《数学史》期末考试试题及其知识点总结

4-《数学史》期末考试试题及其知识点总结目录TOC\o"1-1"\h\u4171《数学史》期末复习要点 -1-193《数学史》期末考试题（一） -17-596《数学史》期末考试题（二） -34-17707《数学史》期末考试题（三） -45-9382《数学史》期末考试题（四） -54-21029《数学史》期末考试题（五） -59-23049《数学史》期末考试题（六） -72-29861《数学史》期末考试题（七） -78-9126《数学史》期末考试题（八） -86-6425《数学史》期末考试题（九） -95-29834《数学史》期末考试题（十） 103《数学史》期末复习要点一，基本概念数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。古希腊三大著名的几何问题是：化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形；倍立方体，即求作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；三等分角，即分任意角为三等分。九章算术是中国古典数学最重要著作。刘徽的数学成就最突出的是“割圆术”和体积理论。祖冲之圆周率上下限为。《数书九章》的作者是秦九韶变量数学的第一个里程碑是解析几何的发明。欧拉是史上最多产的数学家。高斯一生至少给出过二次互反律8个不同的证明。10、高斯1801年发表了《算术研究》后，数论作为现代数学的一个重要分支得到了系统的发展。11、《数书九章》明确的、系统的叙述了求解一次同余方程组的一般解法。12、非欧几何的发明首先由罗巴切夫斯基发表。13、1900年法国数学家希尔伯特提出23个数学问题。14、1994年英国数学家wilson证明了费马大定理。15、Cantor（康托尔）系统发展了集合论。16、中国数学家陈景润证明了[1,2]。宋元数学最突出的成就之一是高次方程的数值求解。宋世杰的代表著作是“算学启蒙”和“四元玉鉴”。罗巴切夫斯基最早最系统地发表非欧几何的研究成果。黎曼1854年创立了更广泛的几何是黎曼几何。统一几何理论是德国数学家克莱因。我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想中取得世界领先的成果。二、历史人物或历史事件（线索）古希腊第一个数学家：泰勒斯。0符号由哪国家创造：印度。哪个学派信仰“万物皆数”：毕达哥拉斯。体现中国古代数学成熟的著作：《九章算术》。流数是指什么：微商。数学符号系统化归功于哪个数学家：韦达。第一个中译本《几何原本》是谁翻译：徐光启，利玛窦。三角形内角和小于180度是哪种几何：非欧黎曼罗巴切夫斯基二次互反律谁证明；高斯。中国古代数学三次发展高潮：两汉，南北朝，宋元。通过哪两本纸草书研究古埃及的：《莱茵德纸书》，《莫斯科纸书》。费尔马大定理及谁攻破：x^n+y^n=z^n维尔纳。哪年希尔伯特发表23个问题：1900.8.5笛卡尔万能方法:中国第一位获得数学博士：胡明度。国际数学发展中心的转移，“后继数”谁提出：佩亚诺。谁创立信息论：香农。谁创立四元数：哈密顿。阿波罗尼奥斯关于曲线著作：《圆锥曲线》第一个证明一般五次及五次以上方程没有根式解的数学家：阿贝尔。代数学一词来源于谁著作：花拉子米。《缉古算经》作者：王孝通。用现存什么研究美索不达米亚数学成就，中文“代数”“法线”一词谁创造：李善兰。古希腊作图只用什么工具：圆规，直尺。历史上最伟大的数学家，数学最高奖，欧拉创立哪些符号，我思故我在是谁的名言：笛卡尔。数理统计奠基人：费歇尔。托勒玫定理是什么控制论谁创立：维纳。谁创造对数：纳皮尔。中国最早的经书《周髀算经》。物不知其数在哪本著作出现，斐波那去数列：T=T(n-1)+T(n-2)。毕达哥拉斯如何解释数学20世纪纯数学特征，公理化三个原则：相容性，独立性，完备性。历史上最伟大女数学家：爱米诺特。三、基础知识欧几里德《几何原本》是数学史上第一座理论丰碑《原本》是数学史上第一座理论丰碑，它最大的功绩是在数学中确立了演绎范式.这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样推理的出发点是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理——公设或公理。公理化思想不仅对数学，还是后世其他科学的发展均产生了巨大的影响。牛顿、爱因斯坦等在自己的的研究和理论创立中，都借鉴了这种模式，欧氏几何逐步成为一个逻辑结构严谨而完善的几何体系，使数学的公理法基本形成，促进了整个数学的发展。"数学史分期（简述）一、数学的起源与早期发展（公元前6世纪前）二、初等数学时期（公元前6世纪前—16世纪）（1）、古代希腊数学（公元前6世纪前—6世纪）（2）、中世纪东方数学（3世纪—15世纪）（3）、欧洲文艺复兴时期（15世纪—16世纪）三、近代数学时期（或称变量数学建立时期，17世纪—18世纪）四、现代数学时期（1820’—现在）（1）现代数学酝酿时期（1820’—1870）（2）现代数学形成时期（1870—1940’）(3)现代数学繁荣时期（或称当代数学时期，1950—现在）试述阿基米德的数学成就。一、阿基米德的著述极为丰富，内容涉及数学、力学及天文学等，其中流传于世的有：（1）《圆的度量》（2）《抛物线求积》（3）论螺线》（4）《论球与圆柱》（5）《论劈锥曲面和旋转椭球》（6）《引理集》（7）《处理力学问题的方法》（8）《论平面图形的平衡或其重心》（9）《论浮体》（10）《砂粒计数》（11）《牛群问题》二、阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题。微积分的创立经过半个世纪的酝酿阶段，其中最具代表性的工作是？开普勒与旋转体体积卡瓦列里不可分量原理笛卡尔“圆法”费马求极大值与极小值的方法罗马“微分三角形”沃利斯“无穷算术”试述《九章算术》数学成就。《九章算术》的数学成就是丰富和多方面的。一、算术方面分数四则运算法则。《九章算术》“方田”章给出了完整的分数加、减、乘、除以及约分和通分运算法则。比例算法。《九章算术》“栗米”、“衰分”、“均输”诸章集中讨论了比例问题，并提出“今有术”作为解决各类比例问题的基本算法。盈不足术。“盈不足”术是以盈亏类问题为原型，通过两次假设来求繁难问题的解的方法。（二）代数问题《九章算术》在代数方面的成就是具有世界意义的。方程术。“方程术”即线性联立方程组的解法。正负数。《九章算术》在代数方面的另一项突出贡献是负数的引进。开方术。给出了开平方和开立方的算法，开创了后来开更高次方和求高次方程数值解之先河。三、几何方面（1）《九章算术》中的几何问题具有很明显的实际背景。（2）《九章算术》中给出的所有直线形的面、体积公式都是准确的。（3）《九章算术》将几何问题算术化和代数化。四、简答题（仅供参考）1、试述欧几里得的伟大贡献及其《原本》的缺陷。要点：欧几里得的伟大贡献：1）开创性地引进公理化方法，建立了数学的演绎体系；2）总结古希腊数学成就，使数学知识特别是几何知识成为一门学科体系，开创了数学教材的先河。《几何原本》的缺陷：1）某些定义借助于直观描述，或措辞含糊不清；有的概念本可以定义，却没有定义；有的定义在以后推理或定义中并没有再使用，等等；2）公理系统不完备，有些公理不独立；3）公理系统的三个基本条件：相容性、独立性和完备性。