2019高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数课时达标检测(五十九)直接证明与间接证明

课时达标检测（五十九）直接证明与间接证明、数学概括法[小题对点练——点点落实]对点练(一)直接证明1xa＋b2ab1．已知函数f(x)＝2，a，b为正实数，A＝f2，B＝f(ab)，C＝fa＋b，则A，B，C的大小关系为()A．A≤B≤CB．A≤C≤BC．≤≤D．≤≤ABCACB＋b2ab1xa＋baf(x)＝2分析：选A由于2≥ab≥a＋b，又在R上是单一减函数，故f2≤()≤2≤≤.abab，即ffa＋bABC2．已知实数a，b，c知足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是()A．c≥b>aB．a>c≥bC．c>b>aD．a>c>b分析：选A∵－＝4－4＋a2＝(2－)2≥0，∴c≥.已知两式作差得2＝2＋22，cbaabba即b＝1＋a2.∵1＋a2－a＝a－12＋3>0，∴1＋a2>a.∴b＝1＋a2>a.∴c≥b>a，应选A.243．(2018·山西大同质检)剖析法又称执果索因法，若用剖析法证明“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：b2－ac<3a”索的因应是()A．a－b>0B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0D．(a－b)(a－c)<0分析：选C要证2－ac<3，只要证2－<32，即证(＋)2－<32，即证22babacaacacaa－ac－2>0，即证(2a＋c)(－)>0，即证[2－(＋)](－)>0，即证(a－)(－)>0，cacaabacbac故索的因应是(a－b)(a－c)>0.a15624．已知a，b∈R，m＝36a＋1＋1，n＝3b－b＋6，则以下结论正确的选项是()A．≤B．≥mnmnC．m>nD．m<naa11115131分析：选Am＝6＝6＝2＝2b2a＋12a＋22a≤nbb－＋36－a261236312＋16＋166＋621≥12，因此n≥m，应选A.15．设＝2，＝7－3，＝6－2，则，，c的大小关系为________．abcab答案：>>acbnn2图象上的点，nn6．已知点A(n，a)为函数y＝x＋1B(n，b)为函数y＝x图象上的点，此中∈N*，设cn＝n－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．na分析：由条件得c＝a－b＝21n，nnn2nnn∴cn随n的增大而减小．∴cn＋1<cn.答案：cn>cn＋1对点练(二)间接证明1．用反证法证明命题：“若a，，，∈R，＋＝1，＋＝1，且ac＋>1，则，bcdabcdbdab，c，d中起码有一个负数”的假定为( )A．a，b，c，d中起码有一个正数B．a，b，c，d全都为正数C．a，b，c，d全都为非负数D．a，b，c，d中至多有一个负数分析：选C用反证法证明命题时，应先假定结论的否认建立，而“a，b，c，d中起码有一个负数”的否认是“a，b，c，d全都为非负数”．π2．用反证法证明“若△ABC的三边a，b，c的倒数成等差数列，则B<2”时，应假定( )πB．＝πA．>2B2BππC．B≥2D．B≤2答案：C3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0起码有一个实根”时，要做的假定是()A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰巧有两个实根分析：选A反证法中否认结论需全否认，“起码有一个”的否认为“一个也没有”．对点练(三)数学概括法1．用数学概括法证明2n＞2n＋1，n的第一个取值应是( )A．1B．2C．3D．42分析：选C∵n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n＞2n＋1不建立；＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n＞2＋1不建立；nnn＝3时，23＝8,2×3＋1＝7,2n＞2n＋1建立．∴n的第一个取值应是3.2．设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)知足当f(k)≥k＋1建即刻，总能推出f(k＋1)≥k＋2建立，那么以下命题总建立的是()A．若f(1)<2建立，则f(10)<11建立B．