概率统计模拟试题1-4解答

模拟试题（一）一.单项选择题（2分,16分设A,B为两个随机,若P(AB)0,则下列命题中正确的是 A与B互不相 (B)A与B独

PA)0或P(B)

(D)AB解若AB为零概率,其未必为不可能.本题应选

(1

1

C1(1p)p3 所求的对立为“3次都不成功”,其概率为p3,故所求概率为1p3.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3若函数yf(x)是一随量的概率密度,则下面说法中一定成立的是

f(x)非 f(x)单调非

f(x的值域为f(x在(, 由连续型随量概率密度的定义可知,f(x)是定义在(,)上的非负函数,且满足1f(x)dx1,所以A一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从[31

1]上的均匀分布的 量2f(x)

1x1 x

x3

2若随量X的概率密度为f(x)

(2 2

(x),则Y ）~N22

X

X2

X

X2X2X22 X的数学期望2

3DX

,令Y

若随量X,Y不相关,则下列等式中不成立的是 cov(X,Y)

D(XY)DXDXYDX

EXYEX解0cov(X,Y)

DX

DY0 Y)

DXYDXDY设样本X1,X2,,Xn取自标准正态分布总体X,又X,S分别为样本均值及样本标准差,则 ii

X~N

nX~N

nn

X2~2

X~t(nS六.(12分设随量X的密度函数

f(x)Ax

(x)(1)A的值；

P(1X2)；

YX2解(1)因f(x)dx2Ax2exdx4A1A1

P(1X2)

f(x)dx10x2exdx12x2exdx2 4 4215e25e1 (3)y0FYy)0y0yYF(y)P(Yy)P(X2y) X yyYFX

y)FX

y) 4y 4yf(y)1y y

1y 12y12y12

ey故Y

yfY(y)

yey

y七.(6分10000.6.假定在这段 设

,0第i人 该种商品,(i1,2,,1000),X表 该种商品的人数, 第i 该种商X~B(1000,0.6.又设商品预备nP(Xn)P(X

nEX)P(X600n600(n600)0.997n6002.75,n642.6643件八.(10分X

XnX1X2,XnmR的最大似解 P1R1011 Rx

Rx即P(Xx) (x0,1)1R1R 1 R（2）L(R)P(Xixi)(1R)nlnL(R)Rxinln(1R)11xin1R0

n

nmRˆn1.m九.(14分A批B批已知元件电阻服从正态分布,设0.05（t0025(10)2.2281,F0025(5,5)7.15解(1)H：2

H：22

SS2F1~F(5,S22

（在H0成立时由0.05,查得临界值 (5,5)7.15,

/ 0

1/

F

000750.962

F

1/

/

H0：1

H1：12

T X

~t

（在H0成立时 6S2S0 6S2S00000756 因为|T|t2H0模拟试题（二）一.单项选择题（2分,16分设A,B,C表示3个,则ABC表示

A,B,C中有一个发 A,B,C都不发

A,B,C中不多于一个A,B,C中恰有两个发解PA)P(B)

1,P(A|B)3

1,则P(AB) 67

31

4解P(AB)P(A)P(B|A) 7P(AB)P(AB)1P(AB)1P(A)P(B)P(AB) 故本题应选

P{XY0}2P{XY0}2

P{XY1}2P{XY1}2 XY~N(1,2),XY~N(1,2),故本题应选设X与Y为两 量,且DX4,DY1,

0.6,则D(3X2Y) (A) (B) (C) (D)解cov(X,Y)

DX

1.2D(3X2Y)9DX4DY12cov(X,Y)25.6若随量X服从参数为的泊松分布,则X2的数学期望是

11

2解EX2DXEX)22 XX,XN(,2X S2 n(XX

S21n(

X)2n n

S21(

)2

S21(

ni)2ni n

n4则服从自由度为n1的t分布的随量是 4

tX nn

tX nSn(C)t

XS3 S3 n

t

XSS4 n X~N

),2(XiXnn

~t(n1,再由t X与方差2XX 为样本方差,则总体方差2的矩估计量是

Xn

1n

(X

)2

1n1

(X

X)2

1n

(X

X)2解本题应选 都增 (B)都减(C)都不变 (D)一个增大一个减小解本题应选B.二.填空题（2分,14分设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,则另外1件也 设A表示两件中有一件不合格品,B表示两件都是不合格品.则所求的极限P(B|A)P(AB)P(B)P( P( 设随量X服从B(1,0.8)分布,则X的分布函数 X服从0-1分布,其分布函数为f(x)

x0,0x1,1 x1若随机变量X服从均值为22的正态分布,且P{0X40.6P{X 解2x21P{X0}

0.22设总体X服从参数为p的0－1分布,其中p(0p1)未知.现得一样本容量为8的样本 解由定义计算知X5S215 X服从参数为的指数分布,现从X中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知xi27,那么的矩估计值 解ˆX