2、19世纪初数学家们面临18世纪遗留下来的三个最突出的数学问题是什么？要点：1）高于四次的代数方程的根式求解问题；2）欧几里德几何空间中平行的证明问题；3）牛顿，莱布尼兹微积分算法的逻辑基础问题。3、从传统数学到近代数学，经历了哪几个重要的转折点？要点：1）数学研究的基本思想从以常量观念为中心转移到以变量观念为中心；2）数学研究的基本方法从希腊传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法；3）新的观点和新的方法使数学具有更强大的生命力。4、九章算术中的九章是什么？简述《九章算术》的特点。要点：《九章算术》是方田，粟米，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。《九章算术》的特点：1）内容丰富，涉及算术、代数、几何各方面知识，且实用性强；2）以计算为主，重视算法的总结概括，并且有数形结合的特点；3）以题解为中心，在题解中给出算法；4）没有以概念和命题为核心的演绎体系的痕迹，实用性及以算为主是其基本特点。5、试述近代数学发展的几个重要特点。要点：1）算术、代数与几何相结合并共同发展；2）纯粹数学与应用数学密切结合，互相促进，并产生新的结合发展的趋势；3）数学研究走向社会化和专业化。6、试述非欧几何的基本思想以及罗巴切夫斯基创立非欧几何地历史意义。要点：非欧几何的基本思想：用与欧氏第五公设相反的命题作为替代公设，由此出发进行逻辑推导而得出一连串新几何学的定理，这些定理并不包含矛盾，因而在总体上形成了一个逻辑上可能的、无矛盾的理论，即新的几何学——非欧几何学。罗氏非欧几何创立的历史意义：1）罗氏面对传统的数学观，敢于抗争和批判，勇于坚持真理，为后人树立了良好的榜样；2）这是一次数学思想上的巨大突破，它扩大了人们对空间的认识，从此几何学将从欧氏几何的狭窄天地里转到研究各种不同的几何空间，如欧氏空间、罗氏空间、黎氏空间、放射空间等。7、概述数学史上的三次数学危机及其影响。要点：第一次数学危机是不可通约量即无理数的发现，它导致希腊数学家在数的概念面前止步了，结果阻碍了代数学的发展，但却促进了综合几何学的形成和发展。第二次数学危机是微积分的基础问题，特别是无穷小量概念问题，它导致数学陷入自相矛盾的境地，结果出现了一场针对微积分基础的大论战。微积分基础问题的解决导致众多数学分支的创立，如数学分析、微分方程、复变函数、变分法、微分几何等。第三次数学危机是集合论的基础问题，它使许多数学家卷入了关于数学基础的大辩论，结果导致数学三大学派的形成。8、简述20世纪应用数学的特点。要点：1）数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透；2）纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透，如数论在密码学中的应用；3）现代数学在生产技术中的应用变得越来越直接，如现代大规模生产的管理决策、产品质量控制等直接依赖于线性规划算法与统计方法；4）现代数学在向外渗透的过程中，产生了一些相对独立的应用学科，如数理统计、运筹学、控制论等。9、牛顿创立微积分，必须解决哪几个基本问题？要点：1）纯净概念——特别是建立变化率的概念；2）提炼方法——提炼各种解决具体问题的方法，使其具有普遍意义；3）改变形式——把概念和方法的几何形式变成解析形式，使之应用更广。10、简述20世纪数学的特点。要点：1）以集合论、数理逻辑为基础，开创了数学元认知的研究，出现了针对数学基础的三大学派；2）数学理论更加抽象，出现代数化、拓扑化的趋势，如代数几何、代数数论、代数拓扑等；3）电子计算机进入数学计算，开创了新的数学分支——计算数学，并开始机器证明；4）应用数学出现众多的新分支，数学向生物学、经济学、社会学、语言学等几乎所有的领域进军。11、简述笛卡尔创立解析几何的思想要点：解析几何的基本思想是在平面上引进所谓的“坐标”的概念，并借助这种坐标在平面上的点和有序实属对（x,y）之间建立一一对应的关系，每一对实数（x,y）都对应平面上的一个点；反之，每一点都对应于它的坐标（x,y）以这种方式可以将一个方程f（x,y）=0与平面上一条曲线对应起来，于是几何问题便可归结为代数问题，并反过来通过代数问题的研究发现行的几何结果。12、简述元末明初中国数学停滞不前的原因？要点：1）日趋严重的停滞性与腐朽性；2）数序发展缺少社会动力和思想刺激；3）科举考试中的《明算科》完全废除；4）中国传统数学本身也存在着弱点；5）筹算本身有很大的局限性；6）数学符号没有彻底的改变；7）笔算数学还有演绎几何，在中国的传播都由于“天朝帝国”的妄大，自守而显得困难和缓慢。13、与19世纪相比，二十世纪数学发展有什么特征？要点：1）更高的抽象性；2）更高的统一性；3）更深入的基础探讨。14、古希腊三大作图难题要点：1）化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形；2）倍立方体。即求一个立方体使其体积等于已知立方体的两倍；3）三等分角，即分任意角为三等份。15、对数学基础有不同理解的三大学派是什么？要点：1）以罗素为代表的逻辑主义；2）以布劳威尔为代表的直觉主义；3）以希尔伯特为代表的形式主义。16、在文艺复兴时期，变量数学产生主要背景是什么？P137要点：1）机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；2）世界贸易的高涨促使航海事业的空前发达，而测定船舶位置问题要求准确的研究天体运动的规律；3）武器的改进刺激了弹道问题的研究。五、论述题（要点仅供参考）1．试述早期古希腊数学的特点，并分析其局限性。要点：早期古希腊数学的特点：1）既继承了前一时期巴比伦数学和古埃及数的丰硕成果，又进行了创造性的研究活动，提出了关于数学的观点、理论和方法；2）与他们的数学观相联系，希腊数学家把数学研究的领域大大扩充了，数学的范围涉及几何、算术、数论、天文学和音乐等；3）希腊数学家把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题的真理性的一个基本方法，从而建立了数学的演绎体系，使数学从经验知识上升为理论知识，真正意义的数学科学从此诞生（其标志是欧几里得《几何原本》）。早期古希腊数学的缺陷：1）只接受有理数，不承认无理数，结果限制了数的概念的发展，阻碍了代数学的研究。这种状况使古希腊的几何学是理论的、演绎的，而它的算术则主要是经验的、计算的，因而导致几何学与算术，数与形之间的长期分裂；2）即使在他们最擅长的几何学里，也只是局限于研究那些能用直尺、圆规构造出来的那些图形。这种做法极大限制了几何学的研究范围。2．函数概念的发展经历了哪几个阶段？试给出最后两个阶段的函数定义，并分析其异同。要点：函数概念发展经历了几何定义、解析定义、变量定义、对应定义和集合定义等五个阶段。其中对应定义是黎曼给出的，即：在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，按照某个对应关系，y都有唯一确定的值与它对应，那么就把y称为x的函数，x称为自变量。集合定义是康托尔给出的，即：A和B是两个集合，如果按照某种对应关系，使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应关系称为集合A到B的函数。