空间向量与立体几何-学习.探究.诊断(选修2-1)

..第三章 空间向量与立体几何测试十一 空间向量及其运算 AⅠ 学习目标1．会进行空间向量的加法、减法、数乘运算．2．会利用空间向量基本定理处理向量共线，共面问题以及向量的分解．3．会进行空间向量数量积的运算，并会求简单的向量夹角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，BA BC DD1＝( )(A)D1B1(B)D1B(C)DB1(D)BD12．平行六面体－1111中，为和的交点，若abcABCDABCDMACBD，则下AB,AD,AA1列式子中与B1M相等的是( )(A)1a1bc(B)1a1bc2222(C)1a1bc(D)1a1bc22223．在平行六面体－1111中，向量AB1、AD1、BD是()ABCDABCD(A)有相同起点的向量(B)等长的向量(C)共面向量(D)不共面向量4．已知空间的基底{i，j，k}，向量a＝i＋2j＋3k，b＝－2i＋j＋k，c＝－i＋mj－nk，若向量c与向量a，b共面，则实数m＋n＝()(A)1(B)－1(C)7(D)－75．在长方体ABCD－ABCD中，AB＝1，AD＝2，AA＝3，则BDAC()111111.. ...(A)1 (B)0 (C)3 (D)－3二、填空题6．在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，化简AB AD AA1 ______.7．已知向量 i，j，k不共面，且向量 a＝mi＋5j－k，b＝3i＋j＋rk，若a∥b，则实数m＝______，r＝______.8．平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，所有的棱长均为 2，且ABCC 2，则 AB,CC1＞_______；异面直线AB与CC1所成的角的大小为______.9．已知i，j，k是两两垂直的单位向量，且a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，则a·b＝______．10．平行六面体－1111中，所有棱长均为1，且∠1＝∠1＝60°，⊥，则ABCDABCDAABAADABADAC1的长度为______.三、解答题11．如图，平行六面体ABCD－ABCD中，,AD,AA1c，E为AD111111底{a，b，c}表示下列向量DB1,BE,AF；在图中画出DD1DBCD化简后的向量．12．已知向量 a＝2i＋j＋3k,b＝－i－j＋2k，c＝5i＋3j＋4k，求证向量 a，b，c共面．13．正方体 ABCD－A1B1C1D1中，棱长为 1，E为CC1中点，(1)求AB1 BC；.. ...(2)求AB1 BE,cos AB1,BE ．Ⅲ 拓展性训练14．如图，点 A是△BCD所在平面外一点， G是△BCD的重心，1求证：AG (AB AC AD)．(注：重心是三角形三条中线的交点，且 CG∶GE＝2∶1)第三章 空间向量与立体几何测试十一 空间向量及其运算 A1．D2．CB1MB1BBMc1BDc1(ADAB)1a1bc．22223．C∵AD1AB1B1D1BD,AB1、AD1、BD共面．4．Bc＝a＋b＝－i＋3j＋4k＝－i＋mj－nk，m＝3，n＝－4，m＋n＝－1．5．CBDAC1(ADAB)(ABADAA1)AD2AB2(ADAB)AA1|AD|2|AB|203．6．ABADAA1ACAA1A1C．17．m 15，r ．58．120°；60°．9．－2．10．5;|AC|2(ABADAA1)2AB2AD2AA122ABAD2ADAA12ABAA11＋1＋1＋0＋2cos60°＋2cos60°＝5．.. ...abca11bc；DB1A1EcA1B1a11．(1)AFABBFABBB1B1Fac1BB1)1b1(BCac．222DD1DBCDDD1(CDDB)DD1CBDD1D1A1DA1．12．解：设 c＝ma＋nb，则5i＋3j＋4k＝m(2i＋j(2m－n)i＋(m－n)j

