赵树嫄微积分第四版第三章-导数与微分

第三章导数与微分1第一节导数引例取极限得瞬时速度(一)

物体作变速直线运动的瞬时速度问题2解所以例13(二)切线问题切线—割线的极限位置4(二)切线问题切线—割线的极限位置5(二)切线问题切线—割线的极限位置6(二)切线问题切线—割线的极限位置7(二)切线问题切线—割线的极限位置8(二)切线问题切线—割线的极限位置9(二)切线问题切线—割线的极限位置10(二)切线问题切线—割线的极限位置11(二)切线问题切线—割线的极限位置12(二)切线问题切线—割线的极限位置13割线MN的斜率为切线MT的斜率为14解例21xy因此切线方程为切线斜率为15其次节导数概念(一)

导数的定义定义比值并16形式1形式2也可记为17这样，曲线的切线的斜率可以说成是曲线上点的纵坐标对该点的横坐标的变更率，变更的快慢。它表示函数值的变更相对于自变量的变更率有广泛的实际意义，例如，加速度就是速度对于时间的变更率，角速度就是旋转的角度对于时间的变更率，线密度就是物质线段的质量对线段长度的变更率，功率就是所作的功对于时间的变更率，等等.速度可以说成是行走的路程对于时间的变更率。18导函数19用定义求导数的基本步骤：20例3解21例4解22例5解23例6解以后证明，(α为随意非零实数)。24011/π－1/π极限不存在,但例7用定义探讨函数解25(二)导数的几何意义切线方程为法线方程为26例8解所以切线方程为27练习：解所求切线方程为或或L的斜率28(三)左、右导数2、右导数：1、左导数：★29例9解30例10解31(四)可导与连续的关系定理函数在可导点处必连续.证32例如,留意：该定理的逆定理不成立：连续未必可导。33(或称导数无穷大)留意：此时存在铅直切线。34例如,011/π－1/π极限不存在,但35例11解第三节导数的基本公式与运算法则(一)常数的导数即则37(二)幂函数的导数以后证明：特殊，则(三)代数和的导数证注：公式可推广到有限多个函数的代数和。

例1求下列函数的导数：

40(四)乘积的导数证推论证2、可推广到有限多个函数的乘积，如

一般地，有42例2求下列函数的导数：

或用定义：43(五)商的导数证所以4546例3求下列函数的导数：

或解47(六)对数函数的导数即Naturallogisnatural.由对数换底公式(七)指数函数的导数即特殊地,(八)三角函数的导数即类似有例4解类似可得即51例5解类似可得即52三角函数的导数公式53例6求下列函数的导数：

54例7解例8解55训练：求导数或解：56(九)复合函数的导数推广证略例9解例10解例11解58例12解例13解59例14解60例15解61训练：求导数62(十)反函数的导数定理即反函数的导数等于干脆函数导数的倒数。证略63(十一)反三角函数的导数例16解类似有例17解类似有xy65反三角函数的导数公式66例18求下列函数的导数：

67(十二)隐函数的导数问题：隐函数能否不经显化而干脆求导?例19解比较：69解例20解得方程两边关于x求导,得

解例21解得方程两边关于x求导,得

70例22解注：先代入数值，再解方程，较简便。方程两边关于x求导,得

71解例23所求切线方程为方程两边关于x求导,得

72解先变形为再两边关于x求导，例2473(十三)取对数求导法视察函数方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导方法求出导数。适用范围：例25解等式两边取对数得留意：需把y换回成原来表达式。上式两边关于x求导,得75说明：所以故省略确定值。76练习：解等式两边取对数得上式两边关于x求导,得77例26解等式两边取对数得或解对数恒等式上式两边关于x求导,得78例27解等式两边取对数得方程两边关于x求导,得79思索：解用对数求导法得--局部对数求导法80例28解81(十四)由参数方程所确定的函数的导数由复合函数及反函数的求导法则得即例29解83例30解

所求切线方程为84(十五)导数公式86第四节高阶导数问题：变速直线运动的加速度。87解例1求下列函数的二阶导数：(1)(2)(3)(4)88例2解89例3解90例4求

n阶导数：解91例5解92例6解93例7解类似可得归纳可证94例8解或解常用

n阶导数公式：(α不为正整数)96第五节函数的微分实例：正方形金属薄片受热后面积的变更量.(一)微分的定义问题：则函数的变更量为定义differential99定理证(1)

必要性100定理证(2)充分性101所以导数也称为“微商”.102(二)微分的几何意义MNT）几何意义：(如图)

P以直代曲

103例1解所以例2解104(三)基本微分公式105106微分法则：107(四)微分形式的不变性结论：此性质称为一阶微分的形式不变性。108例3解法1解法2分析微分的计算：计算函数的导数,乘以自变量的微分.也可利用微分的形式不变性计算。109例4