对应定义与集合定义的共同点是：二者都明确了函数的“对应关系”，并强调“唯一对应”；不同点是：前者只有变量概念，没有集合概念，并将变量y称为自变量x的函数；后者用集合及其元素代替变量概念，并将对应关系称为集合到集合的函数。3．为什么中国古代数学没有形成严密的逻辑演绎体系？试从社会制度、文化观念、筹算系统、研究风格等因素进行分析。要点：1）元代以后，科举考试制度中的《明算科》被完全废除，唯以八股取士，数学社会地位低下；2）中国古代文化强调实用性，务实之风在数学研究中盛行，尽管有算法的总结，但缺乏深入的思辨和逻辑论证的处理，因而数学知识难于形成抽象性的演绎体系；3）筹算系统有很大的局限性，它无法演进为彻底的符号代数，同时也使复杂的演算无能为力；4）中国古代数学家一般以《九章算术》为研究起点，尽管以后编撰了许多数学著作，但都没有摆脱《九章算术》的风格，即一直以具体问题的解决为核心内容，缺乏整个理论的研究与创造。4．论述欧氏几何的意义和非欧几何产生的过程要点：意义是数学史上的一座理论丰碑，它最大的功绩，是在于数学史中演绎范式的确立，这种范式要求的每个命题必须是在它之前已经建立的一些命题和逻辑结论，而所有这样的推理链的共同的出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理。过程：1）最先认识到非欧几何是一种逻辑上相容并且可以描述物质空间、像欧式几何一样正确的新几何学的是高斯，但他除了在给朋友的一些信件中对其非欧几何的思想有所透露外，高斯生前并没有发表过任何关于非欧几何的论著，这主要是因为他感到自己的发现与当时流行的康德空间哲学相抵触，担心世俗的攻击。2）波约希望通过高斯的评价而将自己关于非欧几何的研究公诸于世；3）在非欧几何的三位发明人中，只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫自己的新思想的一位。5．什么是赌注分配问题？并论述概率论产生的过程。（1）合理赌注问题是：甲乙两人同掷一枚硬币，规定：正面朝上，甲得一点，若反面朝上，乙得一点，先满S点者赢全部赌注，现假定甲乙各得a(a<s),b(b<s)点时，赌局中止了，问应该怎样分配赌注问题才算合理。（2）概率论产生的背景：概率论起源于赌博问题的研究。十六世纪的意大利学者卡丹与塔塔利亚等人已从数学角度研究过赌博问题。卡丹等人的思想并未引起重视，概率概念要旨也不明确，很快就被人遗忘a.概率概念的要旨只是在帕斯卡与费尔玛的讨论中才比较明确。他们研究的问题“合理分配赌注问题”实际上是一特定场合下“数学期望”问题。费尔玛和帕斯卡虽然在通信中没有明确定义概率的概念，但是他们定义了使某某赌徒取胜的机遇，也就是赢的情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率。所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费尔玛开始的b.第一个提出“数学期望”这一概念的是荷兰数学家惠更斯。他在1657年发表《论赌博中的推理》，文中提出：“在赌局开始之前，对每一个赌徒来说已有了关于结局的一种期望……”。在数学史上，顺序是这样产生的，先有“期望”概念，而古典概型的概率定义，完成可以从期望概念中导出来。c.雅各.伯努利将概率论这门科学牢固地建立在数学的基础上，提出来了大数律。他认为：先前人们对概率概念，多半从主观方面来解释，即说成一种“期望”，这种期望是先验的等可能性的假设，是以古典型为依据的。这种方法有极大的局限性，也许在赌博中可用，但在更多的场合，这种方法就不可行。需要从主观的“期望”解释转到了客观的“频率”来解释。伯努利是现代概率论真正的奠基人。6．试述非欧几何的基本思想以及罗巴切夫斯基创立非欧几何地历史意义，并说明数学发展的曲折性。同简答题6，曲折性：数学史不仅仅是单纯的数学成就的编年记录，数学的发展决不是一帆风顺，在更多的情况下是充满犹豫、徘徊、要经历艰难曲折，甚至会面临危机。数学史也是数学家克服困难和战胜危机的斗争，无理量的发现，微积分和非欧几何的创立，乃至费马大定理的证明……无不充分说明了这一点。计算题：主要是九章算术中的题目，如P72，P73，还有百鸡问题今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？《孙子算经》（要求用解同余式组数论方法）这相当于求解一次同余组列成算式是解得符合条件的最小正整数解2、《张邱建算经》和“百鸡问题”今有鸡翁一、直线五；鸡母一，直线三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？（要求用不等式组解）此题相当于解不定方程组解得；；三组解，它们恰好是所有可能的正整数解。则相当于给出正解。论述题：试述牛顿创立微积分？笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》引导牛顿走上创立微积分之路。牛顿对微积分的研究始于1664年秋，当时他对笛卡尔求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法，就在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小且最终趋于零的增量。1665年11月发明“正流数术”（微分法）1666年5月建立“反流数术”（积分法）1666年10月整理出《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景。特别重要的是《流数简论》中讨论了如何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓的“微积分基本定理”。在牛顿之前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，这是他超越前人的功绩，所以说牛顿发明了微积分。1667年10月—1693年的时间里，牛顿不断改进、完善自己的微积分学说，分别发表了《运用无限多项方程的分析》、《流数法与无穷级数》、《曲线求积术》三篇论文，反映了牛顿对于微积分学说的发展过程。《曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述，牛顿的微积分学说最早的公开表述出现在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》。试述莱布尼茨创立微积分？通过卡瓦列里、帕斯卡、巴罗等人的著作，了解并开始研究求曲线的切线以及求面积、体积等微积分问题。莱布尼茨创立微积分首先是提出几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。1686年莱布尼茨发表了他的第一篇积分学论文《深奥的几何与不可分量及无限的分析》，初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系。他引进的符号体现了积分与微分的“和”与“差”的实质，后来获得普遍接受并沿用至今。五、解释题：1、P85关于祖冲之计算圆周率叙述；2、P43四个悖论的说明；3、P186大教主伯克莱攻击牛顿微积分的原因及后人的解决；4、P79刘徵的话及其意义；5、P298罗素悖论的说明及其对数学发展的意义。