趋势曲线模型预测

趋势曲线模型预测第一页，共三十七页，2022年，8月28日第一节

多次式曲线模型预测法

第三章所谈及的回归分析，是在已知统计资料基础上，利用线性或非线性回归技术进行模拟，利用趋势外推进行预测，而模型的项数均为常数项加一次项或非线性构成。事实上，若采用多项式进行模拟，也是一种行之有效的方法。第二页，共三十七页，2022年，8月28日一．正规方程组所谓多项式回归，就是已知统计资料给出，当预测变量y与自变量x可用一个多项式进行模拟时，利用一元非线性回归技术，来作出模拟并用于预测。设实际值为（xi,yi）,为方便多项式次数测定，数据选取xi－xi－1=∆x=C，模型模拟值为(xi,)

就有=f(x)=a0+a1x+a2x+……+amx.

显然，这是一个m次多项式，同时假定已知数据为n组：(xi,yi)i=1,2,……n.2m第三页，共三十七页，2022年，8月28日假定y与x是相关的，对应任意的yi，都有yi

且ei=yi－

由回归分析，最佳拟合为Q=∑ei2=Qmin

利用最小二乘法，对系数求偏导数，有

(Q/ak)’=0→2∑ei(ei)’ak=0

其中k=0,1,2,3,……,m

因为ei=yi－yi=yi－

a0－

a1x－

……akxik……amxim

所以有：∑(yi－

a0－

a1x1--

……amxim)(-xik)=0

得yi

xik

=a0

∑xik+a1∑xi(k+1)+……am∑xik+m第四页，共三十七页，2022年，8月28日令

第五页，共三十七页，2022年，8月28日可建立m+1个方程组成的正规方程组：

s0a0+s1a1+……+smam=u0(k=0)

s1a0+s2a1+………+sm+1am=u1(k=1)

::::

sma0+sm+1a1+……..+s2mam=um(k=m)记为矩阵式：

s0s1s2……sma0u0

s1s2s3……sm+1a1u2

smsm+1

s0…s2m

amum

记为S记为A记为U

则：U=SA→A=S(-1)U=1/|S|S*U有唯一解，故a0,a1,……,am可唯一求出，于是预测方程可以求得。

{2004/11/1}=×第六页，共三十七页，2022年，8月28日二、案例某地1972---1979工业产值统计资料如表，企业多项式模型，并预测1980、1981年工业产值年19721973197419751976197719781979序号12345678产值7.548.768.239.9210.6511.6512.5613.78解：（1）描点，观察，做趋势图。

由图所示，用二次曲线描述合理。即预测模型可取为y=a0+a1x+a2x2第七页，共三十七页，2022年，8月28日（2）由正规方程组U=SA，求A=S(-1)U

∵Sk

=∑Xik

i=1,2,………,8.K=0,1,2,3,4.

S0=∑xi=8;S1=∑xi=36;S2=∑xi=204;S3=∑xi=1296;S4=∑xi=8772

836204∴S=3620412962041296877201234第八页，共三十七页，2022年，8月28日第九页，共三十七页，2022年，8月28日

836204-183.09A=S(-1)U=362041296410.74204129687722458.381.9464-0.90130.089383.09=-0.91070.5100-0.0536410.740.0893-0.05360.0062458.387.1602=0.44470.0480

故预测模型y=7.1602+0.4447x+0.0480x2

第十页，共三十七页，2022年，8月28日

1980:x=9y9=7.1602+0.4447×9+0.0480×92

=15.05051981:x=10:y10=7.1602+0.4447×10+0.0480×102=16.4072绝对误差相对误差与实际值比较:1980年为14.770。2809–1。9%1981年为15.640。7672-4。9%第十一页，共三十七页，2022年，8月28日三、

拟合多项式的次数确定

1、作图法利用实际数据，选择合适坐标，采用图上打点，观察打点曲线，并选择一条比较合用的多项式趋势线。若趋势线出现拐点：由拐点定义，若出现一个拐点，至少应用3次多项式拟合；

若出现k个拐点，至少应用k+2次多项式拟合。

第十二页，共三十七页，2022年，8月28日2.差分判断法

①差分定义：当自变量呈等距分布时，即

xi=xi-1+△x

则▽yi=yi–

yi-1=f(xi)-f(xi-1)

