江苏省南通市2023届高三数学上学期开学考试试卷

江苏省南通市2023届高三数学上学期开学考试试卷PAGEPAGE13江苏省南通市2022届高三数学上学期开学考试试卷=1\*ROMANI卷一、填空题〔本大题共14小题，每题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答卷相应位置上．〕1.集合A＝{－2，－1，3，4}，B＝{－1，2，3}，那么A∩B＝_▲．【答案】{－1，3}2.命题“∃x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”的否认是_▲．【答案】∀x∈(0，＋∞)，lnx≠x－13.假设复数z满足(z－1)i＝－1＋i，其中i是虚数单位，那么复数z的模是_▲．【答案】eq\r(5)4.执行如下图的流程图，那么输出的k的值为_▲．【答案】45.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．那么z的值为_▲．【答案】4006.α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(3,2)π))，且cosα＝－eq\f(4,5)，那么tan(eq\f(π,4)－α)＝_▲．【答案】eq\f(1,7)7.函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋m(m为常数)，那么f(－1)的值为_▲．【答案】－38.在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为_▲．【答案】1－eq\f(π,6)解析：半径为1的球的体积是eq\f(4,3)π，正方体的体积是8，故所求的概率是1－eq\f(\f(4π,3),8)＝1－eq\f(π,6)9.函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax〔x＜0〕，,〔a－3〕x＋4a〔x≥0〕))满足对任意x1≠x2，都有eq\f(f〔x1〕－f〔x2〕,x1－x2)＜0成立，那么a的取值范围是_▲【答案】0<a≤eq\f(1,4)解析：由题意知，f(x)为减函数，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0＜a＜1，,a－3＜0，,a0≥〔a－3〕×0＋4a.))解得0<a≤eq\f(1,4).10如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，假设各条棱长均为2，且M为A1C1的中点，那么三棱锥MAB1C的体积是_▲【答案】eq\f(2\r(3),3)解析：在正三棱锥中，AA1⊥平面A1B1C1，那么AA1⊥B1M.因为B1M是正三角形的中线，所以B1M⊥A1C1.所以B1M⊥平面ACC1A1，那么VMAB1C＝VB1ACM＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×AC×AA1))×B1M＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).11.点F是双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．假设△ABE是锐角三角形，那么该双曲线的离心率e的取值范围是_▲．【答案】(1，2)解析：由题意易得点F的坐标为(－c，0)，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，－\f(b2,a)))，E(a，0)．∵△ABE是锐角三角形，∴eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))>0，即eq\o(EA,\s\up6(→))·eq\o(EB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c－a，\f(b2,a)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c－a，－\f(b2,a)))＞0.整理，得3e2＋2e>e4.∴e(e3－3e－3＋1)<0.∴e(e＋1)2(e－2)<0.解得e∈(0，2)．又e>1，∴e∈(1，2)．12.三次函数f(x)＝eq\f(a,3)x3＋eq\f(b,2)x2＋cx＋d(a<b)在R上单调递增，那么eq\f(a＋b＋c,b－a)的最小值为_▲．【答案】3解析：由题意，f′(x)＝ax2＋bx＋c≥0在R上恒成立，那么a>0，Δ＝b2－4ac≤0.∴eq\f(a＋b＋c,b－a)≥eq\f(a＋b＋\f(b2,4a),b－a)＝eq\f(1＋\f(b,a)＋\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2),\f(b,a)－1).令t＝eq\f(b,a)(t>1)，那么eq\f(a＋b＋c,b－a)≥eq\f(1＋t＋\f(1,4)t2,t－1)＝eq\f(1,4)·eq\f(〔t＋2〕2,t－1)＝eq\f(1,4)·eq\f(〔t－1＋3〕2,t－1)＝eq\f(1,4)(t－1＋eq\f(9,t－1)＋6)≥3(当且仅当t＝4，即b＝4a时，等号成立)．13.函数，假设函数有个不同的零点，那么实数的取值范围是_▲．【答案】【解析】当时，，此时，当时，，此时，当时，，此时，函数，函数的图象如下：结合图象可得假设函数有个不同的零点，那么实数的取值范围是．14.，是非零不共线的向量，设，定义点集．(K不在是直线AB上)当时，假设对于任意的，不等式恒成立，那么实数的最小值为_▲．【答案】,解析由知三点共线，且．由知，即．由角平分线性质知，设，，，那么，化简得，即，所以的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．由，，在圆上，所以，又，所以，因为，在上单调递增，所以，所以，故实数的最小值为．二、解答题：〔本大题共6小题，15—17每题14分，18—20每题16分，共计90分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕15.(本小题总分值14分)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB1⊥BC，且AA1(1)AB∥平面D1DCC1；(2)AB1⊥平面A1BC.【答案】证明：(1)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊄平面D1DCC1，CD⊂平面D1DCC1，所以AB∥平面D1DCC1(2)在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，四边形A1ABB1为平行四边形，又AA1＝AB，故四边形A1ABB1为菱形．从而AB1⊥A1B.又AB1⊥BC，而A1B∩BC＝B，A1B⊂平面A1BC，BC⊂平面A1BC，所以AB1⊥平面A116.向量m＝(cosα，－1)，n＝(2，sinα)，其中α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，且m⊥n.(1)求cos2α的值；(2)假设sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，且β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求角β.【答案】解：(1)(解法1)由m⊥n得，2cosα－sinα＝0，sinα＝2cosα，(2分)代入cos2α＋sin2α＝1，5cos2α＝1，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，那么cosα＝eq\f(\r(5),5)，sinα＝eq\f(2\r(5),5)，(4分)那么cos2α＝2cos2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up12(2)－1＝－eq\f(3,5).(6分)(解法2)由m⊥n得，2cosα－sinα＝0，tanα＝2，(2分)故cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)＝eq\f(1－4,1＋4)＝－eq\f(3,5).(6分)(2)由α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))得，α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).因sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，那么cos(α－β)＝eq\f(3\r(10),10).(9分)那么sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).(12分)因β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得β＝eq\f(π,4).(14分)17.如下图，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为eq\f(π,6).设S的眼睛到地面的距离为eq\r(3)米．(1)求摄影爱好者到立柱的水平距离和立柱的高度；(2)立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕其中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影爱好者有一视角范围为eq\f(π,3)的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影爱好者是否都可以将彩杆全部摄入画面？请说明理由．【答案】解：(1)如图，作SC垂直OB于C，那么∠CSB＝eq\f(π,6)，∠ASB＝eq\f(π,3).又SA＝eq\r(3)，故在Rt△SAB中，可求得BA＝3，即摄影爱好者到立柱的水平距离为3米．由SC＝3，∠CSO＝eq\f(π,6)，在Rt△SCO中，可求得OC＝eq\r(3).因为BC＝SA＝eq\r(3)，故OB＝2eq\r(3)，即立柱高为2eq\r(3)米．(2)如图，连结SM，SN.设SN＝a，SM＝b.由(1)知SO＝2eq\r(3)，在△SOM和△SON中，cos∠SOM＝－cos∠SON，即eq\f(〔2\r(3)〕2＋1－b2,2×2\r(3)×1)＝－eq\f(〔2\r(3)〕2＋1－a2,2×2\r(3)×1)，可得a2＋b2＝26.在△MSN中，cos∠MSN＝eq\f(a2＋b2－22,2ab)＝eq\f(11,ab)≥eq\f(22,a2＋b2)＝eq\f(11,13)>eq\f(1,2)，当且仅当a＝b时，等号成立．又∠MSN∈(0，π)，那么0<∠MSN<eq\f(π,3).故摄影爱好者S可以将彩杆全部摄入画面．18.函数．〔1〕假设曲线在点处的切线的斜率为，求实数；〔2〕假设，求的极值；〔3〕当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．【答案】〔1〕因为，曲线在点处的切线的斜率，．

