统计学第五章参数估计与假设检验

统计学第五章参数估计与假设检验第一页，共四十八页，2022年，8月28日推断统计：利用样本统计量对总体某些性质或数量特征进行推断。随机原则总体样本总体参数统计量推断估计参数估计检验假设检验抽样分布第二页，共四十八页，2022年，8月28日抽样分布简单随机抽样和简单随机样本的性质无限总体有限总体不放回放回样本样本放回不放回样本样本独立性和同一性同一性当n/N≤5%时，有限总体不放回抽样等同于放回抽样无限总体第三页，共四十八页，2022年，8月28日统计量与抽样分布统计量：即样本指标。样本均值样本成数样本方差如：第四页，共四十八页，2022年，8月28日抽样分布：某一统计量所有可能的样本的取值形成的分布。性质数字特征0≤P（Xi）1∑P（Xi）=1均值E（X）方差E[x-E(x)]2第五页，共四十八页，2022年，8月28日样本均值的抽样分布（简称均值的分布）抽样总体样本均值X,(N)均值μ=∑Xi/Nx,(n)样本均值是样本的函数，故样本均值是一个统计量，统计量是一个随机变量，它的概率分布称为样本均值的抽样分布。第六页，共四十八页，2022年，8月28日无限总体均值：方差：有限总体放回抽样？样本均值的数字特征第七页，共四十八页，2022年，8月28日有限总体不放回抽样均值：方差：校正系数第八页，共四十八页，2022年，8月28日从正态总体中抽样得到的均值的分布也服从正态分布。从非正态总体中抽样得到的均值的分布呢？中心极限定理：无论总体为何种分布，只要样本n足够大（n≥30），均值标准化为（z）变量，必定服从标准正态分布，均值则服从正态分布，即：第九页，共四十八页，2022年，8月28日结论：1、无论是放回或不放回抽样，样本均值的数学期望总是等于总体的均值；3、扩大样本容量，样本均值的标准差减小；2、样本均值的标准差即抽样误差，总是按一定比例小于总体标准差，而且不放回抽样的抽样误差比放回抽样误差小；4、当总体为非正态分布时，样本均值的抽样分布随着样本容量的扩大而趋近于正态分布。第十页，共四十八页，2022年，8月28日例：某类产品的抗拉强度服从正态分布，平均值为99.8公斤/平方厘米，标准差为5.48公斤/平方厘米，从这个总体中抽出一个容量为12的样本，问这一样本的平均值介于98.8公斤/平方厘米和100.9公斤/平方厘米之间的概率？解：将X变换为Z变量，即标准化第十一页，共四十八页，2022年，8月28日于是乎第十二页，共四十八页，2022年，8月28日样本成数（即比例）的抽样分布（简称成数的分布）抽样总体样本成数X,(N)成数P=Ni/Nx,(n)所有可能的样本的成数（）所形成的分布，称为样本成数的抽样分布。第十三页，共四十八页，2022年，8月28日样本成数分布的数字特征无限总体均值：方差：有限总体放回抽样？第十四页，共四十八页，2022年，8月28日有限总体不放回抽样均值：方差：第十五页，共四十八页，2022年，8月28日例：已知办公室人员所填写的表格中5%有笔误，检查一个由475份表格组成的简单随机样本，问有笔误的表格的成数在0.03和0.075之间的概率？解：近似认为服从正态分布，均值=0.05，方差=0.0001。于是乎：第十六页，共四十八页，2022年，8月28日第十七页，共四十八页，2022年，8月28日一个样本方差的抽样分布抽样总体样本从一个正态总体中抽样所得到的样本方差的分布n,S2则当则第十八页，共四十八页，2022年，8月28日参数估计点估计以样本指标直接估计总体参数。评价准则：无偏性估计量的数学期望等于总体参数，即该估计量称为无偏估计。第十九页，共四十八页，2022年，8月28日有效性

当为的无偏估计时，方差越小，无偏估计越有效。一致性

对于无限总体，如果对任意，则称是的一致估计。第二十页，共四十八页，2022年，8月28日充分性一个统计量如能完全地包含未知参数信息，即为充分统计量，用该统计量估计时，称为充分估计量。第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日定义区间估计设θ是总体的未知参数，是两个统计量，对于给定的α（0<α

<1），如果满足，则称是θ的置信度为1-α的置信区间。第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日步骤：构造一个合适的函数U，该函数与未知参数θ有关，与其他未知参数无关，且U分布已知；对给定的α，求一个λ1，一个λ2，使解不等式第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日评价准则：随机区间置信度精确度随机区间包含（即可靠程度）越大越好。的概率的平均长度（误差范围）越小越好第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日待估计参数θ已知条件置信区间总体均值μ正态总体，方差已知

正态总体，方差未知

非正态总体，n≥30

有限总体，n≥30（不放回抽样）

总体均值的置信区间第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日待估计参数θ已知条件置信区间总体成数p无限总体，np和nq都大于5