3k)＋n(－i－j＋2k)(3m＋2n)k，2mn5m2mn3，解得，所以c＝2a－b，所以向量a，b，c共面．3m2n4n113．AB1BC1(ABBB1)(BCCC1)ABBC1ABCC1BB1BCBB1CC100011AB1BE(ABBB1)(BCCE)ABBCABCEBB1BCBB1CE00110．22|AB1|2,|BE|5,cosAB1,BEAB1BE10．2|AB1||BE|1014．证明∵AGACCGCG2CE2[1(CBCD)]1(CBCD)1(CAABCAAD)33233∴AGAC1(2CAABAD)1(ABACAD)．33测试十二 空间向量及其运算 BⅠ 学习目标1．会进行向量直角坐标的加减，数乘，数量积的运算．2．掌握用直角坐标表示向量垂直，平行的条件．3．会利用向量的直角坐标表示计算向量的长度和两个向量的夹角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则a＋6b－8c＝( )(A)(14，－3，3)(B)(14，－3，35)(C)(14，－3，－12)(D)(－14，3，－3)2．下列各组向量中不平行的是().. ...(A)＝(1，2，－2)，b＝(－2，－4，4)(B)c＝(1，0，0)，＝(－3，0，0)ad(C)e＝(2，3，0)，f＝(0，0，0)(D)g＝(－2，3，5)，h＝(16，24，40)3．已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，若a⊥b，则x＝()(A)2(B)－2(C)10(D)104．与向量(－1，－2，2)共线的单位向量是()33(A)(1,2,2)和(1,2,2)(B)(1,2,2)333333333(C)(1,2,2)和(1,2,2)(D)(1,2,2)3333333338，则λ等于()5．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角余弦为292(A)2(B)－2(C)－2或(D)2或5555二、填空题6．已知点A(3，2，1)，向量AB＝(2，－1，5)，则点B的坐标为______，｜AB｜＝______．7．已知3(2，－3，1)－3x＝(－1，2，3)，则向量 x＝______．8．若向量 a＝(2，1，－2)，b＝(6，－3，2)，则cos<a，b>＝______．9．已知向量 a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是______．10．若空间三点 A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q＋2)共线，则p＝______，q＝______．三、解答题11．已知向量 a＝(1，－1，2)，b＝(－2，1，－1)，c＝(2，－2，1)，求(1)(a＋c)·a；｜a－2b＋c｜；(3)cos〈a＋b，c〉．12．已知向量 a＝(2，－1，0)，b＝(1，2，－1)，求满足m⊥a且m⊥b的所有向量m．若|m|230，求向量m．13．已知向量 a＝(－2，1，－2)，b＝(1，2，－1)，c＝(x，5，2)，若c与向量a，b共面，数x的值．14．直三棱柱 ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1，A1A的中点。如图，建立空间直角坐标系．.. ...求BN的坐标及BN的长；求cosBA1,CB1的值；求证：A1B⊥C1M．测试十二 空间向量及其运算 B1．A2．D b＝－2a a∥b；d＝－3c d∥c；而零向量与任何向量都平行．3．C4．A5．Ccosa,bab68,2或22|a||b|359556．(5，1，6)，307．x(7,11,0)8．cosa,b59．710．p＝3，q＝23321511．(ac)a12;|a2bc|99；cosab,c2612．(1)设＝(，，)由已知得ma0，2xy0，设x＝，则＝2，＝5，mxyzmb0x2yz0ayaza所以＝(a，2，5)(a∈R)．maa(2)|m|a24a2252230，得a＝±2，a所以m＝(2，4，10)或m＝(－2，－4，－10)．13．因为c与向量a，b共面，所以设c＝ma＋nb(m，n∈R)x2mnm3(x，5，2)＝(－2，1，－2)＋(1，2，－1)，5m2n，所以n4mn22mnx1014．(1)解：依题意得B(0，1，0)，N(1，0，1)，BN(1,1,1)∴|BN|(10)2(01)2(10)23．(2)解：A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，∴BA1(1,1,2),CB1(0,1,2)，.. ...∴BA1CB13,|BA1|6,|CB1|5∴cosBA1CB130BA1,CB110|BA1||CB1|证明：∵C1(0，0，2)，M(1,1,2)，22∴A1B(1,1,2),C1M11,0)∴A1BC1M011(,∴AB⊥CM．22测试十三 直线的方向向量与直线的向量方程Ⅰ 学习目标1．会写出直线的向量参数方程以及利用它确定直线上点的坐标．2．会用向量共线定理处理四点共面问题．3．会利用直线的方向向量和向量共线定理证明线线平行、线面平行，线线垂直、线面垂直．4．会利用向量求两条异面直线所成的角．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．