高等土力学第四章沉降分析

高等土力学第四章沉降分析第一页，共五十五页，2022年，8月28日§4沉降分析SettlementAnalysis§4.1概述§4.2地基中的应力§4.3土的压缩性§4.4沉降组成分析§4.5沉降计算方法第二页，共五十五页，2022年，8月28日§4.1概述变形竖向变形水平向变形（侧向）Lateraldisplacement沉降（下沉）Settlement隆起（上抬）Heave研究地基的变形与稳定是土力学的根本任务。第三页，共五十五页，2022年，8月28日§4.1概述沉降沉降量（绝对沉降）——影响正常使用（如管道压坏）不均匀沉降（相对沉降）——建筑物开裂,甚至倒塌沉降分析—土力学的基本课题之一，土木工程设计的重要内容。引起地基沉降的原因可分为:①内因：土体具有压缩性——參數不易确定②外因：土体中应力改变——外部荷载引起，難以準確計算。第四页，共五十五页，2022年，8月28日§4.1概述沉降的精确计算取决于:①应力计算的准确性；②土体性状（如压缩性—应力应变关系）的正确测定。已有很多种方法计算地基沉降：一、解析法(弹性理论法)基于半空间体弹性理论——布辛涅斯克（Bussinisq）解（集中荷载作用下6个应力分量、3个位移分量解）缺点：弹性系数难定常用于（瞬时）初始沉降计算。二、分层总和法—规范法最为常用。三、Skempton—Bjerrum法考虑孔压消散，r为孔压系数A的函数。第五页，共五十五页，2022年，8月28日§4.1概述四、三维压缩非线性模量法（龚）五、应力路径法实际应力路径较难模拟。六、原位试验法现场荷载试验等。过于局限性七、有限单元法—最能考虑实际复杂情况八、从实测资料推算地基总沉降—最可靠，但属事后行为。拉压第六页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.1引言

地基中自重应力的计算问题即属于一维问题。第七页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.2自重应力自重应力——土本身自重引起。在建筑物建造前即存在，故又称为初始应力。只有有效应力，才能使土粒彼此挤紧，从而引起土体变形。而自重应力作用下的土体变形一般均已完成（欠固结土除外），故自重应力通常均指自重有效应力，一般将竖向自重有效应力简称为自重应力。自重应力计算式为：

n—从地面到深度z处的土层总数；—深度处的自重应力，kPa；—第i层土的天然重度，地下水位以下的土层取浮重度，kN/m3；hi—第i层土的厚度，m。第八页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.2自重应力除竖向自重应力外，地基中还有侧向自重应力。由于在任一水平面上都均匀地无限分布，故地基土在自重应力作用下只能产生竖向变形，而不能发生侧向变形和剪切变形，即有

则由弹性力学中的广义虎克定律有：可得其中，称为土的侧压力系数或静止土压力系数。其中，-土体有效应力泊松比第九页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.3附加应力

地基附加应力：建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。

计算方法：假定地基为均质的线弹性半空间体、不考虑基础刚度（即将基底压力视为柔性荷载）、直接利用弹性力学中的弹性半空间理论解。一、竖向集中力的地基附加应力1．布辛涅斯克（法国Boussinesq，1885）解（集中力作用于地面）第十页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.3附加应力2．明德林（R.D.Mindlin，1936）解（集中力作用于地基内）

地基内作用一竖向集中力时地基中应力计算第十一页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.3附加应力当一集中力作用于地基内时，地基中附加应力计算可采用弹性理论中半无限弹性体内作用一竖向集中应力时的明德林（R.D.Mindlin，1936）解。如上图设置坐标系，距表面距离c处作用一个集中力P，地基中附加应力表示式为

第十二页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.3附加应力第十三页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.3附加应力第十四页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.3附加应力式中；

；

c=集中力作用点的深度，m；μ=土的泊松比。

比较可见，当c＝0时，明德林解即蜕化为布辛涅斯克解，因此也可以认为布辛涅斯克解是明德林解的一个特例。第十五页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.3附加应力二、分布荷载下的地基附加应力（一）均布矩形荷载1、角点下的附加應力：

