反比例函数压轴难题

中考压轴题反比例函数一.解答题(共30小题)(2015?邵阳)如图，已知直线y=x+k和双曲线丫二号(k为正整数)交于A,B两点.(1)当k=1时，求A、B两点的坐标；(2)当k=2时，求△AOB的面积；(3)当k=1时，△OAB的面积记为S]，当k=2时，△OAB的面积记为S2，…，依此类推，当k=n时，△OAB的面积记为Sn，若S1+S2+..+Sn」^，求n的值.(2015?宁波)如图1,点P为NMON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点，如果NAPB绕点P旋转时始终满足OA?OB=OP2,我们就把NAPB叫做NMON的智慧角.(1)如图2,已知NMON=90°,点P为NMON的平分线上一点，以P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B两点，且NAPB=135°.求证：NAPB是NMON的智慧角.(2)如图1,已知NMON=a(0°<a<90°),OP=2.若NAPB是NMON的智慧角，连结AB,用含a的式子分别表示NAPB的度数和^AOB的面积.(3)如图3,C是函数y=|(x>0)图象上的一个动点，过C的直线CD分别交x轴和y轴于A,B两点，且满足BC=2CA,请求出NAOB的智慧角NAPB的顶点P的坐标.(2015?梅州)如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y=1的图象分别交于两点A,C和B,D,连接AB,BC,CD,DA.(1)四边形ABCD一定是 四边形；(直接填写结果)(2)四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时勺，k2之间的关系式；若不能，说明理由；(3)设P(、，y1),Q(x2,y2)(x2Axi>0)是函数y=1图象上的任意两点，a=" ,b=,j，试判断a,b的大小关系，并说明理由.(2015?黄石)已知双曲线y=i(x>0),直线l1：y-•.用=k(x-,回)(k<0)过定点F且与双曲线交于A,B两点，设A(x1,y1),B(x2,y2)N[<乂2)，直线l2：y=-x+.;2.(1)若k=-1,求4OAB的面积S；(2)若AB=|；2求k的值；(3)设N(0,2。2),P在双曲线上，M在直线12上且PM〃x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标.(参考公式：在平面直角坐标系中，若A(x1,y1),B(x2,y2)则A,B两点间的距离为AB=j(町-叼)2+(V]- )2)(2015?威海)如图1,直线y=k1x与反比例函数y=1(kN0)的图象交于点A,B,直线y=k2x与反比例函数y=§的图象交于点C,D,且!?k2H0,勺42，顺次连接A,D,B,C,AD,BC分别交x轴于点F,H,交y轴于点E,G,连接FG,EH.(1)四边形ADBC的形状是；(2)如图2,若点A的坐标为(2,4),四边形AEHC是正方形，则k2=；(3)如图3,若四边形EFGH为正方形，点A的坐标为(2,6),求点C的坐标；(4)判断：随着勺、k2取值的变化，四边形ADBC能否为正方形？若能，求点A的坐标；若不能，请简要说明理由.(2015?咸宁)如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象(图中的“V形折线〃).(1)类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；(2)如图2,双曲线y=1与新函数的图象交于点C(1,a),点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点£,与双曲线交于点P.①试求△PAD的面积的最大值；②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由.(2015?常州)如图，反比例函数y=§的图象与一次函数y=\x的图象交于点A、B,点B的横坐标是4•点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方.(1)若点P的坐标是(1,4),直接写出k的值和△PAB的面积；(2)设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N,求证：△PMN是等腰三角形；(3)设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点(与点P、B不重合)，连接AQ、BQ,比较NPAQ与ZPBQ的大小，并说明理由.