向量OA=（1，2，0），OB=（－1，0，6）点C为线段AB的中点，则点C的坐标为( )(A)(0，2，6)(B)(－2，－2，6)(C)(0，1，3)(D)(－1，－1，3)2．已知点(2，－2，4)，(－1，5，－1)，若2AB,则点C的坐标为()3(A)(2,14,10)(B)(2,14,10)(C)(2,14,10)(D)(2,14,10)333333333．下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是()(A)DM2OAOBOC(B)DM1OA1OB1OC532(C)MA2MBMC0(D)OMOAOBOC04．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，则异面直线与1所成角的余弦值为()OEFD(A)10(B)15(C)4(D)255535．已知(0，0，0)，(1，1，1)，(1．2，－1)，下列四个点中在平面的点是()ABCABC(A)(2，3，1)(B)(1，－1，2)(C)(1，2，1)(D)(1，0，3).. ...二、填空题6．已知点 A(1，2，0)，B(－2，1，3)，若点P(x，y，z)为直线AB上任意一点，则直线 AB的向量参数方程为 (x，y，z)＝______，若AP 2BP时，点P的坐标为______.7．已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若有OP1OA2OBOC确定的点与A，B,C三点共面，则λ＝______．538．若直线l1∥l2，且它们的方向向量分别为a＝(2，y，－6)，b＝(－3，6，z)，则实数y＋z＝______9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M是DC的中点，点N在CC1上，且D1M⊥AN，则NC的长度为______．10．正三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，则A1C与BC1所成角的余弦值为 ______．三、解答题11．直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝CC1＝1．求异面直线AC1与CB1所成角的大小；证明：BC1⊥AB1．12．如图，已知四棱锥 P－ABCD的底面为正方形， PA⊥平面ABCD，PA＝AD，E，F分别是AB，PC的中点．求证： EF⊥平面PCD．13．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1，.. ...AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：AC1∥平面CDB1；求异面直线AC1与B1D所成的角的大小．14．正方体 ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AB，A1D1的中点，求证： MN∥平面BB1D1D．测试十三 直线的方向向量与直线的向量方程1．C2．B3．CMCMA2MB．4．B如图，建立空间直角坐标系－xyz,FD1(1,0,2)，DOE(1,1,1),|cosFD1,OE|15．55．DAD2ABAC所以向量AD,AB,AC共面，点(1，0，3)在平面ABC．6．(x，y，z)＝(1，2，0)＋t(－3，－1，3)；(－5，0，6)，此时t＝2．7．2；因为121．15538．5．9．1．10．1如图，建立空间直角坐标系－xyz，4O.. ...则CA1 ( 3,1,2),BC1 (3,1,2),|cos CA1,BC1 |

1411．解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz则A(1，0，0)，B(0，1，0)，B1(0，1，1)，C1(0，0，1)(1)AC1(1,0,1),CB1(0,1,1)，cosAC1,BC1112，22异面直线AC1与CB1所成角为60°．(2)BC1(0,1,1),AB1(1,1,1)，得BC1AB1011，所以BC⊥AB．12．证：如图，建立空间直角坐标系 A－xyz，设AB＝2，则：A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，∵E为AB的中点，F为PC的中点，∴E(1，0，0)，F(1，1，1),EF(0,1,1)∵CD(2,0,0),CDEF(2,0,0)(0,1,1)0∴EF⊥CD．.. ...∵PD (0,2,2),PDEF (0,2,2)(0,1,1)＝0 ∴EF⊥PD．