义和前n项和公式求公比.【解题分析】设等比数列的公比为q，则，，两式相除得，即，解得或2.9.A【命题意图】本题考查双曲线的离心率，要求考生会利用双曲线的几何性质求离心率.【解题分析】由题意可知三角形的三个顶点为虚轴的两个端点和双曲线的一个焦点，实轴的一个端点是该三角形的重心，则，所以.10.A【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，要求考生掌握点到直线的距离公式，会利用点到直线的距离公式求圆心到动直线的最大距离.【解题分析】由直线l的方程可得，则直线l恒过定点，圆心，故圆心C到直线l的最大距离.11.C【命题意图】本题考查等比数列和几何概型的综合，要求考生能根据具体问题找到数列的通项公式，并运用几何概型公式求概率.【解题分析】因为每次构造的新正方形的面积为原来正方形面积的，所以正方形的面积构成一个以16为首项，为公比的等比数列，重复9次，得到10个正方形，所以，故概率.12.C【命题意图】本题考查多面体的外接球表面积，要求考生运用所学球体的特征解答相关问题，主要考查空间想象能力，解答时应根据球心与底面外接圆的圆心的连线与底面垂直的特点，找到外接球的球心，再通过勾股定理求出外接球的半径和表面积.【解题分析】连接交于点O，取的中点，因为底面是边长为的正方形，且平面平面，所以平面，故外接球的球心M一定在直线上，连接.设多面体外接球的半径为R，，在和中，又，所以，解得，故外接球的表面积为.13.【命题意图】本题考查平面向量的数量积，要求学生掌握向量的基本运算，会求向量的夹角.【解题分析】因为，所以，则.14.【命题意图】本题考查导数的几何意义，要求考生会利用导数的几何意义求切线方程.【解题分析】，，则切线方程为，即.15.【命题意图】本题考查三角函数的综合应用，要求考生会求三角函数的周期，图象的对称轴，三角函数值.【解题分析】由题意得，因为，所以，则，即.令，，得，，所以函数在处取最大值，又，，所以.16.【命题意图】本题考查椭圆的定义及基本性质，要求学生掌握椭圆的定义及基本性质，并会利用基本性质求线段长.【解题分析】由条件，关于直线的对称点在的延长线上，且，所以.17.【命题意图】本题以抗美援朝中的长津湖战役为情景，考查创新能力，要求考生会求事件的频率，并会运用独立性检验等相关知识解答相关问题.主要考查获取信息、运用所学知识解决实际问题的能力，体现了数学运算与数据分析的学科素养，突出基础性、应用性的考查要求.【解题分析】（1）该位同学对抗美援朝的历史了解的频率.……4分（2）由表格中的统计数据可得如下列联表：对抗美援朝的历史了解对抗美援朝的历史不了解合计男生203050女生153550合计3565100……6分所以，……10分故没有95%的把握认为对抗美援朝的历史了解与性别有关.……12分18.【命题意图】本题考查解三角形，要求学生会利用正弦定理进行边角互化，会利用余弦定理及基本不等式求解三角形面积的最值问题.【解题分析】（1）因为，所以由正弦定理可得，即，……2分所以，又，所以，即，又，所以.……6分（2）在中，由余弦定理可得，即，……8分所以，当且仅当时取等号，……9分所以，故的面积的最大值为.……12分19.【命题意图】本题考查线面垂直和点在平面上的投影，要求学生掌握线面垂直的判定定理和性质定理，会根据判定定理和性质定理证明线面垂直及求点在平面上的投影的位置.【解题分析】（1）由题意知，，，则，……2分又点P在底面上的射影为M，所以平面，所以，又，所以平面.……6分（2）设，过点O作，则.由（1）可知平面，点P在底面上的射影一定在交线上，且，又是边长为4的正三角形，，，所以，所以.又，所以，解得，所以.……9分又，即，解得，即点O为的中点，所以.……12分20.【命题意图】本题考查直线与抛物线的综合应用，要求考生掌握抛物线的定义及设而不求的思想，会求圆锥曲线中的定值问题.【解题分析】（1）由题知，，，因为，所以，解得或.当时，，当时，，所以点A的坐标为或.……4分（2）设，直线的方程为，联立方程，得，所以，所以.由题知，，所以直线的斜率，直线的斜率，所以.综上可知，.……12分21.【命题意图】本题考查函数的单调性与零点问题，要求学生掌握利用导数判断函数单调性的方法，会利用分类讨论的方法处理含参问题.【解题分析】（1），……1分①当，时，，当时，，则函数在上单调递减，在和单调递增；……2分②当时，在恒成立，则函数在上单调递增；……4分③当，时，，当时，，则函数在上单调递减，在和上单调递增.……5分综上所述，当时，函数在上单调递减，在和上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.……6分（2）在上有零点等价于方程在上有根，即在上成立.令，因为.……8分当时，，，所以，所以，所以在上单调递增.又，……10分所以，，所以实数a的取值范围为.……12分22.【命题意图】本题考查参数方程与直角坐标方程互化以及直线参数方程标准形式几何意义的