其中Kz为角点附加应力系数。

2、其它点的附加應力采用角点法计算，即：

通过计算点o将荷载分成若干个矩形荷载，从而使点o成为划分出的各个矩形的公共角点，然后再根据迭加原理计算。共有以下四种情况：(a)O点在荷载面的边缘：

其中KzI、KzII

为相应于面积Ⅰ和Ⅱ的角点附加应力系数。ⅡⅠ

o第十六页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.3附加应力

（b）O点在荷载面内：

其中KzI、KzII、KzIII、KzIV为相应于面积I、II、III、IV的角点附加应力系数。

如果O位于荷载中心，则有：，故表4-3可有可无。

（c）O点在荷载面的边缘外侧：荷载面（abcd）＝面积Ⅰ（ofbg）-面积Ⅱ（ofah）+面积Ⅲ（oecg）-面积Ⅳ（oedh）则ⅠⅡⅣⅢOhbgcfoead第十七页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.3附加应力（d）O点在荷载面的角点外侧

荷载面（abcd）＝面积Ⅰ（ohce）-面积Ⅱ（ohbf）-面积Ⅲ（ogde）+面积Ⅳ（ogaf）则

必须注意:在角点法中，查附加应力系数时所用的L和B均指划分后的矩形（如ohbf、ohce等）的长和宽。第十八页，共五十五页，2022年，8月28日§4.2地基中的应力§4.2.3附加应力（二)其它分布荷载(圆形、三角形、梯形等)下的地基附加应力仍基於並應用迭加原理計算。

其中K—附加应力系数（三）的分布规律第十九页，共五十五页，2022年，8月28日§4.3土的压缩性

压缩性的概念：天然土是由土颗粒、水、气组成的三相体，是一种多孔介质材料。在压力作用下，土骨架将发生变形、土中孔隙将减少、土的体积将缩小，土的这一特性称为土的压缩性。简言之，土在压力作用下体积缩小的特性即为土的压缩性。土的压缩特性及固结的概念：与金属等其它连续介质材料不同，土受压力作用后的压缩并非瞬间完成，而是随时间逐步发展并趋稳定的。土体压缩随时间发展的这一现象或过程称为固结。因此，土的压缩和固结是密不可分的，压缩是土固结行为的外在表现，而固结是土压缩的内在本质。如果说外荷载（附加应力）是引起地基变形的外因，那么土具有压缩性就是地基变形的根本内因。因此，研究土的压缩性是合理计算地基变形的前提，也是土力学中重要的研究课题之一。第二十页，共五十五页，2022年，8月28日§4.3土的压缩性§4.3.1压缩试验和压缩曲线土的压缩性指标有：压缩系数a或压缩指数Cc、压缩模量Es和变形模量E0。一般用室内压缩试验测定土的压缩性指标。这种试验简便经济实用。室内压缩试验是在下图所示的常规单向压缩仪上进行的。常规单向压缩仪及压缩试验示意图第二十一页，共五十五页，2022年，8月28日§4.3土的压缩性§4.3.1压缩试验和压缩曲线试验时，用金属环刀取高为20mm、直径为50mm（或30mm）的土样，并置于压缩仪的刚性护环内。土样的上下面均放有透水石。在上透水石顶面装有金属圆形加压板，供施荷。压力按规定逐级施加，后一级压力通常为前一级压力的两倍。常用压力为：50，100，200，400和800kPa。施加下一级压力，需待土样在本级压力下压缩基本稳定（约为24小时），并测得其稳定压缩变形量后才能进行。（先进的实验设备可实现连续加荷。）

压缩曲线是压缩试验的主要成果，表示的是各级压力作用下土样压缩稳定时的孔隙比与相应压力的关系。绘制压缩曲线，须先求得对应于各级压力的孔隙比。由实验数据计算各级压力下孔隙比，如下式：第二十二页，共五十五页，2022年，8月28日§4.3土的压缩性§4.3.1压缩试验和压缩曲线压缩曲线（孔隙比e为纵坐标，压力p为横坐标），也就是土的孔隙比e与有效应力的关系曲线，有两种：e-p曲线：采用普通直角坐标绘制（如图（ａ））。e-logp曲线：采用半对数（指常用对数）坐标绘制（如图（b））。大量的试验研究表明：土的e-logp曲线后半段接近直线。(a)e-p曲线(b)e-logp曲线压缩曲线第二十三页，共五十五页，2022年，8月28日§4.3土的压缩性§4.3.1压缩试验和压缩曲线土的压缩曲线越陡，其压缩性越高。故可用e-p曲线的切线斜率来表征土的压缩性，该斜率就称为土的压缩系数，定义为：显然e-p曲线上各点的斜率不同，故土的压缩系数不是常数。a越大，土压缩性越高。实用上，可以采用割线斜率来代替切线斜率。式中：a——计算点处土的压缩系数，kPa-1或MPa-1；通常用压力间隔由p1=100kPa增加至p2=200kPa所得的压缩系数a1-2来评价土的压缩性：a1-2≥0.5属高压缩性；a1-2=0.1~0.5属中压缩性；a1-2≤0.1属低压缩性第二十四页，共五十五页，2022年，8月28日§4.3土的压缩性§4.3.1压缩试验和压缩曲线土的压缩指数Cc：e-logp曲线后半段直线的斜率：显然，与压缩系数类似，压缩指数越大，则土的压缩性越高。注意：CC是无量纲常数。土的压缩模量：又称侧限压缩模量，土在完全侧限条件下压力增量与相应的竖向应变增量之比值。Es越小，则土的压缩性越高。体积压缩系数mv：土在完全侧限条件下体积应变增量与压力增量之比，即：第二十五页，共五十五页，2022年，8月28日§4.3土的压缩性§4.3.1压缩试验和压缩曲线土的变形模量E0

