电路基础第7章new

第7章非正弦周期电流电路7.1非正弦周期电流7.2周期函数分解为傅里叶级数7.3非正弦周期电流电路的分析7.4非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率7.1非正弦周期电流

前面研究了正弦交流信号作用于线性电路稳态响应的分析计算方法，从中得出，在一个线性电路中有一个或多个同频率的正弦信号同时作用时，电路的稳态响应仍为同频率的正弦量。

但是，在电子技术中，除了正弦激励和响应外，还会经常遇到非正弦激励和响应。电路中有几个不同频率的正弦激励时，响应一般是非正弦的。在电力工程中，交流发电机由于制造等方面的原因，其发出的电压波形实际上是一种近似的正弦波。晶体管交流放大器中的电压、电流是直流分量和交流分量的叠加。图7.1

示晶体管交流放大器中的电流波形。图7.1晶体管交流放大器中的电流

在计算机、自动控制等技术领域内大量应用的脉冲电路中，电压和电流的波形也都是非正弦的。图7.2(a)、(b)就是周期脉冲电流和方波电压的波形图；图7.2(c)所示为实验室常用的电子示波器扫描电压的锯齿波。另外，如电路中含有非线性元件，即使在正弦电压作用下，电路中也会出现非正弦电流，如图7.2(d)所示为通过半波整流器得出的电流波形。图7.2非正弦周期量示例

（a）（b）（c）（d）

上述激励和响应的波形虽然各不相同，但如果它们能按一定规律周而复始地变化，则称为非正弦周期电压或电流。本章仅讨论在非正弦周期电压、电流激励下线性电路稳态的分析和计算方法。7.2周期函数分解为傅里叶级数7.2.1周期函数的傅里叶级数在研究讨论非正弦周期电流电路时，为了便于利用前面直流电路和正弦稳态电路的分析方法去分析非正弦周期电流电路，很有必要对非正弦周期信号进行分解，即周期函数分解为傅里叶级数。

对于给定的周期函数f(t)，当其满足狄里赫利条件时，都可以分解为傅里叶级数。电工中遇到的周期函数通常都满足狄里赫利条件。周期为T的时间函数f(t)可展开成

若把上式中同频率的正弦项与余弦项合并，可得到另一种展开式式中，为的周期；、、为傅立叶系数，可按如下公式计算两式的系数有如下关系

以上两式的无穷三角级数称为周期函数的傅立叶级数，后一式中A0称为的直流分量，它是非正弦周期函数一周期内的平均值。称为f(t)的k次谐波分量。

称为次谐波分量的振幅，称为k次谐波分量的初相角。

特别地，当k=1时，称为f(t)的基波分量，其周期或频率与f(t)相同。的各项统称为高次谐波。高次谐波的频率是基波的整数倍。

将周期函数f(t)分解为直流分量、基波分量和一系列不同频率的各次谐波分量之和，称为谐波分析。

为了直观地表示一个周期函数分解为各次谐波后，其中包含哪些频率分量及各分量占有多大比重，可画出频谱图。图7.3锯齿波电压的振幅频谱图

1.周期函数的波形在横轴上、下部分包围的面积相等

此时，函数的平均值等于零，傅立叶级数展开式中，a0=0，即无直流分量。7.2.2波形对称性与傅立叶级数系数的关系

2.周期函数为奇函数

图7.4所示的函数波形对称于原点，在数学上称为奇函数。其满足

f(-t)=-f(t)奇函数的傅里叶级数中不含直流分量和余弦谐波分量图7.4奇函数波形3.周期函数为偶函数

图7.5所示的函数波形对称于纵轴，在数学上称为偶函数。其满足

f(-t)=f(t)偶函数的傅里叶级数中只含直流分量和各正弦谐波分量，故称偶谐波函数。图7.5偶函数波形4.周期函数为奇谐波函数

图7.6所示的函数波形，两个相差半个周期的函数值大小相等，符号相反，在数学上称为奇谐波函数。其满足这种函数前半周的波形后移半个周期，与后半周的波形互为镜像，即对称于横轴，所以也称镜像对称于横轴的函数。奇谐波函数的傅里叶级数中只含各奇次谐波分量，故称奇谐波函数。图7.6奇谐波函数波形7.3非正弦周期电流电路的分析

非正弦周期电流电路的分析通常采用谐波分析法，其步骤如下。（1）将给定的非正弦周期电源电压或电流分解为傅里叶级数，谐波取到第几项，由所需的计算精度来决定。

（2）分别计算电路对直流分量和各次谐波分量单独作用时的响应。对直流分量，电感相当于短路，电容相当于开路，电路成为电阻性电路。对各次谐波，电路成为正弦电流电路。注意：电感、电容对不同频率的谐波的感抗、容抗不同。如基波的角频率为ω电感L对基波的阻抗为ZL(1)=jωL

，对k次谐波的阻抗为ZL(K)=jkωL=kZL(1)，电容C对基波的阻抗为，对k次谐波的阻抗。

（3）应用叠加定理，将步骤（2）所计算的结果化为瞬时值表达式后进行相加，最终求得电路的响应。这里要注意：因为不同谐波分量的角频率不同，其对应的相量直接相加是没有意义的。

一个非正弦周期量的有效值，根据周期量有效值的定义，等于其方均根值。如果已知周期量的解析表达式，可以直接求它的方均根值。7.4非正弦周期量的有效值、平均值和平均功率7.4.1非正弦周期量的有效值图7.13半波整流波其有效值为

即非正弦周期量的有效值等于直流分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。

周期量的有效值与各次谐波的初相无关，周期量的有效值不是等于而是小于它的各次谐波有效值之和。7.4.2非正弦周期量的平均值一个非正弦周期量的平均值为

A0就是非正弦周期量的直流分量，当f(t)正负两半周与横轴包围的面积相等时，A0为零。为了对周期量进行测量和分析，常把周期量的绝对值在一个周期内的平均值定义为该周期量的平均值（也称为均绝值）。以电流为例，平均值Iav为图7.15正弦电流的平均值7.4.3非正弦周期电流电路的平均功率

非正弦周期电流电路的平均功率仍定义为其瞬时功率在一个周期内的平均值。

非正弦周期电流电路中，不同次（包括零次）谐波电压、电流虽