哈尔滨某大学结构力学I六

《结构动力学基础》《结构动力学基础》目录绪论体系的运动方程建立单自由度体系的振动多自由度体系的振动频率和振型的实用计算方法随机振动初步结构地震反应分析结构的振动控制一、绪论1.1阪神地震录像1.2动力荷载及其分类1.3结构动力学的研究内容和任务1.4结构动力分析中体系的自由度1.5结构的动力特性1.6建立结构运动方程的一般方法一、绪论1.1阪神地震

首先请大家看日本阪神地震录像，希望能从中体会到学习结构动力学的重要性。更希望大家能学好结构动力学！1.2动荷载及其分类所谓动荷载是指：随时间变化（三要素），且作用结果使受荷物体质量的加速度（惯性力与外荷比）不可忽视，这种荷载称动力荷载，简称动荷。自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。1.2动荷载及其分类动荷载可有多种分类方法，常见的是：动荷载确定不确定风荷载地震荷载其他无法确定变化规律的荷载周期非周期简谐荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其他确定规律的动荷载1.3结构动力学的研究内容和任务结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。1.3.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）第一类问题：反应分析——正问题1.3结构动力学的研究内容和任务结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。1.3.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示控制系统（装置、能量）输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第二类问题：参数（或称系统）识别1.3结构动力学的研究内容和任务结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。1.3.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示控制系统（装置、能量）输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）第三类问题：荷载识别。二、三为反问题1.3结构动力学的研究内容和任务结构动力学是研究动荷作用下结构动力反应规律的学科。1.3.1结构动力学的研究内容当前结构动力学的研究内容可用下图表示输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）控制系统（装置、能量）第四类问题：控制问题1.3结构动动力学学的研研究内内容和和任务务1.3.2结构动动力学学的任任务结构动动力学学的任任务是是:讨论结结构在在动力力荷载载作用用下反反应的的分析析的方方法。。寻找找结构构固有有动力力特性性、动动力荷荷载和和结构构反应应三者者间的的相互互关系系，即即结构构在动动力荷荷载作作用下下的反反应规规律，，为结结构的的动力力可靠靠性（（安全全、舒舒适））设计计提供供依据据。1.3.3与其它课程程间的关系系首先，结构构动力学要求较熟练练掌握已学学过的力学学知识。其次，要求较好地地掌握已学学的数学知知识（数学中未未学的，在在学习过程程中将会介介绍）。结构动力学学为工程结结构的抗震震、抗风设设计等提供供依据。结构动力学学基本原理理、方法适适用于一切切工程。1.4结构动力分分析中的自自由度1.4.1自由度的定定义确定体系中中质量位置置的独立坐坐标数，称称作体系的的自由度数数。应注意：自自由度数和和质量点个个数有关，，但没有确确定关系。。1.4.2实际结构自自由度的简简化方法实际结构都都是无限自自由度体系系，这不仅仅导致分析析困难，而而且从工程程角度也没没必要。常常用简化方方法有：1)集中质量法法将实际结构构的质量看看成（按一一定规则））集中在某某些几何点点上，除这这些点之外外物体是无无质量的。。这样就将将无限自由由度系统变变成一有限限自由度系系统。