六、分析题：1、哈密顿四元数及其意义；2、哥尼斯堡七桥问题及欧拉的解决方法；3、举例说明费马是如何解决函数极值问题的，其方法相当于现今的什么数学方法。七、典型例题1.简述数学史的定义及数学史课程的内容。答：数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展及其与社会政治经济和一般文化的联系。数学史课程的功能可以概括成以下四部分:（1）掌握历史知识：通过学习关于数学的专门知识，更好的从整体上把握数学。（2）复习已有知识：按学科讲述学过的数学知识，系统的提高对该学科的理解。（3）了解新的知识：通过学习数学各学科的发展，了解没有学过的学科的内容。（4）受到思想教育：通过了解数学家为数学而奋斗的高尚品质，陶冶数学情操。2.简述数学内涵的历史发展。答：数学的内涵随时代的变化而变化，一般可分为四个阶段。A数学是量的科学：公元前4世纪。B数学是研究现实世界空间形式与数量关系的科学;19世纪。C数学研究各种量之间的关系与联系：20世纪50年代。D数学是作为模式的科学：20世纪80年代。1.简述河谷文明及其数学。答：历史学家往往把四大文明古国的文明称之为“河谷文明”，因为这些国家是在河流的入海口建立的。尼罗河孕育了埃及文明；底格里斯河、幼发拉底河孕育了巴比伦文明；黄河和长江孕育了中国文明；印度河和恒河孕育了印度文明。埃及、美索不达米亚的数学产生较早，纪元前已经衰微，而印度、中国的数学崛起较晚，却延续至中世纪。2.简述纸草书与泥板文书中的数学。答：古埃及人在一种纸莎草压制成的叶片上书写，幸存至今，被称为纸草书。莱茵德纸草书（现存于伦敦大英博物馆）中有84个数学题目；莫斯科纸草书（现存于俄国普希金精细艺术博物馆）中有25个数学题目；还有其他纸草书。纸草书中的数学知识包括：（1）算术，包括加法运算、单位分数、十进制计数、位置法；（2）几何，包括面积、体积计算和四棱台体积公式。美索不达米亚人用尖芦管在湿泥板上写字，然后将湿泥板晒干或烘干，幸存至今，被称之为泥板文书。出土50万块其中数学文献300块。泥板文书中的数学包括：（1）记数，包括偰形文、60制、位值原理；（2）程序化算法，包括û1.414213；(3)数表；(4)x²–px–q=0,x³=a,X³+X²=a(5)几何，测量、面积、体积公式、相似形、勾股数值。代数学。1.简述几何三大问题及历史发展。答：用圆规和没有刻度的直尺完成作图（称为尺规作图）；（1）画圆为方：作一个与给定圆面积相等的正方形；（2）倍立方体：求作一个正方体，使其体积等于已知正方体体积的两倍；（3）三等分角：分任意角为三等份角。历史发展：从古代希腊开始，人们对三大问题做了不断的探索但没有解决；直到19世纪人们才能用代数学等的知识彻底解决了；彻底解决证明是不可能的，有的人不了解历史有时仍然盲目的研究它。2.简述欧几里得的几何《原本》。答：欧几里德集古代希腊论证数学之大成，写成第一部典范的数学著作几何《原本》。前六卷相当于几何内容。第1卷首先用23个定义给出了点、钱、面、圆以及平行线等原始概念，接着提出了5个公社和5个公理，第2卷主要讨论几何代数，第3卷是与圆有关的一些问题，包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理，第4卷在引入了圆的内接和外切圆形的概念以后，讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作图问题，第5卷讨论了有关量的比例理论，第6卷主要是将激励理论应用于平面几何，其中包括相似三角形等。第7、8、9卷主要研究初等数论。第10卷讨论无理数。后3卷是立体几何的内容.1.简述割圆术及中国古代数学家所计算的圆周率。答：（1）割圆术的要旨：就是用圆内接正多边形去逼近圆“割之弥细，所之弥少“。用圆内接正多边形的周长与面积近似作为圆的周长与面积。2）刘徽计算到正192边形，得到圆周率约为3.14，以分数157/50近似代替圆周率，称之为徽率。祖冲之计算的圆周率3.1415926<圆周率<3.1415927以分数22/7近似代替圆周率称之为约率，以分数355/113近似代替圆周率称之为密率，又称之为祖率。2.简述“天元术”与“四元术”。答：（1）天元术：解一元高次方程的方法，“立天元为某某”“相当于设X为某某”类似为代数中的列方程法。（2）四元术：解多元高次方程组的方法，以“天”、“地”、“人”、“物”来表示四个不同的未知量，并且用固定的格式求出来。1.简述巴克沙拉里手稿与印度记数法。答：公元前2世纪至公元3世纪的时期印度人在桦树皮上记录了数学知识被自然界变迁埋在地下，1881年在巴克沙利村（今巴基斯坦西北地区）被挖掘出来从而称为巴克沙利手稿。它的主要内容是:分数，平方根，收支与利润的计算，比例计算，级数求和，代数方程（一次方程，二次方程），数学符号。现在用的计数法是印度人创造的：（1）公元前2世纪至公元3世纪在巴克沙利手稿中记录了完整的十进制计数法用“.”表示零；（2）公元9世纪“.”变为椭圆即现在的“。”记录在瓜廖尔石碑中；（3）公元11世纪有零号的印度数码和十进制记数法已成熟了；（4）公元8世纪传入阿拉伯，13世纪由阿拉伯传入欧洲，阿拉伯数码的名字由此而来。2.简述阿拉伯的代数学。答:阿拉伯的数学成就首先表现在代数方面。阿拉伯数学家阿尔.花拉子米写了重要的代数著作被称为代数学之父，他的《还原与对消计算概要》一书论述了移向与合并同类项，将一元二次方程分成六种类型进行研究并给出了一般的代数解法及解法的几何证明。阿拉伯数学家奥玛.海雅姆对代数学最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方程，他将求方程转化为与半圆的支点的横坐标。1.简述欧洲文艺复兴时期的代数学。答：欧洲在数学上的推进从代数学开始，人们集中研究三、四次方程尤其是三次方程。意大利数学家费罗、塔尔塔利亚各自得到了三次方程的求根公式，卡尔丹将该公式发表在他的著作《大法》中后人称为卡尔丹公式，不久费拉里找到了四次方程的解法。法国数学家韦达首先把数学符号系统化从而导致代数在性质上产生重大变革，他在《分析术引论》一书中，第一次有意识的使用字母与符号，使代数成为研究一般类型的式子与方程的学问。2.简述解析几何的产生。答：法国数学家奥雷斯姆在其著作《论形态幅度》中借用“经度”“纬度”来描述所谓的图线相当于纵坐标与横坐标。法国数学家笛卡尔的《方法论》一书的附录共3个，其中之一为《几何学》，将方程与曲线对应使几何问题数学化。法国数学家费马在其《论平面与立体的轨迹引论》一书中定义了曲线提出并使用了坐标的概念。由于数学家特别是上述三位数学家的工作使解析几何诞生了。1.简述微积分先驱数学家的贡献。答：微积分的天才思想在古代数学家那就已产生。古希腊数学家阿基米德，中国数学家刘徽、祖冲之父子，求面积、体积产生积分学的萌芽；古希腊及中国关于求变化率、切线产生微分学的萌芽；笛卡尔、费马创造的解析几何为微积分的创立搭设舞台。在牛顿、莱布尼茨之前半个多世纪很多数学家都投入到微积分的研究之中，其中主要的有（一）开普勒对旋转体的体积的研究；（二）卡瓦列里对不可分原理的研究；（三）简卡尔对求切线的“圆法”的研究；（四）费马对极大与极小值的求法的研究；（五）巴罗对微分三角形的研究；（六）沃利斯对无穷算数的研究。正是由于众多数学家都研究了微积分的问题才使牛顿和莱布尼兹创立了微积分。2.简述牛顿的微积分与莱布尼茨的微积分。答：牛顿是在笛卡尔的《几何学》和沃利斯的“无穷算数”的基础上创立微积分理论。