因为PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．13．解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz，设AC＝BC＝CC1＝2，则C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，D(1，1，0)．设BC1与B1C的交点为E，则E(0，1，1)．∵DE (1,0,1),AC1 (2,0,2)，DE1AC1,∴DE∥AC1．2∵DE平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．(2)设异面直线AC与BD所成的角为，11AC1=(－2，0，2)，B1D=(1，－1，－2)，cos|cosAC1,B1D|3，所以＝30°2异面直线AC1与B1D所成的角为30°14．设abcAB,AD,AA1则MNMAAA1A1N1111acb(ba)cBDAA1，因为MN平面BB1D1D，2222所以∥平面11D．MNBBD测试十四 平面的法向量和平面的向量表示Ⅰ 学习目标1．会求平面的法向量．2．会利用平面的法向量证明两个平面平行和垂直问题．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．过点A(2，－5，1)且与向量 a＝(－3，2，1)垂直的向量( )(A)有且只有一个 (B)只有两个且方向相反(C)有无数个且共线 (D)有无数个且共面2．设平面 两个向量的坐标分别为 (1，2，1)，(－1，1，2)，则下列向量中是平面的法向量的是 ( )(A)(－1，－2，5) (B)(－1，1，－1) (C)(1，1，1) (D)(1，－1，－1).. ...3．已知空间中三点 A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)，若向量a分别与AB,AC都垂直，且|a| 3，则a＝( )(A)(1，1，1) (B)(1，－1，1)(C)(－1，1，1) (D)(－1，－1，－1)或(1，1，1)4．已知 ⊥ ，平面 与平面 的法向量分别为 m＝(1，－2，3)，n＝(2，3λ，4)，则λ＝( )(A)5 (B) 5 (C)7 (D) 73 3 3 35．平面 的法向量为 m，若向量AB m，则直线AB与平面 的位置关系为( )(A)AB (B)AB∥ (C)AB 或AB∥ (D)不确定二、填空题6．已知 ∥ ，平面 与平面 的法向量分别为 m，n，且m＝(1，－2，5)，n＝(－3，6，z)，则z＝______．7．如图，在正三棱锥 S－ABC中，点O是△ABC的中心，点 D是棱BC的中点，则平面 ABC的一个法向量可以是 ______，平面SAD的一个法向量可以是 ______．8．若A(0，2，1)，B(1，1，0)，C(－2，1，2)是平面 的三点，设平面 的法向量 a(x，y，z)，则x∶y∶z＝______．9．如图AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上非A，B的任意一点，则图中直角三角形共有______个．三、解答题10．正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，(1)在图中找出平面 ABCD，平面ADD1A1，平面BDD1B1的一个法向量；.. ...(2)以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出 (1)中三个法向量的坐标．11．如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD＝2．AB＝4，E，F分别为CD,PB的中点．求平面AEF的一个法向量的坐标．12．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E，F，M，N分另是A1D1，D1D，BC，BB1的中点．求证：平面 EFC1∥平面AMN．13．正方体 ABCD－A1B1C1D1中，P，M，N分别是DC，CC1，BC中点．求证：平面 PA1A⊥平面MND．.. ...测试十四 平面的法向量和平面的向量表示1．D2．B3．D4．C5．C6．－157．OS;BC8．x∶y∶z＝2∶－1∶39．4个，△PAC，△PAB，△ABC，△PBC10．解：(1)由正方体可得： DD1⊥平面ABCD，AB⊥平面ADD1A1，平面ABCD的一个法向量为 DD1，平面ADD1A1的一个法向量为 AB，连接AC，AC⊥BD，AC⊥BB1，得AC⊥平面BB1D1D，平面BDD1B1的一个法向量为 AC．