10 设总体X~N(,2),且2未知,用样本检验假设H时,采用的统计量 解T

X

~t(n

H0为真时三.（8分14,65,25842解A1A2A3B由全 可P(B)

(A)P(B|A)1

3 3i P(

|B)P(A1)P(B|A1)四.（6分设随量X的概率密度

f(x)2

X4Y表示观察值大于地次数,求Y23解P

)

1

3

Y~ EY2DY(EY)25五.（12分YX01212YX01212问:(1)X,YP

Y在Y2X解(1)P(X1,Y0)0.10.2 所以XY不独立(2)P(XY)P(X

P(X1|Y2)

P(X1,YP(Y

79P(X2|Y2)19六.（12分

29设二维随量(X,Y)的概率密度

0yxf(x,y)

求:(1)XfX(xE(XY)P(XY1)解

x12

0x

0xfX(x)f(x,y)dy1x 1x

其

其他

E(XY)

3dy 121(3)P(XY1)

12y2dy7 8 82七.（6分一部件包括10部分,每部分的长度是一个随量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望2mm,0.05,规定总长度为(200.1mm 设Xi表示第i部分的长度,i1,2,,10,X表示部件的长度.由题意知EXi2DXi0.0025

Xi,

20,

0.025XP(|X20|0.1)X )10.4714八.（7分X

f(x)

xk

ex

x(k 其中k为已知正整数,求

解X1X2,XnXx1x2,xn0nnnL()f(xi)

[(k

nn

k

i1nlnL()nklnnln(k1)!

xk1n关于0

ilnL()

ix0i 从而解得n n

kX 九.（14分x10.230sn1nx20.269sn2n

0.1337

((F0025(8,7)4.53,F0025(7,8)4.90,t00025(15)2.1315 s第一步假设:2=2F1~F(n1n1s s

2H:2=2 第二步假设012 (n1)s2(n1)s ) n1n2

X

~t(n

经检验,接受0,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题十.（5分Xf(x)

x2

其中

1,

2,,

X4X是

证 3

XEXEEX

4

x3dx304故X是43模拟试题（三）一.填空题（2分,14分一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为 解设A表示一次射目标,依题意,四次都没的概率P(A)4180,解得P(A)1,从而射 中率为P(A)2

,则该射 中率 若A,B独立,且P(A)p,P(B)q则P(AB) 解PAB)PAP(BPA)P(B)1ppq设离散型随量X服从参数为（0）的泊松分布,已知P(

1)P(

2)解PX1

2

P(

,从而解得2设相互独立的两个随量X,Y具有同一分布律,且X的分布律为12121212则随量Zmax{X,Y}的分布律 解Z1 PZ PX Y

PX

P(Z1)113

2 设随量X,Y的方差分别为

25DY36

0.4CovX,Y解cov(X,Y)

设总体X的期望值22的无偏估计量是kn

(X

X)2k 解k n1设总体X~N(,2),未知,检验：22,应选用的统计量 (XiX22解 ~2(n1)20

0为真时.单项选择题（2分,16分6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,则4本外文书放在一起的概率为

解若

A,B相互独立,则下列正确的是

P(B|A)P(A|P(A|B)

P(B|A)P(P(A|B)1P(解PA|B)PA)1PA设随量X服从参数为n,p的二项分布,且

1.6,

1.28,则n,p的值为 n=8,p=n=5,p=

n=4,p=n=6,p=解由np1.6np(1p)1.28,解得n8p0.2设随量X服从正态分布N(2,1),其概率密度函数为f(x),分布函数为F(x),则有 P(X0)P(X0)P(X2)P(X2)f(x)=f(x),x(,

F(x)1F(x)

x(,解EX2x2如果随量X与Y满足:D(XY)D(XY),则下列式子正确的是 X与Y相互独 (B)X与Y不相

DY

DXDY解DXY)DXY,可得cov(X,Y)0X与Y (XiX2

1,X

,,X

是来自总体X~N(,2)的样本,X为样本均值,令Y ,则Y~

(n

(B)

N(,

N n解本题应选 设X,X,,X是取自总体N(0,2)的样本,可以作为2的无偏估计量的统

1 XinXi

1n1

2

1ninii

1nnXiXiiE(1X2)1i

EX2EX2DXEX)2DX2A选择正确,同理验算其他选in ni 0样本X,X,,X来自正态总体(,2),若进行假设检验,当 0S tXS 0未知,检验20

已知,检验2=

2未知,检验

2已知,检验00解00三.（8分有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的1.52%,乙车床的废品率为1%,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解设A1,A2分别表示螺杆由甲,乙车床生产的.B表示螺杆是废品的.由可P(

|B)