1665年11月牛顿建立了“正流数术”；1666年5月牛顿创立了“反流数术”；1666年10月牛顿写了总结性论文《流数简论》。牛顿继续研究流数术相继完成了三篇论文《分析学》、《流数法》、《求积术》，并且以极限法作为微积分的基础，牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中最早公开表述微积分学说。莱布尼兹从几何问题出发，发现了求曲线的切线与面积的互逆关系。1684年他发表了《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，1686年他发表了《深奥的几何与不可分量及无限的分析》。1.简述微积分的发展。答:大不列颠以泰勒、麦克劳斯、棣莫弗、斯特林继承和发展了牛顿创立的微积分；欧洲大陆以伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日为代表继承和发展了莱布尼茨创立的微积分。微积分的发展分为5个方面：（1）积分技术与椭圆积分：包括变量替换、部分分式积分，椭圆积分；（2）微积分向多元函数的推广：包括偏导数和多重积分；（3）无穷级数理论：包括收敛性、调和级数、判别法；（4）函数概念的深化；（5）微积分严格化的尝试：其中主要著作有达朗贝尔的《科学、艺术和工艺百科全书》，拉格朗日的《解析函数论》。代表学科：分析学和分析。2.简述分析学在18世纪的新分支。答：分析学在18世纪有3个分支：（一）常微分方程：包括积分因子法，变易系数法。例如：微分方程，常微分方程。（二）偏微分方程（又称数学物理方程）这一分支有两位著名的数学家进行了研究：其中达朗贝尔研究弦的振动，得出所满足的微分方程，并求出某种形式的通解：拉普拉斯研究弦的振动，得出所满足的偏微分方程（位势方程），通常称为拉普拉斯方程。（三）变分法：欧拉对于变分问题给出了一般的处理，得出了变分法的基本方程，常称为“欧拉方程”。1.简述伽罗瓦对代数学的贡献。答：法国数学家伽罗瓦的工作原理是在拉格朗日、高斯、柯西、阿贝尔等人的工作启发之下完成的。他在拉格朗日的基础上提出了“置换群”、“子群”、“正规子群”、“极大正规子群”等全新的数学概念。伽罗瓦研究根的排列，实际上建立了置换群。1829-1831年，伽罗瓦发现了代数方程可用根式解的基本定律——伽罗瓦基本定律。判断根式可解的充要条件。问题转化为域，建立了子域与子群的对应关系，给出了根式可解得充要条件，开辟了代数学的新纪元。2.简述19世纪的数论。答：高斯1801年著书《算数研究》对代数数论进行了总结并发长了此数论。高斯研究了同余理论、复整数型的理论，使数论成为现代数学的一个重要分支，复整数理论开辟了代数理论。库默尔对代数数论作出了重要贡献。例如：费马定理的证明，唯一因子分解定理和理想数理论。1.简述非欧几何的产生。答：研究欧几里德平行公社由来已久，19世纪进入研究的活跃时期。克里格尔对平行公理能否有其他公理推出表示怀疑。兰伯特通过替代平行公社而展开无矛盾的几何学著作《平行线理论》。高斯建立并相信一种逻辑上相容并且可以描述物质空间像欧氏几何一样正确的几何学。Ｊ.波约（匈牙利）著《绝对空间的几何学》，给出了非欧几何。罗巴切夫斯基是俄国数学家，他1826年发表《简要论述平行线定理的一个严格证明》，1829年完成《论几何原理》；1835-1838年完成《具有完备的平行线理论的新几何原理》，1840年完成《平行理论的几何研究》，他最早发表并捍卫自己的理论，被成为罗巴切夫斯基几何，简称为罗氏几何。2.克莱茵的爱尔朗根纲领。答：各国数学家克莱茵于1872年在爱尔朗根大学发表的数学教授就职演说称之为“爱尔朗根纲领”。“爱尔朗根纲领”阐述里几何学统一的思想：所谓几何学，就是研究几何图形对某类变换群保持不变性质的学科，或者说，任何一种几何学只是研究与特定变换群有关的不变量，从而，变化群本的任意一种分类也就对应于几何学的一种分类。1.简述柯西与魏尔斯特拉斯对分析学严格化的贡献。答：柯西是十九世纪前半世纪的法国著名数学家。他与1817年出版了《纯粹分析证明》一书，又于1821年和1823年分别出版了《分析教程》和《无穷小计数教程》。他特别是对变量、函数、极限、无穷小量、连续函数、导数与微分、积分和级数的研究做出了突出贡献。威尔斯特拉斯创造了一套科学的语言，重新定义了极限、连续、导数等分析基本概念，引进了一致收敛性，分析学今天的严格形式被确定。1.简述20世纪纯粹数学发展的主要趋势。答：20世纪纯粹数学发展的主要趋势是更高的抽象性，更强的统一性，更深入的基础探讨。更高的抽象性：集合论观点的渗透和公理化的应用，使20世纪纯粹数学具有更高的抽象性，以实变函数、泛函分析、拓扑学、抽样代数具有标志性的四大抽象分支为典型证明与代表。更强的统计性：不同学科的相互渗透、结合的趋势、不同分支领域的数学思想与数学方法的相互融合。更深入的基础探讨：对数学基础的更深入的探讨及由此引起的数理逻辑的发展。2.简述关于数学基础的三大派流。答：数学基础的三大流派是逻辑主义、直觉主义、形式主义。逻辑主义以英国的罗素为代表，认为数学就是逻辑，全部数学可以由逻辑推导出来。直觉主义以荷兰的布劳威尔为代表，认为数学独立于逻辑，坚持数学对象的“构造性”主义。形式主义以德国的希尔伯特为代表，试图将数学彻底形式化为一个系统，数学语句的公式表达，用形式的程序表示推理。1.简述20世纪作为应用数学的新世纪。答：在20世纪，数学产生了空前广泛的应用。（1）数学的应用突破了传统的范围，而向人类几乎所有的知识领域渗透，产生了诸如数理化学、数理经济学、数理心理学等交叉学科。（2）纯粹数学的几乎所有分支都获得了应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透，例如，数论在密码技术、卫星信号传递、计算机、量子力学等学科中发挥重要作用。（3）现代数学对生产技术的应用越来越直接，例如，数值模拟已成为飞行器设计的有效工具，应用于技术部分以替代耗资巨大的实验。（4）现代数学产生了一些相对独立的应用学科，如数理统计、运筹学、控制论等。2.简述计算机对数学的影响。答：计算机对数学产生了重要影响。（1）计算数学的兴旺计算机，促进了各种计算方法的产生，等形计算力学等数学分支。（2）纯粹数学研究与计算机，用计算机解决了重大大数学问题，如证明四色定理，计算机依无可比比拟的计算速度和图像显示动能，帮助数学家猜测新的事实，发现新的定理，如孤立子、混沌等。（3）计算机科学中的数学，计算机呼唤新的数学思想，如组合数学、模糊数学、机器证明等，随着计算机科学的发展而进一步发展。1.简述四色定理的证明过程。答：四色问题也称为四色猜想或四色定理：为了给任意一张地图着色，使有公共边界的任何区域颜色不同，至多需要四种颜色。1852年，英国大学生古德里首先提出，1878年法国数学家凯莱的文章《论地图着色》掀起了一场四色问题热，1879年英国肯波引入“不可避免集”与“可约性”两个关键概念，1900年希伍德证明五色定理，1969年德国希斯找到解决问题的“放电算法”。1976年6月，美国哈肯与阿佩尔借助计算机最终给与证明，计算机时间1200小时，计算机程序先后修改了500多次。2.简述有限单群分类定理的证明过程。答：如同数论中的素数，物理学中的基本粒子，单群是群论的基本构件，认识有限群转化为认识有限单群。有限单群分类定理：有限单群包括十八个正规无限族（成族出现的群）和26个散在单群（单独出现的群），再没有其他的有限单群了。