高等几何(第五章)

高等几何第五章二次曲线的射影理论这一章将用射影的观点研究二次曲线。首先介绍二次曲线的射影定义；然后研究二次曲线的射影性质；最后给出二次曲线的射影分类。§1二次曲线的射影定义1.1二次曲线的射影定义我们既可以用点几何的观点讨论二次曲线又可以用线几何的观点来讨论，但是我们主要用点几何的观点讨论问题。定理1.1两个不同中心的射影对应线束的交点构成一条二阶曲线。定义1.1在射影平面上，齐次点坐标(x1,x2,x3)满足∑aijxixj=0(aij=aji)的点的集合称为二阶曲线。

两个不同中心的射影对应线束的交点构成什么图形?

求两个成射影对应的线束对应直线的交点所构成的图形的方程：

两个中心(1,-1/2,1),(-3,2,1)在此二阶曲线上。构成二阶曲线的两个射影对应线束的中心不具有特殊性：定理1.2设有一条二阶曲线，它是由两个成射影对应的线束对应直线的交点构成的，那么以该曲线上的任两点为中心向曲线上的点投射直线，则可得到两个成射影对应的线束。OPBO’MKB’SAK’

在两个不同中心的射影对应线束O(P)、O’(P)所构成的二阶曲线上任取两点A、B，由这两点向二阶曲线投射直线，得到两个线束A(M)、B(M).

须证明A(M)与B(M)射影对应，已知O(M)与O’(M)射影对应：

A’透视对应的三对对应点的连线共点，故AA’、BB’、KK’共点，设该点为S。变动M：推论1平面内五个点，若其中任意三点不共线，则这五个点可确定唯一一条二阶曲线。推论2若从二阶曲线上任一点向此二阶曲线上四定点连四直线，则此四直线的交比为常数。定义1.2在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为二阶曲线。从线几何的观点出发，可得到二级曲线的概念。在射影平面上，成射影对应的两个点列对应点的连线的集合称为二级曲线。例1.如果两个三点形内接于同一条二阶曲线，则它们也同时外切于一条二级曲线。C’B’BA’CDAD’EE’成射影对应的两个点列对应点的连线的集合为一个二级曲线。1.2二阶曲线与二级曲线的关系同一条二次曲线，从点几何的观点看是点的轨迹、点的集合，是一条二阶曲线；从线几何的观点看是直线的包络、是直线的集合，是一条二级曲线。同一条二次曲线，当看成二阶曲线时，有其方程，当看成二级曲线时，也有其方程，这两个方程一般来说是不同的，那么它们之间到底是什么关系？我们首先讨论二阶曲线与直线的位置关系。引入几个记号：P(p1,p2,p3),Q(q1,q2,q3)S≡∑aijxixj=(x1x2x3)A(x1x2x3)TSpp≡∑aijpipj=(p1p2p3)A(p1p2p3)TSqq≡(q1q2q3)A(q1q2q3)TSpq≡(p1p2p3)A(q1q2q3)TSqp≡(q1q2q3)A(p1p2p3)TSp≡(p1p2p3)A(x1x2x3)TSq≡(q1q2q3)A(x1x2x3)T非退化二阶曲线与直线的位置关系：问：过一点P(p1,p2,p3)且与二阶曲线相切的切线的方程是什么？在过点P(p1,p2,p3)且与二阶曲线相切的切线上任取一点Q(q1,q2,q3)

，寻求它满足的方程.利用相切的条件：直线PQ与二阶曲线有且仅有两个重合的交点。切点在直线PQ上，故切点可以表示为xi=pi+mqi,i=1,2,3.把它代入二阶曲线的方程有且仅有两个重合的根。有两个重根，判别式为0，得到：

Spq2-SqqSpp=0,切点对应的参数满足的方程为：

Sqq

m2-2Spqm+Spp=0点Q是流动的，于是得到切线满足的方程：

Sp2-S·Spp=0若点P在二阶曲线上，Spp=0,方程变为：Sp=0；若点P不在二阶曲线上，切线方程为：

Sp2-S·Spp=0。对偶的：在一直线p[p1,p2,p3]且与二级曲线相切的切点的方程是什么？例1.过P(-5,0,1)的二阶曲线x12+2x1x2+2x22-5x32=0的切线的方程是什么？例2.在直线p[-5,0,1]上的二级曲线u12+2u1u2+2u22-5u32=0的切点的方程是什么？直观上，二阶曲线的切线的集合为二级曲线，二级曲线切点的集合为二阶曲线，且这二阶曲线、二级曲线表示同一条二次曲线。定理1.3一条非退化的二阶曲线的切线的集合是一条非退化的二级曲线；反之，一条非退化的二级曲线的切点的集合是一条非退化的二阶曲线。设S≡∑aijxixj=(x1x2x3)A(x1x2x3)T是一条非退化的二阶曲线，[u1,u2,u3]是该二阶曲线的任意一条切线，现在寻找u1,u2,u3满足的方程。首先该切线的方程为，u1x1+u2x2+u3x3=0。另一方面，若设该切线的切点为(p1,p2,p3)，则该切线方程又可写为：Sp=0:Sp≡(p1p2p3)A(x1x2x3)T=0p1,p2,p3不全为0，从而p1,p2,p3,k不全为0，方程有非零解，系数行列式为0.AA*=dE,A*=dA-1,(u1u2u3)A-1(u1u2u3)T=0作业：P107