，其定义是：土在无侧限条件下的竖向应力增量与相应竖向应变增量之比，即：E0的室内确定方法。根据广义虎克定律：在侧限（一维）条件下：所以：第二十六页，共五十五页，2022年，8月28日§4.3土的压缩性§4.3.1压缩试验和压缩曲线故有：另有Es的定义：所以可得：其中第二十七页，共五十五页，2022年，8月28日§4.3土的压缩性§4.3.2先期固结压力和土的固结状态土在历史上所经受过的最大竖向压力（有效应力）称为先期固结压力（又称为前期固结压力），常用pc表示。卡萨格兰德（A.Cassagrande）于1936年提出了确定先期固结压力的经验作图法（如右图），这也是至今确定pc值最为常用的一种近似法。1.在e-logp曲线上找出曲率半径最小的一点A，过A点作水平线A1和切线A2；确定先期固结压力pc的Cassagrande法第二十八页，共五十五页，2022年，8月28日§4.3土的压缩性§4.3.2先期固结压力和土的固结状态2.作角1A2的平分线AB，与e-logp曲线后半段（即直线段）的延长线交于C点；3.C点所对应的压力即为先期固结压力pc。Cassagrande法简单、易行，但其准确性在很大程度上取决于土样的质量（如扰动程度）和作图经验（如比例尺的选取）等。先期固结压力常用于判断土的固结状态。为此，将土的先期固结压力pc与土现在所受的压力p0的比值OCR定义为土的超固结比OCR，即：土的固结状态在一定条件下是可以相互转化的。第二十九页，共五十五页，2022年，8月28日§4.3土的压缩性§4.3.3弹性变形和残余变形(回弹、再压缩曲线)§4.3.4土的变形参数和相互间关系（书192表4—7）土的回弹曲线和再压缩曲线第三十页，共五十五页，2022年，8月28日§4.4沉降组成分析按变形机理可将地基总沉降S分为三部分，即：经验系数Sd：初始沉降，又称不排水沉降，由剪切变形引起（）；对于一维问题，Sd＝0；Sc：主固结沉降，由土体固结而引起。即在荷载作用下,土中的水逐渐排出，孔隙体积相应减少（取决于土层厚度，土的性质，排水条件）而发生的沉降；Ss：次固结沉降，孔隙水停止排出后，由于土骨架蠕变而缓慢发生；该部分沉降一般<10%。第三十一页，共五十五页，2022年，8月28日§4.4沉降组成分析

需要注意的是：1、瞬时沉降sd的产生需要一定的时间2、土体固结沉降Sc，也有短时间完成的，如邻近排水面的土体的固结，几乎是瞬时发生的3、将地基沉降分成三部分是从变形机理角度考虑，并不是从时间角度划分的，地基固结沉降和次固结沉降难以在时间上分开，初始沉降与固结沉降在时间上也难以截然分开。第三十二页，共五十五页，2022年，8月28日§4.5沉降计算方法

的计算—弹性理论法(集中荷載下地表任一點沉降)

—分层总和法p.203;考虑应力历史计算方法p.206；規範推薦法.