1.4结构动力分分析中的自自由度2)广义坐标法法以简支梁无无限自由度度体系为例例，设梁上任意意一点的位位移可分离离变量成y(x,t)=Y(x)T(t)，而Y(x)和里兹法一一样可用满满足位移边边界条件的的“基函数””（例如正弦弦级数）线性组合来来逼近，组合系数就就是广义坐坐标，从而而将无限自自由度系统统变成有限限个广义坐坐标的系统统。因此，，简化系统统的自由度度就是广义义坐标数。。如果不考虑虑轴向变形形，则图示示平面集中中质量系统统的自由度度分别为：：如果不考虑虑轴向变形形，则图示示空间集中中质量系统统的自由度度分别为：：请考虑计轴轴向变形结结果如何？？222334641.4结构动力分分析中的自自由度3)有限单元法法和静力问题题一样，可可通过将实实际结构离离散化为有有限个单元元的集合，，将无限自自由度问题题化为有限限自由度来来解决。由由于将专门门介绍，这这里不再赘赘述。虽将简单介介绍有限单单元法，但但本部分主主要讨论集集中质量法法。对集中中质量而言言，自由度度并不难理理解，但如如果错误判判断了自由由度个数，，象超静定定问题基本本未知量个个数一样，，由于它的的错误，后后面再算是是无意义的的。因此，，必须熟练练地掌握自自由度的确确定。1.5结构的动力力特性结构受动荷荷载作用，，它的反应应不仅和动动荷载有关关，而且还还和结构本本身固有的的特性（包括结构阻阻尼、频率率谱和振型型等）有关。设有单自由由度的刚架架和桁架，，如果它们们具有相同同的阻尼、、频率，在在相同动荷荷载下将具具有相同的的反应。可可见结构的的固有特性性能确定动动荷下的反反应程度，，因此将他他们称作结构的的动力特性性。1.5.1自振频率和和频率谱外界干扰消消除後，系系统在平衡衡位置附近近所产生的的振动，称称作自由振动（无外荷作作用的振动动）。自由由振动的频频率称自振频率，简称自频。1.5结构的动力力特性实际结构有有小于等于于（一般等等于）自由由度数的自自振频率，，将其按从从小到达依依次排列，，此排列称称作频率谱。频率谱中最最小的频率率称作基本频率，简称基频。其后依次次称为第二二、三等等等频率。他他们可以通通过计算和和试验得到到。不同结构频频率谱的分分布是不同同的。象单单跨梁、不不计扭转振振动的房屋屋等，相邻邻两频率间间隔较大，，这样的频频谱称稀疏型的。对于空间结结构、考虑虑扭转振动动的房屋等等，频谱中中存在密集集区，这样样的频谱称称密集型的。结构的动力力反应和它它的频谱有有密切关系系。1.5结构的动力力特性1.5.2结构的振型型当在一定条条件下结构构按频谱中中某一频率率振动时，，在任意时时刻各质量量的位移都都保持同一一比例，也也即变形形形状是固定定的。这一一变形形式式称作此频频率对应的的振型。与基频对对应的振型型称第一振振型或基本本振型，其其他依次称称第二、第第三振型等等等。振型也可通通过计算或或实验得到到，在多自自由度体系系分析时，，它是重要要的工具。。1.5.3结构的阻尼尼实际结构的的自由振动动都是衰减减的，经一一定时间后后将仍处于于平衡。这这说明振动动过程有能能量耗散，，这种能量量耗散作用用称作阻尼。1.5结构的动力力特性产生能量耗耗散的原因因很多，如如材料的内内摩擦、周周围介质对对能量的吸吸收等等。。至今为止止，对阻尼尼机理仍然然是没有解解决的问题题。为了在动力力分析中考考虑阻尼的的影响，使使分析更符符合实际，，人们提出出了种种关关于阻尼的的假定。这这些假定统统称作阻尼理论。限于学时，，这里只介绍绍一种常用用的“等效粘滞”阻尼理论论。所谓等效粘粘滞阻尼是是假设：导致能量耗耗散是由于于存在阻尼力，它和运动动的速度成成正比，方方向和速度度方向相反反。这比例例系数称阻尼系数，其数值由由试验确定定。根据这一理理论，单自自由度的阻阻尼力为。。阻尼系数速度1.6建立结构运动方方程的一般般方法要了解和掌掌握结构动动力反应的的规律，必必须首先建建立描述结结构运动的的（微分））方程。建建立运动方方法很多，，择常用的的简单介绍绍如下：1)应用达朗泊泊尔原理，通过列瞬时“动动平衡”方方程来建立。由于下一一章将专门门介绍，这这里不赘述述。2)虚功法根据达朗泊泊尔原理和和所假设的的阻尼理论论，在质量量上考虑惯惯性力、阻阻尼力的作作用，则在任意瞬瞬时质量应应该处于““动平衡””状态，因此根据虚虚位移原理理，外力（（动荷载、、惯性力、、阻尼力））的总虚功功应恒等于于总虚变形形功。