工程有限元方法接触非线性讲义

有限元方法与应用

接触非线性张有为工程力学系接触非线性要点接触非线性概述接触界面条件接触问题的求解方案接触问题的有限元方程有限元方程的求解方法1接触非线性概述接触非线性的来源：由随时间发生变化的接触状态引起，主要包括接触界面的区域大小和相互位置以及接触状态不仅事先未知，且都随时间发生变化，需要在求解过程中确定接触条件的非线性，包括①接触物体不可相互侵入，②接触力的法向分量只能是压力，③切向接触的摩擦条件，其主要特点是单边性的不等式约束，具有强烈的非线性轮轨接触汽车接触碰撞1接触非线性概述引例：

解：由缆绳变形很小，故预紧力可以假定不随变形发生变化，则

2接触界面条件2.1概况基本符号定义

接触体目标体2接触界面条件接触面法向接触力瞬时速度

法向分量切向分量2接触界面条件2.2法向接触条件不可贯穿性法向接触力为压力

接触面间运动学方面的条件，即两物体的位形在运动过程中不允许相互贯穿(侵入或覆盖)接触面间动力学方面的条件，即在不考虑粘附等情况，法向接触力只可能是压力2接触界面条件2.3切向接触条件(1)无摩擦模型若两个物体的接触面是绝对光滑的，或者相互间的摩擦可以忽略，则采用无摩擦模型

两个物体的接触面的切向可以自由的相对滑动2接触界面条件(2)Coulomb摩擦模型库仑摩擦模型因其简单和适用性而广泛应用于工程分析中，其认为切向接触力的数值不能超过它的极限值，即

摩擦系数

且表明切向相对滑动速度与摩擦力的方向相反3接触问题的求解方案3.1接触问题求解的一般过程试探－校核迭代求解方法：根据前一步结果和本步给定的载荷条件，通过接触条件的检查和搜寻，假设此步第1次迭代求解时的接触面的区域和状态根据上述关于接触面区域和状态所作的假设，对于接触面上的每一点，将运动学或动力学上的不等式约束改为等式约束作为定解条件引入方程并进行求解利用接触面上和上述等式约束所对应的动力学或运动学的不等式约束条件作为校核条件对解的结果进行检查若不违反接触条件，则完成本步求解并转入下一增量步否则转入1再次进行搜寻和迭代求解，直到每一点的解都满足校核条件3接触问题的求解解方案3.2接触面的定解条条件和校核条件件接触状态定解条件校核条件接触粘结滑动分离3接触问题的求解解方案3.3接触问题的虚位位移原理其中接触力虚功，具具体形式待定(拉格朗日乘子法法和罚函数法中中不同)惯性力虚功外力虚功内力虚功3接触问题的求解解方案3.4拉格朗日乘子法法拉格朗日乘子原问题等式约束简单求解方法拉格朗日乘子法3接触问题的求解解方案原问题题中不不包含含接触触约束束条件件的总总位能能拉格朗朗日乘乘子法法引入入约束束条件件的附附加泛泛函3接触问问题的的求解解方案案(1)粘结接接触状状态拉格朗朗日乘乘子拉格朗朗日乘乘子的的意义义拉格朗朗日乘乘子与与接触触力相相对应应粘结状状态时时的接接触力力虚功功3接触问问题的的求解解方案案接触力力虚功功(2)无摩擦擦状态态拉格朗朗日乘乘子的的关系系接触力力虚功功(3)滑动摩摩擦状状态3接触问问题的的求解解方案案拉格朗朗日乘乘子法法的优优缺点点：可使得得约束束条件件得到到精确确满足足增加了了方程程的自自由度度数求解方方程的的系数数矩阵阵中包包含零零对角角元素素3接触问问题的的求解解方案案惩罚因因子原问题题等式约束罚函数法3.5罚函数数法3接触问问题的的求解解方案案原问题题中不不包含含接触触约束束条件件的总总位能能罚函数数法引引入约约束条条件的的附加加泛函函3接触问问题的的求解解方案案(1)粘结接接触状状态惩罚因因子接触力力与惩惩罚因因子的的关系系粘结状状态时时的接接触力力虚功功3接触问问题的的求解解方案案(2)无摩擦擦状态态时的的接触触力及及接触触力虚虚功(3)滑动摩摩擦状状态时时的接接触力力及接接触力力虚功功3接触问问题的的求解解方案案罚函数数法的的优缺缺点：：不增加加方程程的自自由度度数求解方方程的的系数数矩阵阵保持持正定定只能使使得约约束条条件得得到近近似满满足罚函数数太大大将导导致显显式解解法的的时间间步长长临界界值降降低罚函数数太大大可能能导致致两个个接触触体的的相对对运动动发生生虚假假反向向，使使得解解的过过程不不稳定定4接触问问题的的有限限元方方程4.1接触界界面的的离散散处理理接触块块接触点点对接触块块(或线)：单元上上处于于接触触面上上的面面(或边)二维问问题的的主被被动接接触线线一被动动接触触块与与多个个主动动接触触块相相接触触4接触问问题的的有限限元方方程例：二维维四节节点等等参单单元接接触点点对相相对位位移等参插插值：：坐标更更新：：相对位位移：：(全局坐坐标系系)相对位位移：：(局部坐坐标系系)4接触问问题的的有限限元方方程等效节节点接接触力力接触力力虚功功：每一接接触对对上等等效接接触力力的虚虚功接触点点对数数4接触问问题的的有限限元方方程4.2拉格朗朗日乘乘子法法求解解T.L.格式有有限元元方程程U.L.格式有有限元元方程程等效节节点接接触力力向量量等效节节点接接触力力向量量4接触问问题的的有限限元方方程分离形形式T.L.格式有有限元元方程程U.L.格式有有限元元方程程4接触问问题的的有限限元方方程4.3罚函数数法求求解T.L.格式有有限元元方程程U.L.格式有有限元元方程程