大足中学高2023级第三学期期末复习自主质量检测(二)【教师版】

大足中学高2023级第三学期期末复习自主质量检测（二）数学试题（理科）命题：陈卫军一、精心选一选（）1．两条平行线，间的距离等于（）A. B. C. D.【答案】A2．设a，b，c是空间三条直线，，是空间两个平面，则下列命题不成立的是（）A．当时，若⊥，则∥B．当，且是a在内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当时，若b⊥，则D．当，且时，若c∥，则b∥c【答案】D3．已知△ABC的斜二侧直观图是边长为2的等边△A1B1C1，那么原△ABC的面积为A．2eq\r(3)B.2eq\r(6)C．eq\r(3)D.eq\r(6)【答案】B4．在圆的切线中，满足在两坐标轴上截距相等的直线共有（）A.2条 B.3条 C.4条 D.5条【答案】C5．已知两圆相交于，两点，且这两圆的圆心均在直线上，则点不满足下列哪个方程（）A. B. C. D.【答案】D6．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，则双曲线的渐近线方程是（）A. B. C. D.【答案】D7．若直角三角形的斜边与平面平行，两条直角边所在直线与平面所成的角分别为，则（） A． B． C． D．【答案】B【解析】∵直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则θ1+θ2≤90°（当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等）则sin2θ1+sin2θ2≤1（当且仅当三角形所在平面与α垂直时取等）故选B8．已知抛物线焦点恰好是椭圆的右焦点，且两条曲线交点的连线过点，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为()A.3：1B.3:2C.【答案】B10．设抛物线的焦点为F，过点作一条直线交抛物线于A、B两点，并且交抛物线的准线于点C，，△BCF与△ACF的面积之比（）A. B. C. D.【答案】A二、细心填一填（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）11．抛物线的焦点坐标为。【答案】12．已知A(3,5，－7)和点B(－2,4,3)，点A在x轴上的射影为A′，点B在z轴上的射影为B′，则线段A′B′的长为【答案】3eq\r(2)13．一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为。【答案】14．椭圆的内接矩形的面积的最大值为。【答案】15．若椭圆和椭圆的离心率相同，且，给出如下四个结论：①椭圆和椭圆一定没有公共点；②；③；④，则所有结论正确的序号是。【答案】①②三、耐心答一答（本大题共6小题，前三题各13分，后三题各12分，满分75分）16．已知过点P（1，4）的直线l在两坐标轴上的截距均为正值，当两截距之和最小时，求直线l的方程。解：设l:y－4=k(x－1),(k<0)L在两轴上的截距分别为a,b.则a=1－,b=4－k,因为k<0,－k>0,>0a+b=5+(－k)+5+2=5+4=9。当且仅当－k=即k=－2时a+b取得最小值9。所以，所求的直线方程为y－4=－2(x－1),即2x+y－6=017．已知方程的图形是圆。（1）求的取值范围；（2）求其中面积最大的圆的方程；（3）若点恒在所给圆内，求的取值范围。解：（1）方程即为所求的范围。（2）=时，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是（3）当且仅当时，点在圆内。为所求的取值范围。18．如图，已知，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足，。（1）求动点Q的轨迹方程；（2）设过点A的直线与Q的轨迹交于E、F两点，，求直线、的斜率之和。解：（1）设，因为，所以，又，所以，，由已知，则，，即Q点轨迹方程为。………………（5分）（2）设过点A的直线为，、，联立方程组，消去得，，，又，，所以，由得。………………（12分）19．如图，在四棱柱ABC—A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA1=4，AB=2，点E在棱CC1上，点E是棱C1（1）求证：无论E在任何位置，都有A1E⊥BD（2）试确定点E的位置，使得A1—BD—E为直二面角，并说明理由。（3）试确定点E的位置，使得四面体A1—BDE体积最大。并求出体积的最大值。解：（1）因为AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，所以（2）由（1）得，所以二面角A1—BD—E的平面角为.令，则易得又因为（3）因为另一方面，因为，所以，过E作的垂线与H，则必有，从而所以当EH最大时，四面体A1—BDE体积最大。所以当E点和重合时体积最大。此时，从而20．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为eq\r(2)，且过点(4，－eq\r(10))．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0；(3)求△F1MF2的面积．(1)解：因为e＝eq\r(2)，所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ．因为双曲线过点(4，－eq\r(10))，所以16－10＝λ，即λ＝6．所以双曲线方程为x2－y2＝6．(2)证明：由(1)可知a＝b＝eq\r(6)，所以c＝2eq\r(3)．所以F1(－2eq\r(3)，0)，F2(2eq\r(3)，0)．所以＝eq\f(m,3＋2\r(3))，＝eq\f(m,3－2\r(3))，·＝eq\f(m2,9－12)＝－eq\f(m2,3)．因为点(3，m)在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2＝3．故·＝－1，所以MF1⊥MF2．所以eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0．(3)解：△F1MF2的底边长|F1F2|＝4eq\r(3)，△F1MF2的高h＝|m|＝eq\r(3)，所以＝6．21．椭圆的离心率，。（1）求椭圆C的方程；（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明：为定值。并