也即即通过列虚虚功方程象象1)一样来获得得运动方程程。由于是是用虚功方程程来建立平平衡条件，称虚功法法。1.6建立结构运动方方程的一般般方法3)利用哈密顿顿原理来建建立运动方方程——变分法分析力学中中学过哈密密顿原理。。通过建立立系统动能能、势能和和耗能（分分别记作T、EP、V），获得如下哈哈密顿泛函函根据哈密顿顿原理，可可由令哈密顿泛泛函的一阶阶变分等于于零来建立立“动平衡衡方程”——运动方程。当没有耗能能时，所得得到的是无无阻尼的方方程。否则则，是有阻阻尼情况。。用哈密顿原原理时和上上两方法不不同，不再再考虑惯性性力、阻尼尼例和弹性性恢复力等等，它们通通过能量变变分来得到到。二、体系的的运动方程程建立2.1建立运动方方程的基本本步骤2.2运动方程建建立举例2.3体系运动方方程的一般般形式2.4应注意的几几个问题2.5刚度法、柔柔度法列方方程的步骤骤2.6运动方程建建立总结2.1建立运动方程的的基本步骤骤作为本科学学习，这里里只讨论用达朗朗泊尔原理理通过列平平衡方程得得到运动方方程的“直直接平衡法法”。以下讨论中中一律认为为系统的阻阻尼是等效效粘滞阻尼尼。直接平衡法法列方程的的一般步骤骤为：1)确定体系的的自由度——质量独立位位移数；2)建立坐标系系，确定未未知位移（（坐标正向向为正）；；3)根据阻尼理理论确定质质量所受的的阻尼力；；4)根据达朗泊泊尔原理在在质量上假假想作用有有惯性力（（注意：惯惯性力是实实际的，但但它不作用用在质量上上）；5)取质量为隔隔离体并作作受力图；；6)根据达朗泊泊尔原理列列每一质量量的瞬时动动力平衡方方程，此方方程就是运运动（微分分）方程。。列平衡方程程称刚度法法2.1建立运动方程的的基本步骤骤作为本科学学习，这里里只讨论用达朗朗泊尔原理理通过列平平衡方程得得到运动方方程的“直直接平衡法法”。以下讨论中中一律认为为系统的阻阻尼是等效效粘滞阻尼尼。直接平衡法法列方程的的一般步骤骤为：1)确定体系的的自由度——质量独立位位移数；2)建立坐标系系，确定未未知位移（（坐标正向向为正）；；3)根据阻尼理理论确定质质量所受的的阻尼力；；4)根据达朗泊泊尔原理在在质量上假假想作用有有惯性力（（注意：惯惯性力是实实际的，但但它不作用用在质量上上）；列位移方程程称柔度法法5)将动力外荷荷、惯性力力、阻尼力力作为“外外力”，按位移计算算公式求各各质量沿自自由度方向向的位移，，其结果应应该等于未未知位移（（满足协调调），由此此建立方程程。2.2运动方程程建立举例2.2.1单自由度度体系运运动方程程例-1)试建立图图示结构构的运动动方程。。hmEIP(t)解：由于于横梁刚刚度无穷穷大，结结构只能能产生水水平位移移。设x坐标向右右（右手手系）。。又设横梁梁（质量量m）位移为u，以它为隔隔离体，，受力如如图所示示。P(t)h列x方向全部部力的平平衡方程程，即可可得结构构的运动动方程为为图中Fs1和Fs2可由图是是有位移移法（实实际直接接可由形形常数））得到2.2运动方程程建立举例2.2.1单自由度度体系运运动方程程解：图示示结构只只能产生生竖向位位移，显显然这是是单自由由度对称称振动。。设质量量竖向位位移为v，向下为正正。将惯性力力fI、阻尼力fd如图所示示加于梁梁上，根根据达朗朗泊尔原原理和阻阻尼假定定l/2l/2m例-2)试建立图图示抗弯弯刚度为为EI简支梁的的运动方方程。（（不计轴轴向变形形）l/2l/2fIfdP(t)P(t)由位移计计算可知知，单位位荷载下下简支梁梁跨中竖竖向位移移为因此在所所示“外力””下，质量的的位移为为2.2运动方程程建立举例2.2.1单自由度度体系运运动方程程例-3)试建立图图示结构构的运动动方程。。hmEIP(t)解：由于于横梁刚刚度无穷穷大，结结构只能能产生水水平位移移。设质质量m位移为u，向右为正正。根据据达朗泊泊尔原理理和假设设的阻尼尼力理论论，加惯惯性力和和阻尼力力后受力力如图。。P(t)h由超静定定位移计计算可得得（如图图示意））h1因此，外外力下位位移为显然，整整理後结结果和例例-1）相同，，k=-12.2运动方程程建立举例2.2.1单自由度度体系运运动方程程解：图示示结构只只能产生生竖向位位移，显显然这是是单自由由度对称称振动。。设质量量竖向位位移为v，向下为正正。