视觉测量技术第二章

视觉测量技术第二章第一页，共三十四页，2022年，8月28日2.1空间几何变换一、齐次坐标

用一个n+1维矢量表示一个n维矢量。

问题的提出：两条平行线会相交吗？

铁轨在无限远处相交于一点解决办法：齐次坐标

作用：在投影空间进行图像的几何处理

为什么叫齐次坐标？

第二页，共三十四页，2022年，8月28日2.1空间几何变换

点(1,2,3),(2,4,6)和(4,8,12)对应笛卡尔坐标中的同一点(1/3,2/3)。任意数量积的(1a,2a,3a)始终对应于笛卡尔坐标中的同一点(1/3,2/3)。因此，这些点是“齐次”的，因为他们始终对应于笛卡尔坐标中的同一点。

齐次坐标描述缩放不变性（scaleinvariant）第三页，共三十四页，2022年，8月28日思考题证明:两平行线可以相交在笛卡尔坐标系中，对于如下两个直线方程：

如果

C≠D，以上方程组无解；如果

C=D，那这两条线就是同一条线了。提示：放到投影空间求解第四页，共三十四页，2022年，8月28日为什么要用齐次坐标表示（优点）？

(1)可以表示无穷远点。

例如n+1维中，h=0的齐次坐标实际上表示了一个n维的无穷远点。对二维的齐次坐标[a,b,h]，当，则表示ax+by=0的直线，即在y=-(a/b)x上的连续点[x,y]逐渐趋近于无穷远，但其斜率不变。在三维情况下，利用齐次坐标表示视点在原点时的投影变换，其几何意义会更加清晰。第五页，共三十四页，2022年，8月28日(2)提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间中的一个点集从一个坐标系变换到另一个坐标系的有效方法。几何变换：平移、旋转、缩放。平移：矩阵相加，旋转和缩放：矩阵相乘综合起来可以表示为：p’=M1*p+M2(M1旋转缩放矩阵，M2为平移矩阵，p为原向量，p’为变换后的向量)。

引入齐次坐标的目的:合并矩阵运算中的乘法和加法，表示为p’=M*p的形式。第六页，共三十四页，2022年，8月28日二、射影变换（projectivetransformation）

一个最为广义的线性变换。

一维（中心）射影变换：

由有限次中心射影变换的积定义的两条直线间的一一对应变换。第七页，共三十四页，2022年，8月28日n维射影空间的射影变换用代数表示：

ρy=TPx其中，ρ为一比例因子，x和y分别为变换前后的齐次坐标。x=(x1，x2，…,xn+1)T,y=(y1，y2，…,yn+1)T,TP

为满秩的(n+1)×(n+1)矩阵。射影变换由TP矩阵决定。以一维射影变换为例写出上述变换：第八页，共三十四页，2022年，8月28日在三维射影空间，射影变换矩阵

4×4可逆矩阵，它有16个参数，但可以用一个非零的比例因子归一，因此有15个自由度。变换关系是非线性的！第九页，共三十四页，2022年，8月28日三维射影空间的射影变换第十页，共三十四页，2022年，8月28日三、仿射变换(affinetransformation)

是射影变换的特例。在射影变换中，当射影中心平面变为无限远处时，射影变换就变成了仿射变换。仿射变换与射影变换的关系第十一页，共三十四页，2022年，8月28日

在射影几何中可以证明，如果射影变换使无穷远点仍变换为无穷远点，则变换为仿射变换。在一维射影变换描述中，若x为无穷远点，则。于是，上述仿射变换条件变为：对任意满足

的点，变换后有.

因此，可以推导出，该条件相当于。一般地，n维射影变换，仿射变换的条件变为

M矩阵的最后一行的前n个元素为零第十二页，共三十四页，2022年，8月28日以一维仿射变换为例写出上述变换：用非齐次坐标表示的射影变换为非线性变换，而仿射变换为线性变换。第十三页，共三十四页，2022年，8月28日在三维仿射空间，仿射变换矩阵可以表示为（非齐次）用齐次坐标可写成：ρy=TAx，其中仿射变换矩阵TA可以表示为：第十四页，共三十四页，2022年，8月28日三、比例变换(metrictransformation)

