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拉普拉斯定理--行列式乘法第一页，共17页。一、k级子式与余子式、代数余子式定义在一个n级行列式D中任意选定k行k列按照原来次序组成一个k级行列式M，称为行列()，位于这些行和列的交叉点上的个元素式D的一个k级子式；在D中划去这k行k列后式，称为k级子式M的余子式；余下的元素按照原来的次序组成的级行列第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第二页，共17页。若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是，则在M的余子式前后称之为M的代数加上符号余子式，记为.注：①

k级子式不是唯一的.（任一n级行列式有个k级子式）．时，D本身为一个n级子式．②

时，D中每个元素都是一个1级子式；第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第三页，共17页。例1：四阶行列式选定1、3行，2、4列的一个二级子式MM的余子式和代数余子式分别为第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第四页，共17页。例2：五阶行列式中与是一对互余的子式.第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第五页，共17页。二、拉普拉斯(Laplace)定理引理行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致．第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第六页，共17页。Laplace定理由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的设在行列式D中任意取

k()行，代数余子式的乘积和等于D．即若D中取定k行后，由这k行得到的k级子式则.，它们对应的代数余子式分别为为第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第七页，共17页。②①时，即为行列式D按某行展开；注：为行列式D取定前k行运用Laplace定理结果．第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第八页，共17页。例对于四阶行列式选定2、3行得子式和代数余子式分别为第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第九页，共17页。∴

第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第十页，共17页。例3：计算行列式解：选定一二行得六个子式第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第十一页，共17页。,,,,,.∴

它们的代数余子式为第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第十二页，共17页。三、行列式乘法法则设有两个n级行列式其中则第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第十三页，共17页。证：作一个2n级的行列式 由拉普拉斯定理第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第十四页，共17页。第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则第十五页

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