自动控制原理五

自动控制原理五聊城大学汽车与交通工程学院第一页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院§5.1

频率特性基本概念一﹑频率特性的定义频率响应:在正弦输入作用下，系统输出的稳态值称为频率响应。第二页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第三页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第四页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院频率特性:频率响应c(t)与输入正弦信号r(t)的复数比对频率的关系。幅频特性相频特性G(s)R(s)C(s)第五页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第六页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院二.频率特性的表示法

(一)解析式表示

1.幅频—相频形式:G(jω)H(jω)=|G(jω)H(jω)|∠G(jω)H(jω)2.

指数形式:G(jω)H(jω)=A(w)ejj(w)3.

三角函数形式:

G(jω)H(jω)=A(w)cosj(w)+jA(w)sinj(w)4.

实频—虚频形式:G(jω)H(jω)=U(ω)+jV(ω)第七页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院

(二)图解形式G(jω)H(jω)=U(ω)+jV(ω)

=A(ω)∠j(ω)当ω=0→∞变化时,A(ω)和j(ω)随ω而变。以A(ω)作幅值,j(ω)作相角,G(jω)H(jω)的矢量终端在复平面上运动形成的轨迹,称Nyquist曲线。

1.

极坐标图----幅相频率特性图第八页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院解：第九页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院0Re[G(jw)]Im[G(jw)]1惯性环节G(s)=Ts+11第十页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院2.

对数坐标图----Bode图

对数幅频

L(ω)=20lg│G(jw)H(jw)│=20lgA(w)(dB)

对数相频

j(ω)=∠G(jω)H(jω)横坐标是ω的对数分度,纵坐标是L(ω)和j(ω)的线性分度，此坐标系称为半对数坐标。第十一页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院dec第十二页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第十三页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院说明：对数频率特性采用ω的对数分度实现了横坐标的非线性压缩，便于在较大频率范围反映频率特性的变化情况。采用对数幅频特性则将幅值的乘除运算化为加减运算，可以简化曲线的绘制过程。第十四页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院§

5.2典型环节频率特性1.

比例环节(K)G(s)=KG(jω)=KA(ω)=Kj(ω)=0o幅相频率特性第十五页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院L(ω)=20lgK(dB)j(ω)=0o对数频率特性A(ω)=Kj(ω)=0o第十六页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院2.

积分环节幅相频率特性第十七页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院对数频率特性第十八页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院3.微分环节幅相频率特性第十九页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院L(ω)=20lg|jω|=20lgωj(ω)=∠jω=90°对数频率特性第二十页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院4.惯性环节幅相频率特性第二十一页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院交接第二十二页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第二十三页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第二十四页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院对数频率特性第二十五页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院5.一阶微分环节幅相频率特性第二十六页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院对数频率特性第二十七页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院惯性环节一阶微分频率特性互为倒数时：对数幅频特性曲线关于零分贝线对称；相频特性曲线关于零度线对称。第二十八页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院6.振荡环节第二十九页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院(0<ξ<0.707)ωr:谐振频率Mr：谐振峰值第三十页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院0ReIm1ABA:B:振荡环节第三十一页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第三十二页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第三十三页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院3）交接第三十四页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第三十五页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第三十六页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第三十七页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院§

5.3系统开环频率特性的绘制一、开环Nyquist图的近似绘制:

将开环传递函数按典型环节分解Gi(s)为除1/sν、k外的其他典型环节概略绘图：画几个特殊点第三十八页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院

1.起点和终点

①低频段

第三十九页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院②高频段

第四十页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院2.与坐标轴的交点第四十一页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院【例】绘制系统极坐标图。解：此系统ν=1，n-m=3,G(j0+)H(j0+)=∞∠ν(-90)=∞∠(-900)；G(j∞)H(j∞)=0∠(n-m)(-900)=0∠-2700；

第四十二页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院令Im[G(jw)H(jw)]=0，求得ω=±10，取ω=10并代入Re[G(jw)H(jw)]=-0.4,即曲线与实轴交于（-0.4,j0）点。再令Re[G(jw)H(jw)]=0,求得w=∞,G(jw)H(jw)=0说明曲线与虚轴交于坐标原点。与坐标轴的交点第四十三页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第四十四页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院二、开环Bode图的绘制

开环对数幅频特性为：开环对数相频特性为：第四十五页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院步骤:（1）将传递函数分解成典型环节并按交接频率从小到大排序，并标在坐标轴上。（2）过（1，20lgK）点作低频渐近线，直到第一个交接频率ω1.渐近线斜率为-20ndB/dec，n为积分环节的个数。若ω1<1，则延长线经过（1，20lgK）。与零分贝线的交点频率第四十六页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院（3）根据斜率变化，每遇到一个交接频率即改变一次渐近线斜率，作出幅频特性。惯性环节：-20db/dec;一阶微分：20db/dec振荡环节：-40db/dec;二阶微分：40db/dec（4）用叠加方法绘制相频特性。第四十七页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院【例】试绘制开环系统Bode图解(1)化标准形式(2)确定交接频率频率斜率第四十八页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院过(1,17.5dB)点作低频渐近线，斜率为-20dB/dec;(4)每遇到一个转折频率就改变一次斜率;第四十九页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院17.537.5L(w)w0.1213w=0.1时L为37.5db;w=1时L为17.5-20-60-80-60wc第五十页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第五十一页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院三.最小相位系统定义开环零点与开环极点全部位于左半s平面的系统为最小相位系统。否则称为非最小相位系统.延迟环节：非最小相位环节第五十二页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院

①

具有相同幅值的两个系统，最小相位系统的相角变化范围最小。

②

L(w)与j(w)曲线是一一对应的。对于最小相位系统，根据对数幅频特性可写出其传递函数。性质第五十三页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院四.系统传递函数的实验确定法