P(A1)P(B|A1P(A)P(B|A)P(A 3 30.022 四.（8分假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障获利润5万元,发生两次故障获利润万元,发生三次或三次以上故障就要亏损万元,问一周内期望利润是多少？解X 150.20.84 五.（12分

5.216X,的联合分布为:XX1236XY的边际分布；(2)XY解(1)X的边际分布为 Y的边际分布为 YP X与Y设随量(X,Y)的联合密度函数为

e

0xPXY1

f(x,y)=

0x解PXY1)20x

eydy1e12e2六.（8分设连续型随量X的分布函数为

x(1)AB(2)随量X的概率密度

F(x)ABe2

xx

X

ln9)解(1)F()lim(A

2)AlimF(x)limABe2)AB0F(0B f(x)=xe2

xx1

X

ln9)F

ln9)F

ln4) 6七.（8分X1X2,XnXXf(x)=

x

0x其中0,求未知参数

其他1解EX1

xdx X,从而解得的矩估计量为 ).1

nnnlnXn nlnXi设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5准差为15分,问在显著水平0.05下,是否可认为全体考生的平均成绩为70解假设070TXnsn

~t(n1 0为真时在0.05下,查t分布的双侧临界值表知t0

2.030115/|T 15/从而接受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为70两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样,测得其平均年存款余额分别为2600y2700S181S2105元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（0.10） 此题要求检验,由于t检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验2与2 s第一步假设:2=2F1~F(n1n1s s

2H:2=2 第二步假设012 (n1)s2(n1)s ) n1n2

X

~

0,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题X服从参数为

X为奇数T(X)

X为偶数证明TX)是e2的一个无偏估计量证明E[TXTT(x)P

T(x)xe (

e2 所以TX)是e2的一个无偏模拟试题（四）一.填空题(2分,20分设P(A)=0.4,P(B)=0.5.若P(AB)0.7,则P(AB) 解PAB)PAP(BP(B)PA|B)若随量X服从二项分布,即X~B(5,0.1),则D(12X) 解D(12X)4DX450.10.91.8 3

,则每 的概率 43x2

0x设 量X的概率密度是:f(x)

且P(Xa)0.784则a 解PXa)0.78401PXa) 13x2dx130.784从而0.6

(x24x

(2

dx 解令x2t,则原式

t

t2dtDXEX)21

X

xf(x)

0x

(其中为参数0)L(x1,x2,,xn;)n

x1,x2,,.

是来自总体Xi解nx1iXYDXDYa0与bP(YaXb)1X与Y 关系

~N(,2)XX,X是来自总体X的样本,XS2分别为样本均值和方差,则(X(X)S解t(n1X~N(2Y~N(2)X与YXYn,n 本,样本均值分别为X,Y,则XY服从分 解N(12nn nn 设随量X和Y的相关系数为0.9,若ZX0.4,则Y与Z的相关系数 解cov(YZcov(YX0.4cov(YX0.9二.单项选择题(2分,12分设随量X的数学期望EX与DX2均存在,由切比不等式估计概P{X

4}为

(D) 解A,B为随机随机,且BA,则下列式子正确的是

P(AB)P(P(AB)P(

P(BA)P(B)P(P(BA)解设 量X的密度函数为f(x)AxB，0x1，EX7,则 其他，

A1,BA0.5,B

A0.5,BA1,B 7解令AxB)dx1AxB) 7

A1B0.5 若随量X与Y不相关,则有 D(X3Y)D(X)9D(YD(XY)D(X)D(YE{[XE(X)][YE(Y)]}P(YaXb)解已知 量F~F(n1,n2),且P{FF(n1,n2)},则F1(n1,n2) 解

F(n1,n21

1将一枚硬币独立地掷两次,记:A1掷第一次出现正面},A2掷第二次出现正面},A3正、各出现一次},A4正面出现两次},则

A1,A2,A3相互独 A1,A2,A3两两独

P(A1)2,P(A2)2,P(A3)2,P(A4)4,再 独立的充分必要条件可知A1,A2A3两两独立,本题应选各车间产品的不依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1)取到不合格产品的概率(2)解(1)运用全概率,(2)运用,0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第i个零件是不合格品的概率为1pi1DX

(i1,2,3X表示三个零件中合格品的个数,求:(1)X的概率分布；(2)X解X0123X0123111P441211234

EX21411917DXEX2EX)212 12

~N(0,22x

,,

X的一组样本值,求2解似然函数L(2)

)n

nn1xi1i 2222

n)2

nnxii22

nx lnL(2)

ln24

ln2 , 关于2求导,并令其为零,nx 0,2 2(2)2i从而解得极大似然估计量为ˆ21in

x2二维随量(X,Y)的联合概率密度2e(x2y)，x0,yf(x,y)

求:(1)X与YX与Y(2)P(YX1)

x解

fX(x)f(x,y)dy