是带有一比例因子的欧氏变换，在三维比例空间其变换形式可表示为：第十五页，共三十四页，2022年，8月28日rij组成了一正交矩阵。是一旋转矩阵，有3个自由度。用齐次坐标表示重新写成：ρy=TMx，其中比例变换矩阵TM可以表示为：δ是比例因子，或称为缩放因子。因此比例变换有7个自由度，其中3个旋转，3个平移和1个比例因子。比例变换不改变物体空间的形状，只是改变大小，所以有时将比例变换称为相似变换。第十六页，共三十四页，2022年，8月28日四、欧氏变换(Euclideantransformation)在欧氏空间进行的变换，与比例变换很类似，只是比例因子取为1。欧氏变换有6个自由度，其中3个旋转，3个平移。在三维欧氏空间其变换形式可表示为：第十七页，共三十四页，2022年，8月28日其中由rij组成了一正交矩阵。它是一旋转矩阵，该旋转矩阵有3个自由度。用齐次坐标，可重新写成：ρy=TEx，其中欧氏变换矩阵TE可以表示为：仿射变换是射影（透视）变换的特例，比例变换是仿射变换的特例，而欧氏变换又是比例变换的特例。第十八页，共三十四页，2022年，8月28日摄像机成像模型（CameraModeling）PinholeCameras2.2摄像机透视投影模型第十九页，共三十四页，2022年，8月28日PerspectiveProjectionC’B’第二十页，共三十四页，2022年，8月28日linescanandareascanCCDconstruction:第二十一页，共三十四页，2022年，8月28日Linetransfer第二十二页，共三十四页，2022年，8月28日ColorCCD第二十三页，共三十四页，2022年，8月28日一、图像坐标系、摄像机坐标系与世界坐标系图像坐标系：

以像素为单位的直角坐标系：以物理单位（mm）为单位的直角坐标系：每个像素在X，Y方向上的物理尺寸为dX和dY2.2摄像机透视投影模型第二十四页，共三十四页，2022年，8月28日用齐次坐标和矩阵表示：逆关系为：第二十五页，共三十四页，2022年，8月28日摄像机成像几何关系如图。摄像机坐标系：摄像机焦距：世界坐标系：点P在两个坐标系下的齐次坐标分别为：R为3×3正交单位矩阵；t为三维平移向量；0=（0，0，0）T；M1为4×4矩阵第二十六页，共三十四页，2022年，8月28日二、针孔成像模型

线性摄像机模型。中心射影或透视投影。第二十七页，共三十四页，2022年，8月28日

为x

轴上尺度因子，或称为x轴上归一化焦距；为y轴上尺度因子，或称为y

轴上称为归一化焦距；M为3×4矩阵，称为投影矩阵。第二十八页，共三十四页，2022年，8月28日M1由决定，称为摄像机内部参数；

M2由摄像机相对于世界坐标系的方位决定，称为摄像机外部参数。确定某一摄像机的内外参数，称为摄像机定标。

已知道摄像机的内外参数，就已知投影矩阵M，任何空间点P坐标Xw=（Xw，Yw，Zw，1）T，可求出它的图像点p的位置（u,v）反过来，如果已知某空间点P的图像点p的位置（u,v），即使已知摄像机的内外参数，Xw也是不能唯一确定的。第二十九页，共三十四页，2022年，8月28日三、非线性模型实际上，由于实际的镜头并不是理想的透视成像，而是带有不同程度的畸变，使得空间点所成的像并不在线性模型所描述的位置，而是在受到镜头失真影响而偏移的实际像平面坐标：理想图像点与实际图像点第三十页，共三十四页，2022年，8月28日

径向畸变（a：桶形畸变；b：枕形畸变）切向畸变（实线：无畸变；虚线：有畸变）第三十一页，共三十四页，2022年，8月28日

透镜非线性畸变模型

径向畸变

切向畸变第三十二页，共三十四页，2022年，8月28日2.3摄像机透视投影近似模型一、正投影

最简单的线性近似称为正投影（orthographiprojection）。这种近似完全忽略了深度信息。在这种投影方式下，物体到摄像机的垂直距离（深度信息）和物体到光轴的距离（位置信息）都完全丢失了。因此，它只在这两种信息确实可以忽略时才可使用。正投影的公式为x=X，y=Y