有限总体，np和nq都大于5总体成数的置信区间第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日待估计参数θ已知条件置信区间总体方差正态总体

总体方差的置信区间第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日样本容量的确定估计总体均值μ时假定服从正态分布。无限总体有限总体不放回第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日估计总体成数p时假定服从正态分布。无限总体有限总体不放回第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日例1：一家塑料公司想估计其产品的平均抗拉强度，要求以95%的置信度使估计值在真值附近1公斤/平方厘米的范围内，问应抽多少样本？经验表明方差估计值可取12.25。例2：一家市场调查公司想估计某地区有彩色电视的家庭所占的比重，估计误差不超过0.05，置信度取95%，问应抽取多大容量的样本？公司调查人员认为实际的比例不能大于20%。第三十页，共四十八页，2022年，8月28日练习：1、某车间生产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径可以认为服从正态分布，其方差为0.05，从某天的产品里随机抽取6个，量得直径如下：14.7，15.21，14.9，14.91，15.32，15.32，试求μ的置信区间。（α=0.05）2、某进出口公司需要出口一批小型电机，其中有一个技术指标为电机工作时定子线圈的最高温度，为此该进出口公司进行了一次调查，已知该定子线圈最高温度的总体标准差为8，随机抽出49台电机进行实测，得到该厂电机工作时定子线圈最高温度的样本均值为110，要求计算给定置信度99%的该厂电机工作时定子线圈最高温度的总体均值的置信区间。第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日3、某公司为了分析新产品的电视广告效果，随机访问了100名用户，了解到其中有36人是通过电视广告了解该产品的，要求以95%的置信水平估计通过电视广告了解该产品的用户占全部用户的比重。4、用克矽平治疗矽肺病患者，得治疗前后血红蛋白的差值为2.7，-1.2，-1，0，0.7，2，3.7，-0.6，0.8，-0.3，已知差值服从正态分布N(µ,σ2)，求σ2的区间估计（α=0.05）第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日假设检验的基本原理基本思想小概率原理：如果对总体的某种假设是真实的，那么不利于或不能支持这一假设的事件A（小概率事件）在一次试验中几乎不可能发生的；要是在一次试验中A竟然发生了，就有理由怀疑该假设的真实性，拒绝这一假设。第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日总体（某种假设）抽样样本（观察结果）检验（接受）（拒绝）小概率事件未发生小概率事件发生第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日假设的形式：

H0——原假设，H1——备择假设

双尾检验：H0：μ=μ0

，H1：μ≠μ0单尾检验：H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0H0：μ≤μ0

，H1：μ＞μ0假设检验就是根据样本观察结果对原假设（H0）进行检验，接受H0，就否定H1；拒绝H0，就接受H1。第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日检验规则确定检验规则检验过程是比较样本观察结果与总体假设的差异。差异显著，超过了临界点，拒绝H0；反之，差异不显著，接受H0差异临界点拒绝H0接受H0cc判断

怎样确定c?第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日两类错误接受或拒绝H0，都可能犯错误I类错误——弃真错误，发生的概率为α

II类错误——取伪错误，发生的概率为β检验决策H0为真 H0非真 拒绝H0

犯I类错误（α）正确 接受H0正确犯II类错误（β）第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日步骤：建立原假设和备择假设；选择一个合适的检验统计量；给定显著性水平，当原假设为真时求出临界值；由样本观测值计算出检验统计量的数值，判断。第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日几种常见的假设检验总体均值的检验正态总体——方差已知构造统计量（1）H0：μ=μ0H1：μ≠μ0第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日（2）H0：μ=μ0H1：μ>μ0（3）H0：μ=μ0H1：μ<μ0第四十页，共四十八页，2022年，8月28日正态总体——方差未知构造统计量（1）H0：μ=μ0H1：μ≠μ0第四十一页，共四十八页，2022年，8月28日（2）H0：μ=μ0H1：μ>μ0（3）H0：μ=μ0H1：μ<μ0第四十二页，共四十八页，2022年，8月28日非正态总体若方差已知若方差未知检验方法同正态总体。第四十三页，共四十八页，2022年，8月28日总体成数的检验构造统计量(1)H0：P=P0H1：P≠P0(2)H0：P=P0H1：P＞P0(3)H0：P=P0

H1：P＜P0第四十四页，共四十八页，2022年，8月28日一个正态总体方差的检验构造统计量（1）H0：σ2=σ２0

H1：σ2≠σ２0

第四十五页，共四十八页，2022年，8月28日（2）H0：σ2=σ２0

H1：σ2＞σ２0

（３）H0：σ2=σ２0

H1：σ2＜σ２0

第四十六页，共四十八页，2022年，8月28日练习：1、用某仪器间接测量温度，重复五次，所得数据为1250、1265、1245、1260、12