赵树嫄微积分第四版第四章-中值定理与导数的应用

微分中值定理与导数的应用第四章1第一节微分中值定理微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。2(0)预备定理——费马(Fermat)定理几何说明：曲线在最高点或最低点假如有切线，则切线必定是水平的。3证明:由极限的保号性，45(一)罗尔(Rolle)定理xO

yCxby=f

(x)AB几何说明：假如连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(x,f(x))，曲线在C点的切线是水平的。a6证由费马引理,所以最大值和最小值不行能同时在端点取得。7留意：f(x)不满足条件(1)f(x)不满足条件(3)f(x)不满足条件(2)BxO

yAabxO

yABabcxO

yABab假如定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。8例1验证9例2解10例3解11例4证结论得证.

12证例5由罗尔定理，13证例61415假如函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点x(a,b)内，使得几何意义：

(二)拉格朗日(Lagrange)中值定理C2hxO

yABaby=f(x)C1x证明作协助函数F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，由罗尔定理，17例718解练习下列函数在给定区间上是否满足拉格朗日中值定理定理的条件？假如满足，求出定理中的ξ。满足拉格朗日中值定理的条件；19拉格朗日中值公式又称有限增量公式.或特殊地,或拉格朗日中值公式另外的表达方式：20推论1证明21推论2证明即得结论。22例8证由推论1知,23利用拉格朗日定理证明不等式例9证24练习证由上式得25例10证类似可证：

推论26(三)柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点x(a,b)内，使得2、假如取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：27xO

yAB

f(b)

f(a)g(a)g(b)C1g(x)C2g(h)柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为直线AB的斜率为曲线在点C1和C2的斜率为28证明易知F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点x(a,b)，使作协助函数29例11证验证了柯西中值定理的正确性.

30例12证31例12证32练习：证右端改为令33令代入上式得34其次节洛必达法则在函数商的极限中，假如分子分母同是无穷小或同是无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.

及35定理(洛必达法则)

(证略)

型未定式一、注：36例1例2例3比较:因式分解，37例4注1：洛必达法则可多次运用.不是未定式！注2：不是未定式，不能运用洛必达法则！38训练：“过犹不及”！39例5比较:40例6比较：等价无穷小替换41例742例8刚好分别非零因子43练习求下列极限：解或解等价无穷小替换44定理(洛必达法则)

(证略)

型未定式二、注：45例9例1046例11或解：刚好分别非零因子47留意：2.洛必达法则可多次运用，但每次运用前需验证条件；只能说此时运用洛必达法则失败,需另想它法。3.运用洛必达法则时，要敏捷结合其它方法，如等价无穷小替换、凑重要极限、恒等变形、换元等.48例12解洛必达法则失效。训练：不能运用洛必达法则。解极限不存在？？49三、其它类型的未定式解法：转化为或型不定式。50例13步骤：51解例1452例15步骤:53步骤:54例16解或解利用对数恒等式55例17或解(凑重要极限法)：

解56例18解所以57分析这是数列极限,不能干脆运用洛必达法则,要先化为函数极限.例1958解例1959解例19凑重要极限60练习：解等价无穷小替换

61解练习：62解练习：63第三节函数的增减性视察与思索：函数单调增加函数单调削减

函数的单调性与导数的符号有什么关系？64第三节函数的增减性函数单调增加时导数大于零；视察结果：函数单调增加函数单调削减函数单调削减时导数小于零。65定理66证67例1解例2解留意定义域！68例3解69也可用列表的方式，例3解70例4解71导数等于零的点和不行导点，可能是单调区间的分界点。留意：区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,称驻点方法：用驻点及不行导点来划分函数的定义域，然后逐段推断导数的符号，从而确定函数的增减。72例5证可利用函数的单调性证明不等式73证综上所述，例574练习证则75第四节函数的极值76定义函数的极大值与微小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.77说明：1、极值不确定存在；2、极值必在定义区间的内部取到；3、极值是局部性的概念,极大值不确定比微小值大。x

yO无极值.78定理1(极值的必要条件)由费马引理可知，所以对可导函数来讲,极值点必为驻点。

但反之不然，驻点不确定是极值点.x

yO79此外,不行导点也可能是极值点,x

yO但函数的不行导点也不确定是极值点，x

yO80这就是说,极值点要么是驻点,要么是不行导点,两者必居其一.我们把驻点和不行导点统称为极值可疑点.下面给出两个充分条件,用来判别这些极值可疑点是否为极值点.