1954年布饶尔的对合中心化子定理成为单群分类工作的新起点。1962年费特和汤普逊证明了：所有非交换单群都是偶数个元素的群，1972年弋伦斯坦提出解决分类问题的16步纲领，发起最后攻坚战，1980年格里斯找到最后一个散在单群“大魔”，宣告分类定理证明结束。1.简述数学对人类三次产业革命的影响。答:数学发展与社会进步互相促进，数学对社会进步产生了深刻影响，包括物质文明和精神文明。英国瓦特发明蒸汽机以此为代表的第一次产业革命中，利用微积分研制出了计算机；以发动机、电动机和电气通信为标志的第二次产业革命以数学分析和场论为基础建立了电磁理论；以电子计算机、原子能、空间技术为标志的第三次产业革命根据现代数学的各个分支发现了智能公式和控制论。数学中的探索精神对精神文明产生深刻影响。天文学上利用微积分的知识发现了海王星。相对时空论中用到了非欧几何。2.简述菲尔兹奖与沃尔夫奖。答：菲尔兹奖是由加拿大数学家菲尔兹倡议设立，由国际数学联盟评选，在国际数学大会（每四年）颁发，发给40岁以下的年轻人，素有数学诺贝尔奖之称，声誉高但奖金少。沃尔夫奖是犹太工业家沃尔夫捐巨资成立沃尔夫基金会，设立包括数学在内的五种科学奖，由著名数学家组成的评选委员会评选，每年颁发一次，不限年龄，但已获奖的人多为60岁以上者，奖金数额高1.简述西方数学在中国传播的两次高潮。答：西方数学在中国传播出现过两次高潮。第一次高潮的时间是17世纪至19世纪初，是以1606年徐光启译几何《原本》前6卷为标志的，主要内容是初等数学包括三角学、透视学和代数学。19世纪中叶开始西方数学在中国的早期传播出现第二次高潮，以初等数学、解析几何、微积分、无穷级数和概率论等为主要内容，其标志是1859年出版的《代数积拾级》和1880年出版的《决疑数学》。2.简述中国数学会的建立过程。答：中小学数学团体在辛亥革命后就已出现并且有好几处，以1929年在北京建立的《中国数学会》为标志。中国数学会于1934年开始筹备，1935年7月25日在上海正式成立，会议主要议程是交流论文、选举理事和通过章程等，其中出席会议的有33人。中国数学会成立后1936年就出版了两本刊物，一本是《中国数学会报》后来发展成为现代的《数学学报》，另一本是《中国数学杂志》发展成为现代的《数学通报》。《数学史》期末考试题（一）一、填空1、数学史的研究对象是（）；2、数学史分期的依据主要有两大类，其一是根据（）来分期，其一是根据（）来分期；3、17世纪产生了影响深远的数学分支学科，它们分别是（）、（）、（）、（）、（）；4、18世纪数学的发展以（）为主线；5、整数458用古埃及记数法可以表示为（）。6、研究巴比伦数学的主要历史资料是（），而莱因特纸草书和莫斯科纸草书是研究古代（）的主要历史资料；7、古希腊数学发展历经1200多年，可以分为（）时期和（）时期；8、17世纪创立的几门影响深远的数学分支学科，分别是笛卡儿和（）创立了解析几何，牛顿和（）创立了微积分，（）和帕斯卡创立了射影几何，（）和费马创立了概率论，费马创立了数论；9、19世纪数学发展的特征是（）精神和（）精神都高度发扬；10、整数458用巴比伦的记数法可以表示为（）。11、数学史的研究内容，从宏观上可以分为两部分，其一是内史，即（），其一是外史，即（）；19世纪数学发展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）分析基础严密化和（），（2）（）和射影几何的完善，（3）群论和（）；13、20世纪数学发展“日新月异，突飞猛进”，其显著趋势是：数学基础公理化，数学发展整体化，（）的挑战，应用数学异军突起，数学传播与（）的社会化协作，（）的导向；14、《九章算术》的内容分九章，全书共（）问，魏晋时期的数学家（）曾为它作注；15、整数458用玛雅记数法可以表示为（）。16、数学史的研究对象是数学这门学科产生、发展的历史，既要研究其（历史进程），还要研究其（）；17、古希腊数学学派有泰勒斯学派、（毕达哥拉斯学派）、（厄利亚学派）、巧辩学派、柏拉图学派、欧多克索学派和（）；18、阿拉伯数学家（）在他的著作（）中，系统地研究了当时对一元一次和一元二次方程的求解方法；19、19世纪数学发展的特点，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）（）和复变函数论的创立；（2）非欧几里得几何学问世和（）；（3）在代数学领域（）与非交换代数的诞生。20、整数458用古印度记数法可以表示为（）。选择数学史的研究对象是（）；A、数学学科知识B、历史学科知识C、数学学科产生、发展的历史2、中国传统数学以（）为基础，以算为主，寓理于算；A、算筹B、筹算C、珠算3、阿尔-花拉子模称为“平方和根等于数”的方程形如（）；A、X2+2X=3B、X2+2=3XC、X2=2X+34、《九章算术》的作者（）；A、是刘徽B、是杨辉C、不可详考5、柯西把分析学的基础建立在（）之上。A、导数论B、极限论C、集合论三、解释古希腊数学学派阿拉伯数学中国传统数学方程术印度数学6、《几何原本》7、阿尔-花拉子模8、牟合方盖9、筹算10、不可分量原理大衍求一术12、超实数域13．巴比伦楔形文字泥板14．《海岛算经》。15．穷竭法原理16．开方术四、求解用几何直观的方法证明：正五边形的边与其对角线不可以公度。以X2+8X=84为例，说明阿尔-花拉子模求解一元二次方程正根的方法，并给出相应的几何释意。3．以为例，说明泰塔格利亚和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果。4.曲边四边形由XY=k（k0），X=2，Y=0，X=8所围成，试用不可分量原理求该曲边四边形绕Y轴旋转一周所成旋转体体积。5、用古希腊的“几何代数法”求解一元二次方程X2–6X–16=0；6.用秦九韶的“大衍求一术”求解一次同余式组：N1（mod7）2（mod8）3（mod9）7.用几何直观的方法证明：正方形的边与其对角线不可以公度。8.用古希腊的“几何代数法”求解并给出相应的几何释意。五、注释1、“对于给定的两个数分别加上某个数，使它们成为两个平方数。”[丢番图方法]用现代数学符号可以表示为：丢番图的解题方法是：取；构成差3-2=1；取两数积等于该差：；设；解得。要求：分析丢番图解法的要点，并论证其合理性。2、《张丘建算经》卷上第23问：“今有女善织日益功疾初日织五尺今一月日织九匹三丈问日益几何答曰五寸二十九分寸之十五术曰置今织尺数以一月日而一所得倍之又倍初日尺数减之余为实以一月日数初一日减之余为法实如法而一”将题文、术文翻译成现代汉语，注释题文、术文，论述其造术原理。3、“求四个数，使这四个数之和的平方加上或减去这四个数中的任意一个数，所得的仍然是一个平方数。”[丢番图解法]取四组数（65，52，39）、（65，56，33）、（65，60，25）、（65，63，16），令将x1=4056²代入，解得，故(j=1、2、3、4)可求得。要求：分析丢番图解法的要点，并说明其合理性。“今有人持米出三关外关三而取一中关五而取一内关七而取一余米五斗问持米几何答曰十斗九升八分升之三术曰置米五斗以所税者三之五之七之为实以余不税者二之四之六之为法实如法而一”要求：将题文、术文翻译成现代汉语，论述其造术原理。5、“已知一个数为两个平方数之和，把它分成另外两个平方数之和。”[丢番图解法]x²+y²=m²+n²取13=2²+3²，令x²=(+2)²，y²=(2-3)²，由(+2)²+(2-3)²=13，解得=8/5，故x²=324/25，y²=1/25。