（2015?玉林）已知：一次函数y=-2x+10的图象与反比例函数y｛（k>0）的图象相交于A,B两点（A在B的右侧）.（1）当A（4,2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P,使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.（3）当A（a,-2a+10）,B（b,-2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C,连接BC交y轴于点D.若言=|，求△ABC的面积.（2015?漳州）理解：数学兴趣小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路:思路一如图1,在Rt^ABC中，NC=90°,NABC=30°,延长CB至点D,使8口=8人，连接AD.设AC=1,贝UBD=BA=2,BC=.3.tanD=tan15°=贝UBD=BA=2,BC=.3.tanD=tan15°=一（2+“）（2-73）=2-•巧.tan口ttan6思路二利用科普书上的和（差）角正切公式：tan（a±0）- .假设a=60°,0=45°代入差角正切1+tan口tanP=2-•巧.八 、tan60-tan45=2-•巧.公式：tan15°=tan(60°-45°)=- - —l+tan60tan45思路三在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题（上述思路仅供参考）.（1）类比：求出tan75°的值；（2）应用：如图2,某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A,测得A,C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角（NCAD）为45°,求这座电视塔CD的高度；（3）拓展：如图3,直线y=^x-1与双曲线y=|交于A,B两点，与y轴交于点C,将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由.（2014?枣庄）如图，一次函数y=ax+b与反比例函数yf的图象交于A、B两点，点A坐标为（m,2）,

点B坐标为（-4,n）,OA与x轴正半轴夹角的正切值为弓，直线AB交y轴于点C,过C作y轴的垂线，交反比例函数图象于点D,连接OD、BD.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)求四边形OCBD的面积.(2014?徐州)如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y=§图象的两支上，且PB±x于点C,PA±y于点D,AB分别与x轴，y轴相交于点E、尸.已知B(1,3).(1)k= ；(2)试说明AE=BF；(3)当四边形ABCD的面积为与时，求点P的坐标.(2014?淮安)如图，点A(1,6)和点M(m,n)都在反比例函数y=(x>0)的图象上，k的值为；(2)当m=3,求直线AM的解析式；(3)当m>1时，过点M作MP±x轴，垂足为P,过点A作AB±y轴，垂足为B,试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由.(2014?泰州)平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在函数y1=|(x>0)与y2=一f(x<0)的图象上，A、B的横坐标分别为a、b(1)若AB〃x轴，求△OAB的面积；(2)若4OAB是以AB为底边的等腰三角形，且a+bN0,求ab的值；(3)作边长为3的正方形ACDE,使AC〃x轴，点D在点A的左上方，那么，对大于或等于4的任意实数a,CD边与函数丫产^(x>0)的图象都有交点，请说明理由.(2014?泉州)如图，直线y=-x+3与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数的图象交于点P(2,1).(1)求该反比例函数的关系式；(2)设PC±y轴于点C,点A关于y轴的对称点为A'；①求△A'BC的周长和sin/BA'C的值；②对大于1的常数m,求x轴上的点M的坐标，使得sinZBMC=i.(2014春?慈溪市期末)如图，直线y=-x+1与x,y轴分别交于A、B两点，P(a,9为双曲线y=*(x>0)上的一动点，PM±x轴与M,交线段AB于F,PN±y轴于N,交线段AB于E(1)求E、F两点的坐标(用a,b的式子表示)；(2)当a=,时，求△EOF的面积.(3)当P运动且线段PM、PN均与线段AB有交点时，探究：①BE、EF、FA这三条线段是否能组成一个直角三角形？说明理由；②NEOF的大小是否会改变？若不变，求出NEOF的度数，若会改变，请说明理由.(2014秋?渝中区校级月考)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形/ABCD,E是BC上一点，NAED=90°,AB=6,SINZAEB=|，矩形ABCD的点B与O重合，BC在x轴上，现有一张硬纸片△MGN,NMGN=90°,点M在x轴上，点G在ED上，NG=3,N与E重合.现将△MGN以每秒1个单位的速度沿EB方向在x轴上匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD方向向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE的交点，连接QP,当点P到达终点D时，△MGN和点P同时停止运动，设运动时间x秒.(1)若反比例函数的图象经过点D,求该反比例函数的解析式.(2)在整个运动过程中，设△MGN与^ABE重叠部分的面积为y,求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围.(3)在整个运动过程中，是否存在点P,使△APQ为等腰三角形，若存在，求出x的值，若不存在，说明理由.(2013?湖州)如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sinZAOB=1,反比例函数y=§(k>0)在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F.(1)若OA=10,求反比例函数解析式；(2)若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12,求OA的长和点C的坐标；(3)在(2)中的条件下，过点F作EF〃OB,交OA于点E(如图②)，点P为直线EF上的一个动点，连接PA,PO.