若f(3)≥4建立，则当k≥1时，均有f(k)≥k＋1建立C．若f(2)<3建立，则f(1)≥2建立D．若f(4)≥5建立，则当k≥4时，均有f(k)≥k＋1建立分析：选D当f(k)≥k＋1建即刻，总能推出f(k＋1)≥k＋2建立，说明假如当k＝n时，f(n)≥n＋1建立，那么当k＝n＋1时，f(n＋1)≥n＋2也建立，因此假如当k＝4时，f(4)≥5建立，那么当k≥4时，f(k)≥k＋1也建立．3．用数学概括法证明1＋2＋3＋＋n2＝n4＋n2，则当n＝＋1时左端应在＝的基2knk础上加上的项为______________．分析：当n＝k时左端为1＋2＋3＋＋k＋(k＋1)＋(k＋2)＋＋k2，则当n＝k＋1时，左端为1＋2＋3＋＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋＋(k＋1)2，故增添的项为(k2＋1)＋(k2＋2)＋＋(k＋1)2.答案：(k2＋1)＋(k2＋2)＋＋(k＋1)2[大题综合练——迁徙贯穿]11．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1.求证：数列{an}中不存在三项按本来次序成等差数列．证明：假定存在三项按本来次序成等差数列，记为a＋1，a＋1，a＋1(p<q<r，且p，q，rpqr∈N*)，1112＋，qprr－qr－p＋1.①因此2·2＝2又由于<<，且，，∈N*，因此r－，r－∈N*.pqrpqrqp因此①式左侧是偶数，右侧是奇数，等式不建立．因此假定不建立，原命题得证．32．在数列{an}与{bn}中，a1＝1，b1＝4，数列{an}的前n项和Sn知足nSn＋1－(n＋3)Sn＝*求a2，b2的值；求数列{an}与{bn}的通项公式．解：(1)由题设有a1＋a2－4a1＝0，a1＝1，解得a2＝3.2又4a2＝b2b1，b1＝4，解得b2＝9.由题设nSn＋1－(n＋3)Sn＝0，a1＝1，b1＝4，及a2＝3，b2＝9，进一步可得a3＝6，b316，a4＝10，b4＝25，nn＋猜想an＝2nn＋先证an＝2当n＝1时，a1＝

bn＝(n＋1)2，n∈N*.n∈N*.＋＝1，等式建立．2当n≥2时，用数学概括法证明以下：(ⅰ)当n＝2时，a＝＋＝3，等式建立．22(ⅱ)假定当n＝k时等式建立，即kk＋，k≥2.ak＝2由题设，kSk＋1＝(k＋3)Sk，①kk－1②(k－1)S＝(k＋2)S.①的两边分别减去②的两边，整理得kak＋1＝(k＋2)ak；k＋2k＋2kk＋进而ak＋1＝kak＝k·2k＋k＋＋1].＝2这就是说，当＝＋1时等式也建立．nk依据(ⅰ)和(ⅱ)可知，等式n＝nn＋对任何的≥2建立．a2n综上所述，等式nnn＋*都建立．2再用数学概括法证明bn＝(＋1)2，∈N*.nn当n＝1时，b1＝(1＋1)2＝4，等式建立．假定当n＝k时等式建立，即bk＝(k＋1)2，那么222k＋14ak＋1k＋k＋k＋＝[(k＋1)＋1]2.b＝bk＝24这就是说，当n＝k＋1时等式也建立．依据(a)和(b)可知，等式bn＝(n＋1)2对任何的n∈N*都建立．3．关于定义域为[0,1]的函数f(x)，假如同时知足：①对随意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)建立，则称函数f(x)为理想函数．(1)若函数f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0；(2)试判断函数f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x2，f(x)＝x(x∈[0,1])是不(x∈[0,1])是理想函数．解：(1)证明：取x1＝x2＝0，则x1＋x2＝0≤1，f(0＋0)≥f(0)＋f(0)，∴f(0)≤0.又对随意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0，f(0)≥0，于是f(0)＝0.(2)关于f(x)＝2x，x∈[0,1]，f(1)＝2不知足新定义中的条件②，f(x)＝2x，(x∈[0,1])不是理想函数．关于f(x)＝x2，x∈[0,1]，明显f(x)≥0，且f(1)＝1.随意的x1，x2∈[0,1]，x1＋x2≤1，(x1＋x2)－f(x1)－f(x2)(x1＋x2)2－x21－x22＝2x1x2≥0，即f(x1)＋f(x2)≤f(x1＋x2)．f(x)＝x2(x∈[0,1])是理想函数．关于f(x)＝x，x∈[0,1]，明显知足条件①②.对随意的x1，x2∈[0,1]，x