如图，建立空间直角坐标系D－xyz，可得D1(0，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)．DD1 (0,0,2),AB (0,2,0),AC (2,2,0)11．如图，建立空间直角坐标系 D－xyz，设AD＝2，可得A(0，2，0)，B(4，2，0)，C(4，0，0)，P(0，0，2)，E(2，0，0)，F(2，1，1)．平面AEF的一个法向量为 m＝(x，y，z)，AE (2,2,0),AF (2,1,1)，2x 2y 0，令x＝1，得y＝1，z＝－1，m＝(1，1，－1)．2x y z 012．如图，建立空间直角坐标系 D－xyz，.. ...可得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，C1(0，2，4)，E(1，0，4)，F(0，0，2)，M(1，2，0)，N(2，2，2)．平面EFC1的一个法向量为 m＝(x，y，z)，EC1(1,2,0),EF(1,0,2),EC1m0x2y0，所以，EFm0x2z0令y＝1，得x＝2，z＝－1，m＝(2，1，－1)．设平面AMN的一个法向量为n＝(a，b，c)．a 2b 0AM (1,2,0),AN (0,2,2)，所以 ．2b 2c 0令b＝1，得a＝2，c＝－1，n＝(2，1，－1)．因为m＝n，所以平面 EFC1∥平面AMN．13．如图，建立空间直角坐标系 D－xyz，设AB＝2，可得A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1，2，0)．平面PA1A的一个法向量为 m＝(x，y，z)，AA1 (0,0,2),AP (2,1,0)，2z 0，令x＝1，得y＝2，m＝(1，2，0)，2x y 0同理，平面 AMN的一个法向量为 n＝(a，b，c)，a 2b 0DN (1,2,0),DM (0,2,1)，所以 ．2b c 0.. ...令b＝1，得a＝－2，c＝－2，n＝(－2，1，－2)．因为m·n＝0，所以m⊥n，所以平面PA1A⊥平面MND．测试十五 直线与平面的夹角、二面角Ⅰ 学习目标1．会利用定义求直线与平面的夹角，二面角．2．会利用平面的法向量求直线与平面的夹角，二面角．3．会根据所给的几何体，合理的建立空间直角坐标系解决相关角度问题．Ⅱ基础性训练一、选择题1．若直线l与平面成角为π，直线a在平面，且直线l与直线a异面，则直线l与直线a所成的角的取值围是3()(A)(0,π(B)[π2π(C)[ππ(D)π3],],](0,]333222．已知二面角－l－的大小为π，异面直线a，b分别垂直于平面，，则异面直线a，b所成角的大小为(3)πππ(D)2π(A)(B)(C)36323．正方体－1111中，1与平面11所成角的大小为()ABCDABCDBCBDDBπππ(D)π(A)(B)(C)26434．正方体ABCD－ABCD中，点E为BB中点，平面AEC与平面ABCD所成二面角的余弦值111111为( )2 3 6 3(A) (B) (C) (D)2 2 3 35．ABCD为正方形，E是AB中点，将△DAE和△CBE折起，使得 AE与BE重合，记A，B重合后的点为P，则二面角 D－PE－C的大小为( )π(B)πππ(A)(C)3(D)642二、填空题.. ...6．设n1，n2分别为一个二面角的两个半平面的法向量，若n1,n22π，则此二面角的3大小为______.7．棱长为 1的正方体 ABCD－A1B1C1D1，P是棱CC1上一点，CP＝m，且直线AP与平面BB1D1D22所成的角的正弦值为 3 ，则m＝______．8．正四棱锥的底面边长为 4，侧棱长为 3，则侧面与底面所成二面角的余弦值为 ______．9．在三棱锥 O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的余弦值是 ______．10．如图，已知正三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱长都相等， D是A1C1的中点，则直线 AD与平面B1DC所成角的正弦值为 ______．三、解答题11．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为AD，AB的中点，求BC1与平面A1EF所成角的大小．12．正方体 ABCD－A1B1C1D1中，点E为AB中点，求二面角 A1－EC－B的余弦值．.. ...13．正三棱柱 ABC－A1B1C1中，AB＝BB1，D是BC的中点，求直线BB1与平面AC1D所成的角余弦值；求二面角C－AC1－D的大小．14．