称为当x从xi-1变到xi时,yi的一阶差分。所有更高阶的差分由进一步的差分得到:

二阶差分

▽2yi

=▽(▽yi)=▽(yi–

yi-1)=▽yi-▽yi-1=(yi–

yi-1)-(yi-1

–

yi-2)=yi-2yi-1+yi-2

第十三页，共三十七页，2022年，8月28日可类推至yi的k阶差分▽k

yi

=▽(▽k-1

yi)=………=

②差分对多项式判断中的应用例：含线性趋势确定性时间序列数据（yt=2t)t012345yt0246810一阶差分22222二阶差分0000

第十四页，共三十七页，2022年，8月28日

例:二次曲线y=ax2+bx+c

x012345

ytca+b+c4a+2b+c9a+3b+c16a+4b+c25a+5b+c一阶差分a+b3a+b5a+b7a+b9a+b二阶差分2a2a2a2a三阶差分000

由此可得出判据

若一批自变量为等距分布的数据，经

n次差分之后，形成常数或差分后在某一定值上下波动，则可用n次多项式拟合此批数据变动趋势。

3.在利用数据确定曲线时，要排除偶然发生的那一类数据。第十五页，共三十七页，2022年，8月28日第二节成长曲线预测模型一.Gompertz曲线成长曲线主要应用两个原则：相似性原则与延续性原则①决定过去技术发展的因素，很大程度的也将决定未来的发展，条件是不变的或变化不大的；②发展过程属于渐进的，影响过程的规律不发生突变；③增长曲线即生命周期与生物生长过程相似孕育—出生—成长—成熟—老化—死亡发明—定型—推广—成熟—老化—淘汰

第十六页，共三十七页，2022年，8月28日

1.经验公式

,有三个系数K，a,b(双层指数)

取常用对数lgyt=lgK+btlga

2.参数k,a,b的确定（三和法）

假定有若干原始数据，取△t=1,t=1,2,3,…….3n且满足

即：lgyt=lgK+btlga第十七页，共三十七页，2022年，8月28日排列成表如下

t123……nlgytlgy1lgy2lgy3……lgyn

n+1n+2n+3……2nlgyn+1lgyn+2lgyn+3……lgy2n

2n+12n+22n+3……3nlgy2n+1lgy2n+2lgy2n+3……lgy3n

共有3n个数据，平均分为3组，第一组第二组第三组第十八页，共三十七页，2022年，8月28日第一组：求和：

=nlgK+(b1+b2+……bn)lga……①第二组：求和：

∑lgyt=nlgK+(bn+1+bn+2+……b2n)lga②第三组：求和:∑lgyt=nlgK+(b2n+1+b2n+2+……b3n)lga③③-②:lgyt-lgyt=bn(b+b1+b2+……bn)(bn

-1)lga…4②-①:lgyt-lgyt=(b+b1+b2+……bn)(bn

-1)lga……⑤第十九页，共三十七页，2022年，8月28日第二十页，共三十七页，2022年，8月28日3.例：某厂产品销售总额历史数据：（万元）年份(t)196819691970197119721973yt407418432447463485log

yt2.612.622.642.652.672.69年份(t)197419751976197719781979yt508535566602644694log

yt2.712.732.752.782.812.84

年份(t)198019811982198319841985yt734826912101811481311log

yt2.882.922.963.013.063.12第二十一页，共三十七页，2022年，8月28日上述数据的模型识别，一般采用作图法或计算机模拟。由上述公式，可求出K=305,a=1.3;b=1.1yt=预测1988年销售额：

t=21,y==2125.7(万元)

第二十二页，共三十七页，2022年，8月28日4.关于Gompert曲线的讨论

①.a>1a)0<b<1b)b>1t→0,yt→Kat↗,yt↗t→-∞yt→K细胞分裂核爆后继无抑制上升t→0,yt→Kat↗,yt↘t→+∞yt→K第二十三页，共三十七页，2022年，8月28日动植物生命衰减②.a>1a)0<b<1b)b>1t→-∞yt→0t→+∞yt→Kt→0yt→Ka第二十四页，共三十七页，2022年，8月28日以上“K”称为最大步长值，或饱和点值如：家电生产及销售，农田亩产，机器工作效率等，耐用消费品