l/2l/2m例-4)试建立图图示抗弯弯刚度为为EI简支梁的的运动方方程。（（不计轴轴向变形形）P(t)因此由所示“外力””平衡可得得1RP(t)RRfI+fd利用对称称性由（（形常数数）可得得质量点点处所加加支杆单单位位移移时的R（=？）。以以m为隔离体体，加上上惯性力力fI、阻尼力fd如图所示示，根据据达朗泊泊尔原理理和阻尼尼假定显然,整理後结结果和例例-2)相同，k=-12.2运动方程程建立举例2.2.1单自由度度体系运运动方程程解：将惯惯性力fI、阻尼力fd如图所示示加于梁梁上，根根据达朗朗泊尔原原理和阻阻尼假定定仅在P(t)作用下m的位移由由位移计计算得l/2l/2m例-5)若例-2)简支梁动荷载载作用在3l/4处,试建立其运动动方程l/2l/2fIfdP(t)P(t)由位移计算可可知，单位荷荷载下简支梁梁跨中竖向位位移为作业：P-1的物理意义是什麽？因此在所示“外力”下，质量的位移移为2.2运动方程建立举例2.2.1单自由度体系系运动方程解：设质量水水平位移为u，向右为正。例-6)试建立图示质质量、弹簧、、阻尼器抽象象化模型的运运动方程。因此由所示“外力”平衡可得mk以m为隔离体，加加上惯性力fI、阻尼力fd如图所示，此此外还有弹簧簧的弹性恢复复力fe。根据达朗泊泊尔原理和阻阻尼假定cmP(t)P(t)fIfefd由这些例子显显然可见，不不管什麽单自自由度结构，，运动方程的的最终形式都都是一样的。。2.2运动方程建立举例单自由度体系系运动方程建建立小结任何单自由度度结构，运动动方程都可写写为式中：m质量；c阻尼系数；k刚度系数；Peq为等效动荷载载。当动荷载直接接作用在质量量上时，Peq为动荷载的合合力在运动方方向的投影；；当动荷载不作作用在质量上上时，Peq为动荷载作用用下限制沿自自由度运动的的支座反力。。用刚度法还是是用柔度法建建立方程，看看具体问题是是求刚度系数数方便、还是是求柔度系数数方便来定。。没有等效动荷荷为自由振动动，没第二项项为无阻尼振振动2.2运动方程建立举例2.2.2两自由度体系系运动方程解：结构为两两自由度体系系。设水平、、竖向位移为为u、v，分别向右、向向下为正。例-7)试建立图示结结构的运动方方程。各杆长长度为l，抗弯刚度为EI。式中cij为j方向单位速度度引起的i方向的阻尼力力。m根据达朗泊尔尔原理和阻尼尼假定Px(t)11fIx+fdxfIy+fdy+Py(t)Px(t)Py(t)为用柔度法建建方程，沿位位移正向加单单位力的单位位弯矩图如图图所示。mPx(t)11fIx+fdxfIy+fdy+Py(t)Px(t)Py(t)2.2运动方程建立举例2.2.2两自由度体系系运动方程由图示单位弯弯矩图可求求得因此，在所示“外力”下u、v分别为2.2运动方程建立举例2.2.2两自由度体系系运动方程以矩阵方程表表示，整理後後可得记作[d]称位移阵记作[P]称荷载阵记作[f]称柔度阵记作[M]称质量阵记加速度、速度矩阵分别为和则上式可写为记作[C]称阻尼阵2.2运动方程建立举例2.2.2两自由度体系系运动方程解：为用刚度度法建方程，，沿位移正向向加限制位移移的支座如图图所示。例-8)试用刚度法建建立结构的运运动方程。图中由位移法或弯弯矩分配法可可做出支座单单位位移的弯弯矩图如图示示。mPx(t)Py(t)11M1M2M3M42.2运动方程建立举例2.2.2两自由度体系系运动方程mPx(t)Py(t)图中11k11k21k12k22M1M2M3M4由此可求得图图示反力(刚度)系数kij取质量为隔离离体，加惯性性力fIx、fIy，阻尼力fdx、fdy和弹性恢复力力fex、fey。2.2运动方程建立举例2.2.2两自由度体系系运动方程fIxfdxfexPxfIyfeyfdyPy由达朗泊尔原原理、阻尼理理论和上述结结果可得列平衡方程并并以矩阵方程程表示，则得得运动方程如如下记作[k]称刚度阵由两例系数结结果可证[k]=[f]-12.2运动方程建立举例2.2.2两自由度体系系运动方程解：为用刚度度法建方程，，沿位移正向向使限制位移移的支座产生生图示单位位位移。例-9)试用刚度法建建立图示剪切切型结构的运运动方程。k1和k2为层侧移刚度度。由层刚度定义义可得1h1h2k1k2h1h2k1k21k11k21k22k12h2h1k1k2m1m2P2(t)P1(t