三棱锥 S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝BC．求AC与平面SBC所成角的大小．求二面角A－SC－B的大小．测试十五 直线与平面的夹角、二面角1．C2．B3．A 建立空间直角坐标系，平面 BDD1B1的法向量为 AC．4．C5．C EP⊥PD，EP⊥PC，∠DPC是二面角 D－PE－C的平面角，且 PD＝PC＝CD，二面角的平面角的大小为 π．36．2π或π．3 37．m1．建立空间直角坐标系D－xyz，设P(0，1，m)，得AP＝(－1，1，m)，平面BB1D1D2的法向量为AC=(－1，1，0)，设AP与平面BB1D1D所成角为，则sin＝.. ...|cosAP,AC|222．m2238．2559． 3 以为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 设OA＝2，得OM36＝(1，1，0)，平面ABC的法向量为 m＝(1，1，1)，则|cos OM,m |310．

4511．解：如图，建立空间直角坐标系 D－xyz，AB＝2，则A1(2，0，2)，E(1，0，0)，F(2，1，0)，B(2，2，0)，C(0，2，2),BC1(2,0,2),EF(1,1,0),1A1E (1,0,2)．设平面A1EF的法向量为 m＝(x，y，z)，x y 0则 ．x 2z 0令z＝1，则x＝－2，y＝2，所以m＝(－2，2，1)．设BC1与平面A1EF所成角为，则sin|cosm,BC1|2，2π．BC1与平面A1EF所成角的大小为412．解：如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝2，则A1(2，0，2)，E(2，1，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)．因为DD1⊥平面EBC，所以平面EBC的法向量为DD1 (0,0,2)．.. ...设平面A1EC的法向量为 m＝(x，y，z)，2xy0EC(2,1,0),A1E(0,1,2)，则．y2z0令z＝1，则y＝2，x＝1，所以m＝(1，2，1)，cosm,DD1mDD16．|m||DD1|6因为二面角A－EC－B为钝角，所以二面角A－EC－B的余弦值为61113．解：取BC的中点D，如图，建立空间直角坐标系D－xyz，设AB＝BB1＝2，A( 3,0,0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，C1(0，－1，2)，设平面AC1D的法向量为m＝(x，y，z)，DA(3,0,0),DC(0,1,2)，x0．令z＝1，则y＝2，所以m＝(0，2，1)．则2zy0设直线BB1与平面AC1D所成的角为，BB1(0,0,2)，则sin|cosm,BB1mBB15，所以AC与平面SBC所成角的余弦值为|5|m||BB1|5.5设平面ACC1的法向量为n＝(x，y，z)AC(3,1,0),CC1(0,0,2)，则3xy0．z0令x＝1，则y3，所以n(1,3,0),cosmn15．m,n5|m||n|因为二面角C－AC1－D为锐角，所以二面角A－SC－B余弦值为15．5.. ...14．解：如图，建立空间直角坐标系 B－xyz，设AB＝1，则B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)，S(0，1，1)．设平面SBC的法向量为m＝(x，y，z)，SB (0,1,1),BC (1,0,0)则yz0．令＝1，则y＝－1，所以＝(0，－1，1)．x0zm设与平面所成角为，ACSBCAC(1,1,0),则sin|cosm,AC|mAC1|m||AC|．2AC与平面SBC所成角为 π．6设平面ASC的法向量为n＝(x，y，z)，xy0AS(0,0,1),AC(1,1,0)则0．zmn1令x＝1，则y＝1，所以m＝(1，1，0)，cosm,n．|m||n|2因为二面角A－SC－B为锐角，所以二面角A－SC－B为π．3测试十六距离(选学)Ⅰ 学习目标1．掌握点到直线距离，点到平面的距离的向量公式．2．会求两点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线到平面的距离．Ⅱ基础性训练一、选择题1．已知a，，点A到平面的距离为，点A到直线a的距离为，则()Amn(A)m≥n(B)m＞n(C)m≤n(D)m＜n2．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M是棱A1A的中点，O是BD1的中点，则MO的长为()(A)3(B)2(C)2(D)632P33．