③Gompert曲线是双层指数，又称双指数模型。第二十五页，共三十七页，2022年，8月28日二.Logistic曲线该曲线为美国生物学家，人口统计学家

R.Pearl博士通过利用微分方程表示生物生长速度，求解得到的公式，为Logistic增长曲线。

1.数学模型微分方程形式为：dy/dt=ky(K-y)

其中k,K>o常数且0<y<k,为可分离变量一阶微分方程。解出为

yt=K/[1+ae(-bt)]

其中a=e-ck

（C为积分常数）

b=kK

书中公式为是变形的一种。(1/2005/4/04)第二十六页，共三十七页，2022年，8月28日当t→∞时y=K,为极限参数,称饱和值.曲线为

改变a只影响曲线位置变动而不改变形状(a位置参数)改变b只影响曲线形状而不改变位置.(b形状参数)此方法,80年代曾用于闭路电视发展预测，结果1990年美家庭将有63%采用,2000年89.5%,2010年97.17%,使美联邦通讯委员会从禁止到支持.

tytt=0n2ny0y1y2y3第二十七页，共三十七页，2022年，8月28日二.参数估计解法1:三点法,取已知三点;第一点为起点t=0,另两点分别为t=n和t=2n,即从时间上均匀分段.设曲线序列始点选定为y|t=0=y0→y0=k/(1+a)…①

中点:y|t=n=y1,→y1=k/[1+ae-bn]………②

终点:y|t=2n=y2,→y2=k/[1+ae-2bn]……③

由①式,推出a=(K-y0)/y0……………④

由②式:y1•[1+ae-bn

]=K

得

e-bn=(K-y0)/ay1

有

b=[lna+lny1–ln(K-y1)]/n………⑤

第二十八页，共三十七页，2022年，8月28日将公式②中解出e-bn及公式④代入公式③

,得:y2{1+(K-y1)2/[(K-y0)y12/y0]}=K整理得出

K=[y0y12+y12y2-2y0y1y2]/[y12

-y0y2]…...6公式⑥⑤④三式共同组成参数估计公式.

第二十九页，共三十七页，2022年，8月28日解法2:线性回归法,前提是假定K已知公式变形:y

=K/[1+ae-bt]K/y=1+ae-bt)

ae-bt=K/y-1取自然对数lna–bt=ln(K/y-1)令ln(K/y-1)=y’,lna=a0,–b=a1则构成线性方程

y’=a0+a1t利用一元线性回归方法,解出y’,进而求出预测值y解法3:为近似积分法,见书介绍解法4:为三和法第三十页，共三十七页，2022年，8月28日三.举例:我国家用缝纫机市场需求量转折点预测

1970—1982年统计资料年份:197019711972197319741975普及率%5.496.6767.9109.12510.54412.029197619771978197919801981198213.69415.36317.28219.45922.98027.05431.227由于欧洲市场已饱和,可参考统计数据(饱和值K)同名日英法苏芬美饱和值(%)803547.61962.5030.30371.429据专家估计:中国由于广阔的农村市场,饱和率可达70%第三十一页，共三十七页，2022年，8月28日解:yt’=K/[1+ae-bt]

且K=70%

用回归分析1)线性化及预测方程：yt=a0+a1t

式中a0=lna,a1=-b,yt’=ln(K/yt-1)

∵K,yt为已知,∴yi’为已知∑yi’=18.1174,y

’=1.39365,∑yi’=30.96707n=13,t=7.0,∑ti=819,∑ti

yi’=76.5519

22第三十二页，共三十七页，2022年，8月28日利用线性回归中求参数公式:

a0=y-bx=y’-bt及(1/n)∑xi

yi

-x(1/n)∑yi(1/n)∑ti

yi’-t(1/n)∑y’

(1/n)∑xi

-x(1/n)∑xi(1/n)∑ti

-t(1/n)∑ti

得a0=2.453620→a=ea0=11.6304

a0=-0.176662→b=-a=0.176