要求：分析丢番图的解法原理，并探讨其解法的变化；6、“今有与人钱初一人与三钱次一人与四钱次一人与五钱以次与之转多一钱与讫还敛聚与均分之人得一百钱问人几何答曰一百九十五人术曰置人得钱数以减初钱数余倍之以转多钱数加之得人数”要求：将题文、术文翻译成现代汉语，分析其造术原理。7．如图，取KL上任一点Z，使，由于NO非常小，设，则有(1)有，即；类似地，可以得到曲边四边形面积(2)要求：用上例说明巴罗已经认识到微分与积分的互逆关系。8、《九章算术》均输第16问“今有客马日行三百里。客去忘持衣，日已三分之一，主人乃觉。持衣追及与之而还，至家视日四分之三。问主人马不休，日行几何。答曰：七百八十里。术曰：置四分日之三，除三分日之一，半其余以为法。副置法，增三分日之一，以三百里乘之，为实。实如法得主人马一日行。”要求：将题文、术文翻译成现代汉语，注释题文、术文，论述其造术原理。参考答案一、填空（22分）1、数学史的研究对象是（数学这门学科产生、发展的历史），既要研究其历史进程，还要研究其（一般规律）；2、数学史分期的依据主要有两大类，其一是根据（数学学科自身的研究对象、内容结构、知识领域的演进）来分期，其一是根据（数学学科所处的社会、政治、经济、文化环境的变迁）来分期；3、17世纪产生了影响深远的数学分支学科，它们分别是（解析几何）、（微积分）、（射影几何）、（概率论）、（数论）；4、18世纪数学的发展以（微积分的深入发展）为主线；5、整数458用古埃及记数法可以表示为（）。6、研究巴比伦数学的主要历史资料是（契形文字泥板），而莱因特纸草书和莫斯科纸草书是研究古代（埃及数学）的主要历史资料；7、古希腊数学发展历经1200多年，可以分为（古典）时期和（亚历山大里亚）时期；8、17世纪创立的几门影响深远的数学分支学科，分别是笛卡儿和（费马）创立了解析几何，牛顿和（莱布尼茨）创立了微积分，（笛沙格）和帕斯卡创立了射影几何，（帕斯卡）和费马创立了概率论，费马创立了数论；9、19世纪数学发展的特征是（创造）精神和（严格）精神都高度发扬；10、整数458用巴比伦的记数法可以表示为（）。11、数学史的研究内容，从宏观上可以分为两部分，其一是内史，即（数学内在学科因素促使其发展），其一是外史，即（数学外在的似乎因素影响其发展）；19世纪数学发展的特征，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）分析基础严密化和（复变函数论创立），（2）（非欧几里得几何学问世）和射影几何的完善，（3）群论和（非交换代数诞生）；13、20世纪数学发展“日新月异，突飞猛进”，其显著趋势是：数学基础公理化，数学发展整体化，（电子计算机）的挑战，应用数学异军突起，数学传播与（研究）的社会化协作，（新理论）的导向；14、《九章算术》的内容分九章，全书共（246）问，魏晋时期的数学家（刘徽）曾为它作注；15、整数458用玛雅记数法可以表示为（）。16、数学史的研究对象是数学这门学科产生、发展的历史，既要研究其（历史进程），还要研究其（一般规律）；17、古希腊数学学派有泰勒斯学派、（毕达哥拉斯学派）、（厄利亚学派）、巧辩学派、柏拉图学派、欧多克索学派和（亚里士多德学派）；18、阿拉伯数学家（阿尔-花拉子模）在他的著作（《代数学》）中，系统地研究了当时对一元一次和一元二次方程的求解方法；19、19世纪数学发展的特点，可以用以下三方面的典型成就加以说明：（1）（分析基础严密化）和复变函数论的创立；（2）非欧几里得几何学问世和（射影几何的完善）；（3）在代数学领域（群论）与非交换代数的诞生。20、整数458用古印度记数法可以表示为（）。二、选择题数学史的研究对象是（C）；A、数学学科知识B、历史学科知识C、数学学科产生、发展的历史2、中国传统数学以（B）为基础，以算为主，寓理于算；A、算筹B、筹算C、珠算3、阿尔-花拉子模称为“平方和根等于数”的方程形如（A）；A、X2+2X=3B、X2+2=3XC、X2=2X+34、《九章算术》的作者（C）；A、是刘徽B、是杨辉C、不可详考5、柯西把分析学的基础建立在（B）之上。A、导数论B、极限论C、集合论三、解释（28分）古希腊数学学派——公元前6世纪~公元前3世纪，是古希腊的古典时期，当时的哲学家也是数学家，先后形成以一两位杰出人物为中心的组织，开展学术、或政治、或宗教活动，这类组织被称为古希腊哲学学派，亦即古希腊数学学派。他们相继是泰勒斯学派、毕达哥拉斯学派、厄利亚学派、巧辩学派、柏拉图学派、欧多克索学派和亚里士多德学派，他们为初等数学的开创作出重要贡献。阿拉伯数学——公元8世纪~15世纪，在中东、北非和西班牙等地的伊斯兰国家，以阿拉伯文字书写为主的数学著作所代表的数学；为阿拉伯数学作出贡献的人，不止于阿拉伯人，还有希腊人、波斯人、犹太人、甚至有基督徒。阿拉伯数学在世界数学史上有承前启后的作用，有人称之为欧洲近代数学的“继父”。阿拉伯数学的兴衰经历了8~9世纪的初创、9~13世纪的兴盛、14世纪以后外传三个阶段。中国传统数学——从远古到明代，在中国独立产生、发展起来的数学知识体系。它以筹算为基础，以算为主，寓理于算，广泛应用。它有明显的算法化、模型化、程序化、机械化的特征。方程术——载于《九章算术》卷八方程章，按现代数学的观点，方程术是指多元线性方程组的求解方法。方程术采用线性方程组系数的增广矩阵，通过“遍乘”、“直除”的方法，即矩阵的初等行变换，将矩阵化为三角阵，逐一求解各变量的值。这种方法与19世纪德国数学家高斯的方法完全一致，只是矩阵的书写是竖式，转置后与现代的表达完全一样。而且，3世纪的刘徽在注释方程术时，还明确指出方程组有解的条件，即“行之左右无所同存，且为有所据而言耳。”印度数学——6世纪—12世纪，印度文明古国的数学与历法都受婆罗门宗教的影响而发展起来，同阿拉伯、中国都有来往，但记载不详。在印度ganita(计算）载于宗教书，年代不详，公元后该字被分为Pati-ganita(算术)，Bija-ganita(代数)，Krestra-ganita(几何)。“因明”似与逻辑学同义，与数学关系不明，古希腊似的几何论证并不发展，先进的十进位值制，使用记号的代数却发展起来。这个时期有著名的数学家：Arya-Bhatta（476~550）阿利阿伯哈塔Brahmagupta（598~660）婆罗摩及多“梵藏”Bhaskara—Acharya（1114~1185）婆什迦罗6、《几何原本》——公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得的巨著。版本：目前可见最早的是888年希腊文抄本，最早的中译本是1607年徐光启笔译，后来1857年李善兰续中译本，1925年T.LHeath英译本比较权威，1990年有中译本。内容：原版13卷，后人有扩充成15卷的版本。13卷的内容包括：[1]直线形，[2]几何代数法，[3]圆，[4]多边形，[5]比例论[6]相似形，[7][8][9]数论，[10]不可公度比，[11]立体图形，[12]求积术，[13]正多面体；这些数学知识可以追溯到古希腊古典时期的数学学派，乃至巴比伦和古埃及。特征：1．大量引用古希腊古典时期数学家的数学成就；2．采用独特的编写方式：先给出定义，公设，公理，再由简到繁，由易到难地证明一系列命题；首次用公理化方法建立数学知识逻辑演绎体系，成为后世西方数学的典范。