—次固结曲线p.222现场资料推算法;三点法;Asaoka法第三十三页，共五十五页，2022年，8月28日§4.5沉降计算方法次固结沉降计算：土体次固结引起孔隙比变化可近似地用下式计算e第三十四页，共五十五页，2022年，8月28日§4.5沉降计算方法次固结沉降计算式中：-次固结系数，为半对数图（e-logt)上直线斜率；t-所求次固结变形时间；t1-压缩试验中次固结开始时间，相当于主固结完成时间。于是次固结沉降可采用下式计算式中：-第i层土次固结系数；e0i-第i层土初始孔隙比；Hi-第i层土厚度；ti-第i层土次固结变形开始产生时间；t-计算所求次固结沉降Ss产生的时间。地基土体次固结变形也可采用粘弹性模型计算。第三十五页，共五十五页，2022年，8月28日§4.5沉降计算方法三点法：0堆载s1stt3t2t1s2s3堆载s第三十六页，共五十五页，2022年，8月28日§4.5沉降计算方法（简化法）总结：第三十七页，共五十五页，2022年，8月28日分层总和法分层总和法是一类沉降计算方法的总称，在这类方法中，将压缩层范围内的地基土层分成若干层，分别计算各分层土体的竖向压缩量，然后求和得到总竖向压缩量，即总沉降量。在分层计算土体压缩量时，一般采用一维压缩模式。

1.普通分层总和法假定：无侧向变形。故可用室内压缩试验得到的指标计算沉降；取基底中心轴线上的附加应力sz计算沉降。假定①将使沉降偏小，假定②则使沉降偏大。两者相互补充。第三十八页，共五十五页，2022年，8月28日式中△Si=第i层土的压缩量；εi=第i层土的侧限压缩应变；Hi=第i层土的厚度；n=地基沉降计算深度（压缩层厚度）范围内所划分的土层数。因为所以第三十九页，共五十五页，2022年，8月28日式中，第i分层土的平均自重应力；

，第i分层土的平均自重应力和平均附加应力之和；，第i分层土的平均附加应力；=第i层土底面和顶面处的自重应力；=第i层土底面和顶面处的附加应力；在e~p曲线上对应的孔隙比；=第i层土的压缩系数(kPa-1)和压缩模量(kPa)。第四十页，共五十五页，2022年，8月28日分层总和法的计算步骤：

分层总和法示意图第四十一页，共五十五页，2022年，8月28日计算基底附加压力p0；分层：地下水位面和各土层交界面；层厚取0.4b（b为基底宽度）或1～2m；计算自重应力（基底、各分层处）；计算附加应力（基底中心线与各分层交界点处）；计算；由值在e~p曲线上查对应的孔隙比；确定地基沉降计算深度（即地基压缩层厚度）：一直往下算，直至（如其下有高压缩性土，须算至）；计算各分层沉降：

计算总沉降：第四十二页，共五十五页，2022年，8月28日2、考虑前期固结压力的分层总和法考虑前期固结压力的分层总和法又称为法。

正常固结（NC）土的沉降计算正常固结（NC）土的曲线第四十三页，共五十五页，2022年，8月28日因为所以

其中，,第i分层土的平均附加应力（平均有效应力增量）；=第i分层土平均自重应力=第i分层土的初始孔隙比（相应于）；=从原始压缩曲线确定的第i分层土的压缩指数；Hi=第i分层土的厚度。

第四十四页，共五十五页，2022年，8月28日

超固结（OC）土的沉降计算利用由原始压缩和再压缩曲线分别确定的土压缩指数cc和回弹指数ce进行计算。分两种情况。

超固结（OC）土的曲线:（a）；（b）第四十五页，共五十五页，2022年，8月28日（a）某分层土的有效应力增量

式中，n=压缩土层中有效应力增量的分层数。第四十六页，共五十五页，2022年，8月28日（b）某分层土的有效应力增量

式中，m=压缩土层中有效应力增量的分层数。（3）地基总固结沉降Sc=Scn+Scm第四十七页，共五十五页，2022年，8月28日建筑地基基础设计规范法

规范：《建筑地基基础设计规范》—GB50007-2002

特点：计算中采用平均附加应力系数（而不是附加应力系数—普通分层总和法）。

平均附加应力系数的定义：

式中K=附加应力系数（参见第4章）。对于均布矩形荷载(面积lx

b)，平均竖向附加应力系数值可由l/b和z/b查表6-6，其他情况可参阅有关规范。

深度z范围内的附加应力面积A：式中:p0=对应于荷载效应永久组合时的基础底面处的附加压力（即荷载作用密度）。第四十八页，共五十五页，2022年，8月28日

基底至地基任意深度z范围内的土层压缩量：第四十九页，共五十五页，2022年，8月28日

规范推荐的地基沉降计算示意