系统的数字模型可以利用物理定律等解析法求取，但这往往是困难的，工程上多用频率响应实验法来确定系统的数学模型。一、用正弦信号相关分析法测试频率特性二、由Bode图确定系统的传递函数第五十四页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院(1)ω=1时,20lgK=LK=步骤：1.开环增益K的确定

2.确定积分环节的个数:由最低频率段的斜率确定-20*vdb/dec第五十五页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院-20db/dec-40db/dec20db/dec40db/dec3.确定各典型环节:遇转折频率即根据斜率的变化来确定。ζ值可根据实验曲线确定第五十六页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院【例】最小相位系统对数幅频渐进特性如图所示。试确定系统的传递函数。第五十七页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院解：由图知此为分段线性曲线，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化，由斜率变化可确定加入的环节类型。其中，K﹑ω1﹑ω2﹑ω3﹑ω4待定。由20lgK=30dB得K=31.6。由直线方程及斜率的关系式确定ω1﹑ω2﹑ω3﹑ω4

第五十八页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第五十九页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院设A点ωA-----L(ωA)，B点ωB------L(ωB)，斜率K；则有直线方程：L(ωA)-L(ωB)=K[lgωA-lgωB]第六十页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第六十一页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院

§5-4奈奎斯特稳定判据第六十二页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院一、系统开环特征式和闭环特征式开环传递函数为闭环传递函数令辅助函数F(s)具有如下特点：其零点和极点分别是闭环和开环的特征根。其零点的个数与极点的个数相同。第六十三页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院1.s平面上的点与F(s)平面上的点有对应关系s平面F(s)平面F(s)的零点原点F(s)的极点无限远点s平面上的其他点原点外的有限点

幅角原理第六十四页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院当动点s1在s平面的封闭曲线C上沿顺时针方向绕行取值时,在F(s)平面上将映射出一条绕原点的闭合轨迹Г。如图所示：第六十五页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第六十六页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院顺时针包围原点的次数N=Z–P逆第六十七页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院幅角原理设[s]平面上封闭曲线L包围F(s)的Z个零点和P个极点，且该曲线不经过F(s)的任一零极点，则当复变量s沿着封闭曲线按顺时针方向移动一圈时，在F(s)平面上的映射曲线绕原点逆时针转过N圈，N=P-Z。N>0表示逆时针旋转N圈；N<0表示顺时针旋转N圈。第六十八页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院系统稳定的充要条件：φ(s)的全部特征根均具有负实部，即在[s]右半平面上无极点，即F(s)在[s]右半平面无零点。第六十九页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院Nyquist轨迹：

选择封闭曲线L包围整个s平面的右半平面，则封闭曲线L称为s平面的Nyquist轨迹。第七十页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院N=P-Z。Z=P-N第七十一页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院

Nyquist稳定判据：(一)G(s)H(s)在s平面的原点及虚轴上没有极点时,Nyquist稳定判据为:(1)P=0时,若Nyquist曲线不包围(-1,j0)点,即N=0,则Z=0,闭环系统稳定,否则不稳定。(2)P≠0时,若Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点的次数N=P,则闭环系统稳定,否则不稳定。（3）Nyquist曲线通过(-1,j0)点时,闭环系统临界稳定。第七十二页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院G(s)H(s)在s右半平面有P个极点，当ω由0变化到+∞，GH平面上的开环频率特性G(jω)H(jω)逆时针包围（-1，j0）点p/2圈，则闭环系统稳定；反之，则系统不稳定。Z=p-2R当ω由-∞变化到0的曲线可根据镜像对称原理画出。第七十三页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第七十四页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第七十五页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院ω从-∞到+∞：从GH线的ω=0-起，顺时针增补模为无穷大，角度为v*180°的圆弧。ImReImRew=0n=10+0+w=00-0-n=2第七十六页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院ω从0到+∞：从0+逆时针补画n900的无穷大圆弧第七十七页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院Nyquist稳定判据二:当系统的开环传递函数中有位于原点及虚轴上的极点时,通过修正Nyquist轨迹后，则判据一仍适用。即：线性定常系统稳定的充要条件是G(jw)H(jw)曲线逆时针包围(-1,j0)点的次数为N=P，即Z=P–N=0从0~+∞，判断Z=P–2R第七十八页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院第七十九页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院角度为540°的顺时针无穷大圆弧第八十页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院当KT1T2(T1+T2)=1时，闭环临界稳定。第八十一页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院当-KT1T2(T1+T2)>-1时，R=-1，Z=P-2R=2不稳定当-KT1T2(T1+T2)<-1时，R=0，Z=P-2R=0稳定当KT1T2(T1+T2)=1时，闭环临界稳定。第八十二页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院§5-5稳定裕度---相对稳定性(1)相角裕度g

|G(jwc)H(jwc)|=1

wc

截止频率g=180°+φ(wc

)含义：对于稳定系统，如果系统开环相频特性再滞后g°，系统将处于临界稳定状态。第八十三页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院ωc的近似求解：1.图解法：对数幅频曲线与横轴交点频率2.解析法：以转折频率划分频段范围ωi为转折频率。第八十四页，共九十二页，2022年，8月28日聊城大学汽车与交通工程学院(2)幅值裕度h或hdB=20lgh=-20lg|G(jwg)H(jwg)|∠G(jw)H(jw)=-180°w=wg

相角交界频率有些教材幅值裕度的符号是Kg含义：对于稳定系统，如果系统开环幅频特性再增大h倍，系统将处于临界稳定状态。第八十五页，共九十二页，2022年，8月28日j01wcwggG(jw)G(jwg)