7、阿尔-花拉子模——(约780~840，一说850)(A-Khowarizmi，MohammedibnMusa)曾担任巴格达“智慧宫”的主持人，著有《代数学》、《Al-jabrW`almuqabala》《Algebra》，意为“复原”与“化简”；其中，讨论一元一次、二次方程求解：用“数”、“根”、“平方”分别表示：常数、x、x²，研究以下形式的方程：ax²=bxax²=cbx=cax²=bx+cax²+bx=cax²+c=bx譬如x²+10x=39称之为“平方和根等于数”型，对于每一种方程给出解法，求出“根”和“平方”两个结果，但是一般只有正根，另外给出几何“证明”，以示其解法的合理性。8、牟合方盖——一个正方体用它的两个中心轴线互相垂直的内切圆柱贯穿，所得到的相贯体；它是公元3世纪的刘徽在注“开立圆术”时提出的概念，并认识到它与其内切球的体积之比为4：，但是不会计算它的体积；6世纪的祖暅用“缘幂势既同，则积不容异”的原理，求出了它的体积，进而求出了球体积。9、筹算——在中国传统数学中，把生产、生活中的实际问题转换成一定的数学模型，采用算筹表示数，按照特定“术文”进行运算，从而解决实际问题。筹算具有明显的算法化、模型化、程序化、机械化的特征。筹算以算为主，寓理于算，广泛应用。10、不可分量原理——意大利数学家Cavalieri，FrancescoBonaventure（1598~1647）在《用新的方法推进连续体的不可分量的几何学》（1635）提出“不可分量原理”：线段是无数个等距点构成，面积是无数个等距平行线段构成，体积是无数个等距平行平面构成，这些点、线段、平面是长度、面积、体积的“不可分量”。Cavalieri利用这种“不可分量”，进行长度、面积、体积的计算及其相关的推理，但是，他未能对“不可分量”作出严格的论述。数学家们对此褒贬不一。1644年，Cavalieri本人发现了关于“不可分量”的悖论。大衍求一术——“大衍求一术”起源于5世纪的《孙子算经》卷下第26问“物不知其数”，世纪秦九韶的《数书九章》（1247年）总结出该算法，现在国际上称之为“中国剩余定理”。秦九韶的工作可以用现代数学术语表示如下：对于一般的一次同余式组NRi(modAi)i=1,2,3,…n，给出“大衍总数术”，它包括两部分：1）将{Ai}，化为{ai}，使(ai,aj)=1,ij，得到等价问题NRi(modai)i=1,2,3,…n；此为化“问数”为“定数”。2）求解ki×gi1(modai)i=1,2,3,…n；得到ki。从而，N=RiKi(M/ai)-pM，i=1,2,3,…n；其中M=ai，giai，为mI=M/aI累减ai所得余，p为适当的非负整数，使NM；此为“大衍求一术”。12、超实数域——在美国数学家Robinson，Abraham（1918~1974）创立非标准分析中，假设存在实数域R的一个有序域正真扩张R*，R*的元素称之为超实数。若xR*，r0rR，有|x|r，则x称为无穷小；若x、yR*，x-y是无穷小，则x、y为无限接近，记为xy。对于每一个有限超实数x，存在唯一实数r，使rx，则这个唯一的r为x的标准部分，记为r=St(x)。xR*，在r=St(x)周围有与x相差为无穷小的单子的集合。在此基础之上，建立超实数域上的微积分，把无穷小作为一个逻辑实体，又有求标准部分的方法，为微积分的运算和推理带来了方便。13．巴比伦楔形文字泥板——现在我们研究巴比伦数学知识的积累最可靠的资料，它是用截面呈三角形的利器作笔，在将干而未干的胶泥板上斜刻写而成的，由于字体为楔形笔画，故称之为楔形文字泥板书。从19世纪前期至今，相继出土了这种泥板有50万块之多。其中，大约有300至400块是数学泥板，数学泥板中又以数表居多，据推测这些数表是用来运算和解题的。这些古老的泥板，现在散藏于世界各地许多博物馆内，并且被一一编号。在这些泥板书中，记录了巴比伦人当时的数学成就。14．《海岛算经》——刘徽注释《九章算术》勾股之后，感到意犹未尽，又自撰了九问附于勾股之后，皆为重差术之题。因此，有的《九章算术》版本把它作为第十章，称为重差。后来，还是将它独立出来成为《海岛算经》。15．穷竭法原理——如果从任何量中减去不小于其一半的量，从余下的量中再减去不小于其一半的量，如此类推，那么最后余下的量将小于任何事先给定的同类量。16．开方术——最早载于《九章算术》少广第12问的开平方术，还有开带从平方，以及开立方和开带从立方术，后来又演变成增乘开方法，可以开任意次方，并且算法规范，人们都认为，中国传统数学中的“开方术”与高次方程数值解相关。四、求解（24分）用几何直观的方法证明：正五边形的边与其对角线不可以公度。解：abr3r1r2b=a+r1，a=r1+r2，r1=r2+r3，r2=r3+r4，······，rn=rn+1+rn+2······，只有当rn=0时，a与b才能公度，而这是不可能的。以X2+8X=84为例，说明阿尔-花拉子模求解一元二次方程正根的方法，并给出相应的几何释意。解：[解法步骤]_______________________8/2(8/2)²(8/2)²+84(8/2)²+84(8/2)²+84-(8/2)10–4=662=364x424x424x4x4xx24xx23．以为例，说明泰塔格利亚和卡丹求解一元三次方程的基本思路和主要成果。泰塔格利亚的解法：设，则有对于这个方程组用巴比伦人的方法可以求解：即可求出，开立方后，即得。卡丹的工作：用变换，化为型三次方程，再用泰塔格利亚的方法求解，此后他还对这种方法给出了几何证明。如图，考虑两个正方体AE，CL，其体积之差值为20。若令AC×CK=2，能作出BC=CK，则AB=AC-BC为所求。为此，在正方体AE中划分出正方体DC，使VDC=VCL，于是产生以下分割：VDC=BC³，VDF=AB³，VDE=BC×AB²，VDA=AB×BC²，VAE=AC³，BC³=CK³。由图，可见AC³-BC³=3VDA+3VDE+VDF(1)由于AC×CK=2，所以AC×3CK=6，即有AB×AC×3CK=6AB，3AB×AC×BC=6AB(2)而AB×AC×BC=VDA+VDE，所以6AB=3AB×AC×BC=3×DA+3×DE(3)将(3)代入(1)得AC³-BC³=6AB+VDF，即有AB³+6AB=20，故AB=AC-BC．4.曲边四边形由XY=k（k0），X=2，Y=0，X=8所围成，试用不可分量原理求该曲边四边形绕Y轴旋转一周所成旋转体体积。解:__取OA=22k,任取垂直于y轴的截面MN，可有：S侧=2·OL·LM=2k·，S截=·(OA/2)²=2k·；一一对应，两两相等，由不可分量原理，得V=2k·m·。5、用古希腊的“几何代数法”求解一元二次方程X2–6X–16=0；解：将方程化为X2–6X–42=0；如图，取AB=6，AP=PB，作BC垂直于AB，取BC=4，以P为圆心，以PC为半径，划弧，交AB的延长线于D，则有向线段AD或DB为所求的解。用秦九韶的“大衍求一术”求解一次同余式组：N1（mod7）2（mod8）3（mod9）解：求“定数”：789a1=7a2=8a3=9a1a2a3为Ai的最小公倍数，且ai|Ai，即得N1(mod7)2(mod8)3(mod9)求“衍母”：M=7×8×9=504求“衍数”：m1=72m2=63m3=56求“奇数”：g1=2g2=7g3=2求“乘率”：k1×21(mod7)k2×71(mod8)k3×21(mod9)k1=4k2=7k3=5求“泛用”：k1m1=288k2m2=441k3m3=280故得N