矩形中，＝3，＝4，⊥平面，＝1，则到矩形对角线的距离()ABCDABBCPAABCDPABD.. ...(A)13(B)17(C)129(D)112955254．已知直线a∥平面，且a与平面的距离为d，那么到直线a的距离与到平面的距离都等于d的点的集合是()(A)一条直线(B)三条平行直线(C)两条平行直线(D)两个平面5．如图，正方体－1111的棱长为1，O是底面1111的中心，则O到平面11ABCDABCDABCDABCD的距离为( )(A)1(B)2(C)2(D)32422二、填空题6．棱长为4的正方体一点P，它到共顶点的三个面的距离分别为1，1，3，则点P到正方体中心O的距离为______.7．线段在平面外，，B两点到平面的距离分别为1和3，则线段的中点CABAAB到平面的距离为______．8．二面角－l－为60°，点A∈，且点A到平面的距离为3，则点A到棱的距离为9．正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则直线BC到平面AB1C1的距离为______．10．如图，正方体的棱长为 1，C，D分别是两条棱的中点， A，B，M是顶点，那么点 M到截面ABCD的距离是______．三、解答题11．正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝4，点E，F分别是CC1，A1D1的中点．求EF的长；求点A到直线EF的距离．.. ...12．正四棱锥 S－ABCD的所有棱长均为 2，E，F，G分别为棱 AB，AD，SB的中点．求证：BD∥平面EFG，并求出直线BD到平面EFG的距离；求点C到平面EFG的距离．13．长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，BB1＝3．求两个平行平面 AB1D1与平面BDC1之间的距离．14．如图所示的多面体是由底面为 ABCD的长方体被截面 AEC1F所截面而得到的，其中 AEC1F为平行四边形且 AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1．求BF的长；求点C到平面AEC1F的距离．.. ...测试十六 距离(选学)1．C2．B3．A4．C5．B6． 3 以共顶点的三条棱为坐标轴建立空间直角坐标系，可得点 P的坐标为(1，1，3)，中心O的坐标为(2，2，2)，所以PO(1,1,1),|PO|3．7．1或2分A，B两点在平面同侧和异侧两种情况讨论．8．232a9．10．2如图，建立空间直角坐标系，可得AM=(0，1，0)，平面ABCD的法向量为m＝(－32，2，－1)，|AMm|2d．|m|311．解：如图，建立空间直角坐标系 D－xyz，则A(2，0，0)，E(0，2，2)，F(1，0，4)．EF=(0，－2，2)，所以|EF|1222(2)23．AF(1,0,4),|cosAF,EF|7．173所以sin226AFEF，317.. ...d|AF|sinAF,EF|226317

，即点A到直线EF的距离为2 26．312．解：(1)因为E，F分别为棱AB，AD的中点，所以 EF∥BD．又EF 平面EFG，BD 平面EFG，所以BD∥平面EFG．如图建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，D(0，－2，0)，S(0，0，2)，E(2，2，0)，F(2，－2，0)，2222G(0，2，2)．22设平面的法向量为＝(x，，)，22EFGmyzEF(0,2,0),EC(2,0,2),可得m＝(1，0，1)，EB(22|EBm|1，所以点B到平面EFG的距离为．即直线到平面的距离1．BDEFG2(2)EC322,0),d|ECm|3(2,2|m|2．13．如图，建立空间直角坐标系－xyz，则(1，0，0)，(1，2，0)，1(1，2，3)，1(0，DABBD0，3)，C(0，2，3)，设平面ABD与平面BDC的一个法向量为m＝(x，y，z)，AD(－111111，0，3)，DB1＝(1，2，0)．x 3z 0，设x＝6，则y＝－3，z＝2，x 2y 0所以m＝(6，－3，2)．平面AB1D1与平面BDC1之间的距离等于点到 B平面AB1D1的距离，AB＝(0，2，0)，所.. ...以|ABm|61116．7|m|714．解：(1)如图，建立空间直角坐标系 D－xyz，则D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)．设，F(0，0，z)．∵AEC1F为平行四边形，∴AF EC1，(－2，0，z)＝(－2，0，2)∴z＝2．∴F(0，0，2)．∴BF＝(－2，4，2)，|BF| 2 6．