是否存在这样的点P,使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由.(2013?镇江)通过对苏科版八(下)教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x-1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数尸土(k卢0)的图象是由反比例函数y=-(k^O)的图象向左平移2个单位长度得到.灵活运用这一知识解决问题.如图，已知反比例函数产金的x x图象C与正比例函数y=ax(a/0)的图象l相交于点A(2,2)和点B.(1)写出点B的坐标，并求a的值；(2)将函数尸的图象和直线AB同时向右平移n(n>0)个单位长度，得到的图象分别记为C'和匕已知图象C,经过点M(2,4).①求n的值；②分别写出平移后的两个图象C'和1'对应的函数关系式；③直接写出不等式詈改一1的解集.(2013?义乌市)如图1所示，已知y4(x>0)图象上一点P,PA±x轴于点A(a,0),点B坐标为(0,b)(b>0),动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D,交直线MN于点Q连接AQ,取AQ的中点为C.(1)如图2,连接BP,求APAB的面积；(2)当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2-；石求此时P点的坐标；(3)当点Q在射线BD上时，且a=3,b=1,若以点B,C,N,Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长.(2013?盐城模拟)如图1,已知点A(a,0),B(0,b),且a、b满足，京(a+b+3)2=Q,?ABCD的边AD与y轴交于点E,且E为AD中点，双曲线行§经过C、D两点.(1)求k的值；(2)点P在双曲线尸与上，点Q在y轴上，若以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点P、Q的坐标；(3)以线段AB为对角线作正方形AFBH(如图3),点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MNLHT,交AB于N,当T在AF上运动时，卷的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明.(2013?成都模拟)在平面直角坐标系中，函数丫=E(m>0)的图象经过点A(1,4)、B(a,b),其中a>1.过点A作x轴的垂线，垂足为C；过点B作y轴的垂线，垂足为D,AC与BD相交于点M,连接AB、AD、BC、CD.(1)求m的值；(2)求证：CD〃AB；(3)当AD=BC时，求直线AB的函数解析式.(2013?柳州模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线厂J在第一象限相交于点A(1,2),点B在y轴上，且AB±y轴.有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒(t>0),过点P作PD±y轴，交直线OA于点0交双曲线于点D.(1)求直线y=kx和双曲线行J的函数关系式；(2)设四边形CDAB的面积为S,当P在线段OB上运动时(P不与B点重合)，求S与t之间的函数关系式;(3)在图中第一象限的双曲线上是否存在点Q,使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时t的值和Q点的坐标；若不存在，请说明理由.(2013秋?江岸区校级月考)如图，一次函数y=ax+b与反比例函数y=^(x>0)的图象交于点A、B,与x、y轴交于C、D,且满足*百+(a+二：可)2=0.(1)求反比例函数解析式；(2)当AB=BC时，求b的值；(3)如图2,当b=2'/年时，连OA/将OA绕点O逆时针旋转60°,使点A与点P重合，以点P为顶点作NMPN=60°,分别交直线AB和x轴于点M、N,求证：PM平分NAMN.(2012?北海)如图，在平面直角坐标系中有R3ABC,ZA=90°,AB=AC,A(-2,0)、B(0,1)、C(d,2).(1)求d的值；(2)将^ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B'、C'正好落在某反比例函数图象上.请求出这个反比例函数和此时的直线B'C'的解析式；(3)在(2)的条件下，直线BC交y轴于点G.问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC'是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由.(2012?泰州)如图，已知一次函数y1=kx+b图象与x轴相交于点A,与反比例函数后三的图象相交于B(-1,5)、C(1,d)两点.点P(m,n)是一次函数y1=kx+b的图象上的动点.(1)求k、b的值；(2)设-1<m<,,过点P作x轴的平行线与函数里2q的图象相交于点D.试问APAD的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)设m=1-a,如果在两个实数m与n之间(不包括m和n)有且只有一个整数，求实数a的取值范围.(2012?淄博)如图，正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E(3,4).(1)求反比例函数的解析式；(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线行一/升匕过点D,与线段AB相交于点F,求点F的坐标;(3)连接OF,OE,探究NAOF与NEOC的数量关系，并证明.(2012?广安模拟)如图所示，在同一直角坐标系xOy中，有双曲线为二?，直线y2=k2x+b1,y3=k3x+b2,且点A(2,5),点B(-6,2在双曲线的图象上(1)求y1和y2的解析式；(2)若y3与直线x=4交于双曲线，且y3〃y2，求y3的解析式；(3)直接写出今一卜3肝匕<口的解集.(2012?南安市质检)如图，已知双曲线产专(k为常数)与直线l相交于A、B两点，第一象限内的点M(点M在A的左侧)是双曲线尸上?上的一动点，设直线AM、BM分别与y轴交于P、Q两点.(1)若直线l的解析式为尸■!,，A点的坐标为(a,1),①求a、k的值；②当AM=2MP时，求