3、7§2Pascal和Brianchon定理Pascal定理对于任意一个内接于一条非退化的二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上，这条直线称为帕斯卡线。三点共线问题。透视对应的两对应点和透视中心，三点共线.首先证明射影对应，由于交点自对应，故该射影对应是透视对应.A4A2A6A3A5A1NQPLM定理2.1若简单六点形的三对对边的交点在一条直线上，则此六点形必内接于一条二阶曲线。帕斯卡定理的一些特殊情况：五点形（有且仅有一对相邻的两点重合）、四点形（有两对相邻的点重合）、三点形（有三对相邻的两点重合）例1.已知二阶曲线上的五个点（其中无三点共线），求作此二阶曲线上的其他点。A4A2A6A3A5A1NQPLMA1A2,A4A5交于L；过L任作一条直线p；A3A4交直线p于点N；A2A3交直线p于点M；A5M交A1N交于点A6.pA1A2,A4A5交于L；A2A3,A5A6交于M；A3A4,A6A1交于N；§3极点与极线、配极原则我们仅讨论非退化的二阶曲线。定义3.1给定二阶曲线(c),如果不在二阶曲线(c)上的两点P、Q与二阶曲线交于M1,M2,且(M1M2,PQ)=-1,则P、Q关于二阶曲线(c)调和共轭，或点Q与点P关于二阶曲线(c)互为共轭点。3.1极点与极线定理3.1不在二阶曲线上的一个定点关于一条二阶曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线。直线PQ上的点可以表示为xi=pi+lqi,i=1,2,3.把它代入二阶曲线的方程：交点对应的参数满足的方程为：

Sqql2-2Spql+Spp=0设交点对应的参数为l1,l2,则它们满足：l1+l2=0,于是Spq=0.推论：不在二阶曲线上的两个点P(p),Q(q)关于一条二阶曲线S=0成共轭点的充要条件是Spq=0。规定：若点P在二阶曲线上，则规定过点P的切线为点P的极线。定义3.2定点P关于一条二阶曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直线叫做点P关于此二阶曲线的极线，点P叫这条直线关于此二阶曲线的极点。每个点都有确定的极线，极线的方程为：Sp=0。定理3.2每条直线对于二阶曲线都有确定的极点。设点P(p1,p2,p3)的极线为l,则l又可表示为：Sp=0例1.给定二阶曲线c:2x2+4xy+6x+1=0求点P（1，2）关于(c)的极线以及x轴关于(c)的极点。回顾：点P关于一条非退化的二阶曲线的调和共轭点的轨迹是一条直线，这条直线叫做点P关于此二阶曲线的极线，点P叫这条直线关于此二阶曲线的极点。非退化的二阶曲线的齐次点坐标方程：给定一条非退化的二阶曲线S=0,则平面上任意一点P(p1,p2,p3)均有对应的极线，平面上任意一直线

，均有对应的极点,3.2配极原则定理3.2(配极原则)如果点P的极线通过点Q，则点Q的极线也通过点P。 若点Q在直线p上，则点Q的极线通过直线p的极点。则点Q(q1,q2,q3)的极线为：Sq=0,直线p的极点为：已知点Q(q1,q2,q3)在直线p上：点Q(q1,q2,q3)的极线是否通过直线p的极点？推论1.两点连线的极点是此两点极线的交点，两直线交点的极线是此两直线极点的连线。 PQLlpq设直线l的极点为L.LpqPQl设点L的极线为l.配极原则：若点Q在直线p上，则点Q的极线通过直线p的极点。推论2.共线点的极线必共点，共点线的极点必共线。P1P2Pnlp1p2pnL设直线l的极点为L.p1p2pnL设点L的极线为l.P1P2Pnl推论3.设PA、PB为二阶曲线的切线，A、B为切点，则AB为点P的极线。点P的极线是什么？PA、PB极点的连线。PA的极点是A，PB的极点是B。PBA练习.若点P的极线交二阶曲线于A、B，则AP、BP为切线。PBAA、B均在二阶曲线上，要证AP、BP是切线，即证它们分别是A、B的的极线。点A的极线是什么？点A在二阶曲线上，故其极线经过A；点A在AB上，故其极线经过AB的极点P。作业：P1175例2.一个完全四点形的四个顶点若在一条二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点。YZXEFADBCZ(C,D,F,Y)这四直线调和共轭，故(BA,EY)=(CD,FY)=-1即E与Y，F与Y调和共轭，从而Y的极线为EF。类似地，Z的极线为XY。由配极原则知，X的极线为XY、XZ的极点的连线ZY。定义3.3如果一个三点形的三个顶点恰是对边的极点，则此三点形叫自极三点形。例3.已知点P不在二阶曲线上，求作点P关于此二阶曲线的极线。YZXEFADBC作图根据：完全四点形的调和共轭性与配极原则。已知不在二阶曲线上一点P，求作点P的切线。根据：若点P的极线交二阶曲线于A、B，则AP、BP为切线，完全四点形的调和共轭性与配极原则。PBA已知一直线p,求作直线p关于此二阶曲线的极点。作图根据：完全四点形的调和共轭性与配极原则。已知二阶曲线上一点P,求作点P的切线。根据：完全四点形的调和共轭性与配极原则。P3.3配极变换在射影平面上，对于已知的非退化二阶曲线而言，极点与极线构成了点与直线之间的一一对应。设非退化二阶曲线的方程为S≡∑aijxixj=0,

点P的极线方程