设n1为平面AEC1F的法向量，显然n1不垂直于平面ADF，所以设n1＝(x，y，z)．由n1AE04yz0,，得,设y＝1，则x＝－4，z＝－4，n1AF02x2x0∴n＝(－4，1，－4)．1又CC1(0,0,3),d|CC1n1|4331433.|n1|11∴C到平面AECF的距离为11.. ...测试十七 角和距离的综合运算(选学)Ⅰ 学习目标会建立适当的坐标系处理角度和距离的综合问题．Ⅱ 基础性训练解答题1．如图，长方体 ABCD－A1B1C1D1中,AB＝BC＝1，BB1＝2，连接B1C，过B作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F,求证：A1C⊥平面EBD；求点A到平面A1B1C的距离：求直线DE与平面A1B1C所成角的正弦值．2．已知四棱锥 P－ABCD的底面为直角梯形， AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝1AB 1，M是PB的中点。2证明：平面PAD⊥平面PCD；求AC与PB所成的角的余弦值；求平面AMC与平面PMC所成二面角的余弦值．3．如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，点D是A1C的中点．求A1B1与AC所成的角的大小；求证：BD⊥平面AB1C；.. ...求二面角C－AB1－B的余弦值．4．如图，正三棱柱 ABC－A1B1C1的所有棱长都为 2，D为CC1中点．求证：AB1⊥平面A1BD；求二面角A－A1D－B的余弦值；求点C到平面A1BD的距离．5．在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝22，M，N分别为AB，SB的中点．证明：AC⊥SB；求二面角N－CM－B的余弦值；求点B到平面CMN的距离．6．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA＝2，E为PD中点．求证：PA⊥平面ABCD；求二面角E－AC－D的余弦值；(3)在线段上是否存在点，使得点E到平面的距离为25？若存在，确定点FBCFPAF5的位置；若不存在，请说明理由．.. ...测试十七 角和距离的综合运算(选学)1．解：如图建立空间直角坐标系 A－xyz．(1)A(0，0，0，)，A1(0，0，2)，E(1，1，1)B(1，0，0)，D(0，1，0)，C(1，1，0)，2A1C(1,1,2),BE(0,1,2),DE(1,0,1).2A1CBE0,A1CDE0，A1CBE,A1CDE,即AC⊥BE，AC⊥DE．11∵BE∩DE＝E所以A1C⊥平面EBD．设平面A1B1C的一个法向量为m＝(x，y，z)，A1B1m0x0则，，令z＝1，得m＝(0，2，1)．B1Cm0y2zAA1=(0，0，2)，所以，所求的距离为d|AA1m|225．|m|55(3)由(2)知，m＝(0，2，1)．ED(1,0,1)，2设ED与m所成角为，则sin|cos|mED|1m,ED||ED|．|m|511152．解一：(1)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．AB⊥AD，∴AB⊥底面PAD．AB∥DC，∴DC⊥底面PAD．DC平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．解二：(1)如图，建立空间直角坐标系 A－xyz，.. ...P(0，0，1)，D(1，0，0)，B(0，2，0)，C(1，1，0)，M(0，1，1)2可求出平面 PAD法向量为 AD＝(0，2，0)，平面PDC法向量为a＝(1，0，1)，AD·m＝0，所以平面 PAD⊥平面PCD．10(2) AC＝(1，1，0)，PB＝(0，2，－1)，|cos AC,PB |5的余弦值为 10．

AC与PB所成的角5(3)设平面AMC的一个法向量为 m＝(x，y，z)，1y10zAM(0,1,),AC(1,1,0),22xy0

，令z＝2，则y＝－1，x＝1，所以m＝(1，－1，2)．同理可求平面PMC的法向量为n＝(1，1，2)，cosm,n426．63平面AMC与平面PMC所成二面角的余弦值2．3．解：建立空间直角坐标系－xyz3，如图，B则B(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，B1(0，0，1)，A1(1，0，1)，D(1，1，1)．2 2 2A1B1＝(－1，0，0)，AC＝(－1，1，0)，所以|cos|A1B1AC|2，A1B1,ACAC|2|A1B1所以A1B1与AC所成的角为45°．(2)则BD=(1，1，1)，A