立体几何题型解题技巧适合总结提高用

第六讲立体几何新题型的解题技巧考点1 点到平面的距离例1（2007年福建卷理）如图，正三棱柱 ABC A1B1C1的所有棱长都为 2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；A（Ⅱ）求二面角AA1DB的大小；（Ⅲ）求点C到平面ABD的距离．C1DBP例2.(2006 年湖南卷)如图,已知两个正四棱锥

D CM O BAP-ABCD与Q-ABCD的高分别为 1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ⊥平面ABCD；

Q(Ⅱ)求异面直线AQ与PB所成的角；(Ⅲ)求点P到平面QAD的距离.考点2 异面直线的距离例3已知三棱锥SABC，底面是边长为42的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面.E、D分别为BC、AB的中点，求 CD与SE间的距离.考点3 直线到平面的距离例4．如图，在棱长为2的正方体AC1中，G是AA1的中点，求BD到平面GB1D1的距离.H考点4 异面直线所成的角例5（2007年北京卷文）如图，在 Rt△AOB中， OAB π，斜边AB4．Rt△AOC可以通过6Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角 B AO C的直二面角．D是AB的中点．I）求证：平面COD平面AOB；II）求异面直线AO与CD所成角的大小．例6．（2006年广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE//AD.(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.考点5 直线和平面所成的角例7.（2007年全国卷Ⅰ理）四棱锥S ABCD中，底面 为平行四边形，侧面 底面 ．已知∠ S o，ABCD SBC ABCD ABC 45AB 2，BC 22，SA SB 3．（Ⅰ）证明 SA BC；

CBDA（Ⅱ）求直线 SD与平面SAB所成角的大小．考点6 二面角例8．（2007年湖南卷文）如图，已知直二面角 PQ ，A PQ，B ，C ，CA CB， BAP 45o，直线CA和平面所成的角为30o．CPAQBI）证明BC⊥PQ；II）求二面角BACP的大小．例9．(2006年重庆卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD,DAB为直角，AB‖CD，AD=CD=2AB,E、F分别为PC、CD的中点.（Ⅰ）试证：CD平面BEF；（Ⅱ）设PA＝k·AB,且二面角E-BD-C的平面角大于30,求k的取值范围.考点7 利用空间向量求空间距离和角例10．（2007年江苏卷）如图，已知 ABCD A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AEFC11．（1）求证：E，B，F，D1四点共面；（2）若点G在BC上，BG2，点M在BB1上，3GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1；（3）用表示截面EBFD1和侧面BCC1B1所成的锐二面角的大小，求tan．例11．（2006年全国Ⅰ卷）C如图,l1、l2是互相垂直的两条异面直线，MN是它们的公垂线AN段，点A、B在l1上，C在l2上，AM=MB=MNMB（I）证明ACNB；（II）若ACB60，求与平面所成角的余弦值.NBABC考点8简单多面体的有关概念及应用，主要考查多面体的概念、性质，主要以填空、选择题为主，通常结合多面体的定义、性质进行判断 .例12. 如图（1），将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为时容积最大.例13.如图左，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将△ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，GH与IJ所AGF(A、B、C)C成角的度数为（）HHA、90°B、60°JC、45°DE例14.长方体－1111中，DABCDABCDIJ①设对角线D1B与自D1出发的三条棱分别成α、β、BEA1求证：cos2α＋cos2β＋cos2＝1②设D1B与自D1出发的三个面成α、β、角，求证：cos2α＋cos2β＋cos2＝2A

GD、0°FD1角 C1B1DCB考点9.简单多面体的侧面积及体积和球的计算例15.如图，在三棱柱ABC－ABC中，AB＝2a，BC＝CA＝AA＝a，1111A1在底面△ABC上的射影O在AC上A11C①求AB与侧面AC1所成角；B②若O恰好是AC的中点，求此三棱柱的侧面积.1AAOC例16.等边三角形ABC的边长为4，M、N分DKNM别为AB、AC的中点，沿MN将△AMN折起，使得BBLC面AMN与面MNCB所成的二面角为30°，则四棱锥AA—MNCB的体积为 （ ）NCM KLBA、