〔2〕当时，，．所以的极大值为，的极小值为．

〔3〕，．令，得，，在〔〕，〔〕上单调递减，在〔〕上单调递增．当时，有，所以在上的最大值为．又因为，所以在上的最小值为，解得．所以，所以在上的最大值为．19.椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F2(1，0)，点Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2\r(10),3)))在椭圆上．(1)求椭圆的方程；(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且点M在第一象限，过点M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．【答案】解：(1)设椭圆的左焦点为F1.根据，椭圆的左右焦点分别是F1(－1，0)，F2(1，0)，c＝1，∵Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2\r(10),3)))在椭圆上，∴2a＝|HF1|＋|HF2|＝eq\r(〔2＋1〕2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(10),3)))\s\up12(2))＋eq\r(〔2－1〕2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(10),3)))\s\up12(2))＝6.∴a＝3，b＝2eq\r(2).故椭圆的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么eq\f(xeq\o\al(2,1),9)＋eq\f(yeq\o\al(2,1),8)＝1，|PF2|＝eq\r(〔x1－1〕2＋yeq\o\al(2,1))＝eq\r(〔x1－1〕2＋8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,1),9))))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1,3)－3))\s\up12(2)).∵0<x1<3，∴|PF2|＝3－eq\f(1,3)x1.在圆中，M是切点，∴|PM|＝eq\r(|OP|2－|OM|2)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)－8)＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋8\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(xeq\o\al(2,1),9)))－8)＝eq\f(1,3)x1.∴|PF2|＋|PM|＝3－eq\f(1,3)x1＋eq\f(1,3)x1＝3.同理，|QF2|＋|QM|＝3，∴|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|＝3＋3＝6.因此，△PF2Q的周长是定值6.20.设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，假设，．〔1〕求数列的通项公式；〔2〕对于正整数，求证：“且〞是“这三项经适当排序后能构成等差数列〞成立的充要条件；〔3〕设数列满足：对任意的正整数，都有，且集合中有且仅有个元素，试求的取值范围．【答案】〔1〕数列是各项均为正数的等比数列，，，又，，，

〔2〕〔i〕必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，①假设，那么，，，，．②假设，那么，，左边为偶数，等式不成立，③假设，同理也不成立，综合①②③，得，所以必要性成立．〔ii〕充分性：设，，那么这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，所以充分性也成立．综合〔i〕〔ii〕，充要性得证．

〔3〕因为，即，当时，，那么式两边同乘以，得，，得，即，又当时，，即，适合，．，，时，，即；时，，此时单调递减，又，，，，(法二：两边同除以2n+1)=2\*ROMANII卷〔本大题共4小题，每题10分，共计40分．请在答卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．〕21(B).矩阵，假设，求矩阵的特征值．【答案】因为，所以解得，．所以矩阵的特征多项式为令，解得矩阵的特征值为．21(D).在平面直角坐标系中，直线〔为参数〕与曲线〔为参数〕相交