81定理2(极值的第一充分条件)一阶导数变号法82定理3(极值的其次充分判别法)称为“二阶导数非零法”(1)记忆：几何直观；

说明：(2)此法只适用于驻点，不能用于推断不行导点；83x

yOx

yO84例1解留意定义域！导数左负右正，85例2解x

yO213186例3解法一列表探讨极大值微小值87例3解法二88例4解列表探讨：极大值微小值89例5解削减削减增加间断微小值e无90练习解91(1)确定函数的定义域；

(4)用极值的第一或其次充分条件判定.留意其次充分条件只能判定驻点的情形.求极值的步骤：(3)求定义域内部的极值嫌疑点(即驻点或一阶导数不存在的点)；

92第五节最大值与最小值，

极值的应用问题极值是局部性的，而最值是全局性的。93具体求法：94例6解计算比较得：95在很多实际问题中，往往用到求函数最值的下述方法：96例7将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容积最大？最大值为多少？

设小正方形的边长为x，则方盒的容积为

解axa-2x

97求导得例7将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容积最大？最大值为多少？

设小正方形的边长为x，则方盒的容积为

解98导数左正右负，求导得例7将边长为a的正方形铁皮，四角各截去相同的小正方形，折成一个无盖方盒，问如何截，使方盒的容积最大？最大值为多少？

则方盒的容积为

解设小正方形的边长为x，99例8要做一个容积为V的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？hr设底半径为r,高为h，总的表面积为解即表面积最小.

即高与底面直径相等。即为最小值点。是微小值点，100例9某厂生产某种商品,其年销售量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件商品的库存费为0.05元.假如年销售率是匀整的(即商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使准备费和库存费之和最小？解设分x批生产,则生产准备费和库存费之和为得唯一驻点

(x

为1000000的正因子)101例10解利用最值证明不等式102例11解分析数列是离散函数,不能求导,应把n改为x,转化为连续函数,再求导.

利用对数求导法,得

导数左正右负，103第六节曲线的凹向与拐点问题：如何探讨曲线的弯曲方向?104视察与思索：函数曲线除了有上升和下降外，还有什么特点？105定义1假如在某区间内，曲线弧位于其上随意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是上凹的；假如在某区间内，曲线弧位于其上随意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是下凹的。曲线凹向的定义上凹下凹106曲线凹向的定义上凹下凹107视察与思索：曲线的凹向与函数的导数的单调性有什么关系？拐点上凹下凹当曲线是上凹的时，

f

(x)单调增加。当曲线是下凹的时，f(x)单调削减。曲线凹向的判定曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。108定理（证略）109拐点的求法：1、找出二阶导数为零的点或不行导点；2、若它两侧的二阶导数值异号，则为拐点；留意：拐点要写出纵坐标。若同号则不是拐点。110例1解x

yO111留意：二阶导数的零点不确定是拐点！112例2解上凹下凹上凹拐点拐点113例3解x

yO114例4解所以曲线无拐点。115不存在拐点例5解非拐点116第七节函数图形的作法（一）曲线的渐近线1、水平渐近线例如有两条水平渐近线：xy(平行于x轴的渐近线)117水平渐近线：水平渐近线：118例如有两条铅垂渐近线：2、铅垂渐近线(垂直于x轴的渐近线)1193、斜渐近线斜渐近线求法：120例1解121122练习解123(二)函数的作图第一步其次步第三步第四步第五步探讨渐近线方程；探讨一些特殊点(与坐标轴的交点等)。124例2解列表不存在拐点微小值点间断点125

C(-1,-2)，E(2,1)，D(1,6)，作出函数的图形.xO

yF(3,-2/9).B(-2,-3)，D水平渐近线ABCDEF不存在拐点微小值点间断点描点:A(-3,-26/9)，y=-2竖直渐近线x=0126解极大值拐点渐近线：例3127极大值拐点128例4解偶函数,图形关于y轴对称.129拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点：拐点130131定义域：(-,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+)xy间断极大值-４微小值0解渐近线：00例5竖直渐近线斜渐近线132xO

y-11-1函数图形：B(0,0)，A(-2,-4)，描点：(-,-2)-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,+)xy间断极大值-４极小值0y

00y

渐近线：133第八节导数在经济分析中的应用(一)几个经济学中常用的函数

1、成本函数

平均成本函数

2、需求函数

averagecostAC1343、收益函数

平均收益函数

4、利润函数总利润函数revenue135(二)边际函数marginalMCMR136例1例2解说明：生产某产品x单位的总成本为

则生产1000单位时的边际成本为

说明：137(三)函数的弹性边际函数反映的是函数的变更率，而函数的弹性则反映的是