3

B、

3

C、

3

D、32

2例17.如图，四棱锥

P—ABCD中，底面是一个矩形，

AB＝3，AD＝1，又

PA⊥AB，PA＝4，∠PAD＝60°①求四棱锥的体积；P②求二面角P－BC－D的大小.例18.（2006年全国卷Ⅱ）已知圆O1HCE是半径为DR的球O的一个小圆，且圆O1的面积与球O的AB表面积的比值为2，则线段1R的比值O9OO与RO1为.rA【专题训练与高考预测】一、选择题1．如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在BB1上，且BD=1，若AD与侧面AA1CC1所成的角为，则的值为（）A.3B.4C.arctan10D.arcsin6D442．直线a与平面成角，a是平面的斜线，b是平面BC内与a异面的任意直线，则a与b所成的角（）AA.最小值，最大值B.最小值，最大值2C.最小值，无最大值D.无最小值，最大值43．在一个45的二面角的一平面内有一条直线与二面角的棱成45角，则此直线与二面角的另一平面所成的角为（）A.30B.45C.60D.904．如图，直平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，1C1DBAD601与侧面11所成1B1A的角的正弦值为（）DCA.1B.322

A BC.2D.3245．已知在ABC中=9，=15，BAC120，它所在平面外一点P到ABC三，ABAC顶点的距离都是14，那么点P到平面ABC的距离为（）A.13B.11C.9D.76．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、DN1C1N分别是棱A1B1、A1D1的中点，则点B到平面AMN的A1MB1距离是（）DAA.9B.3AB2C.65D.257．将QMN60，边长=的菱形沿对角线折成60的二面角，则MPMNaMNPQNQ与NQ间的距离等于( )A.3aB.2

3aC.6aD.3a4448．二面角 l 的平面角为120，在 内，AB l于B，AB=2,在 内，CD l于D，CD=3,BD=1,M是棱l上的一个动点，则 AM+CM的最小值为()A. 2 5 B. 22 C. 26 D. 269．空间四点A、B、C、D中,每两点所连线段的长都等于 a, 动点P在线段AB上, 动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为()A.1aB.2aC.3aD.a22210．在一个正四棱锥，它的底面边长与侧棱长均为a，现有一张正方形包装纸将其完全包住（不能裁剪纸，但可以折叠） ，那么包装纸的最小边长应为（ ）A.(26)aB.26aC.(13)aD.13a2211．已知长方体ABCD-ABCD中，AA=AB=2，若棱AB上存在点P，使D1PPC，11111则棱AD的长的取值范围是()A.0,1B.0,2C.0,2D.1,212．将正方形ABCD沿对角线AC折起，使点D在平面ABC外，则DB与平面ABC所成的角一定不等于（ ）A. 30 B. 45C.60D.D1C190BA1E1二、填空题1．如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1，EDC1111是A1B1的中点，则下列四个命题：AB①E到平面ABC1D1的距离是1；2②直线BC与平面ABC1D1所成角等于45；③空间四边形ABCD1在正方体六个面内的射影围成1面积最小值为 ；④BE与CD1所成的角为arcsin 10102．如图，在四棱柱ABCD---A1B1C1D1中，P是A1C1D1CP1A上的动点，E为CD上的动点，四边形ABCD满1B1足___________时，体积VPAEB恒为定值（写上DC你认为正确的一个答案即可）EAB3．边长为1的等边三角形ABC中,沿BC边高线AD折起,使得折后二面角B-AD-C为60°,则点A到BC的距离为_________,点D到平面ABC的距离为__________.4．在水平横梁上 A、B两点处各挂长为 50cm的细绳，AM、BN、AB的长度为60cm，在MN处挂长为60cm的木条，MN平行于横梁，木条的中点为 O，若木条绕过O的铅垂线旋转 60°，则木条比原来升高了_________.5．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的

.

如图正方体的一个顶点

A在平面内

.其余顶点在

的同侧，正方体上与顶点

A相邻的三个顶点到

的距离分别是

1、2

和

4.P

是正方体其余四个顶点中的一个，则

P到平面

的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7.以上结论正确的为

.（写出所有正确结论的编号 ）．．?O16. 如图，棱长为1m的正方体密封容器的三个面上有三个?O2?O3锈蚀的小孔（不计小孔直径） O1、O2、O3它们分别是所在面3的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是 _______m.三、解答题11．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，底面边长为a,D为BC为中点，M在BB1上，且BM=B1M，3又CM⊥AC1;1）求证：CM⊥C1D;2）求AA1的长.2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是矩形且AD=2，AB=PA=2，PA⊥底面ABCD，E是AD的中点，F在PC上.求F在何处时，EF⊥平面PBC；在(1)的条件下，EF是不是PC与AD的公垂线段.若是，求出公垂线段的长度；若不是，说明理由；在(1)的条件下，求直线BD与平面BEF所成的角.3．如图，四棱锥S—ABCD的底面是边长为 1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3．（1）求证BC SC；（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小；（3）设棱SA的中点为M，求异面直线 DM与SB所成角的大小．4．在直角梯形 ABCD中， D=BAD=90,AD=DC=1AB=a,(如图