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第二章解析函数第一节导数第二节解析函数第三节解析函数的变换性质第四节平面标量场第一节导数导数的定义设=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函数f(z)在z0点处的导数或微商，记为说明如果函数=f(z)在区域B内的每一点可导，则称f(z)在区域B内可导两个例子：1.求dzn/dz=nzn-12.求证=z*在z平面上处处连续，但处处不可导可导必连续几何意义导数f'(z0)的幅角Argf'(z0)是曲线经过=f(z)映射后在z0处的转动角=f(z)Argf'(z0)导数f'(z0)的模|f'(z0)|是经过=f(z)映射后通过z0的任何曲线在z0的伸缩率=f(z)Cauchy-Riemann条件必要条件设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导，那么有逆命题不成立f(z)在z=0处不可导充分必要条件设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导的充分必要条件是导数的计算公式极坐标下的Cauchy-Riemann条件设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可导，那么举例3.解析函数的充分必要条件4.解析函数的充分条件函数f(z)

在区域B内解析当且仅当(1)实部和虚部在B内可微；(2)实部和虚部在B内每一点满足Cauchy-Riemann条件设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足那么f(z)在B内解析。解析函数的主要性质性质1：设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在B内解析，则u(x,y)=C1，v(x,y)=C2是B内的两组正交曲线举例红:实部兰:虚部性质2：若函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B内的解析函数，则u(x,y)和v(x,y)均为B内的调和函数举例实部虚部实部虚部最大和最小值只能在边界上达到第三节解析函数的变换性质解析函数是一个保角映射=f(z)解析函数非解析函数：=Rez解析函数将z平面上的区域变为平面上的区域解析函数可以将z平面上的一个区域变换为平面上的一个区域，其中区域的边界变换为区域的边界，甚至保持边界的方向不变；同时区域的内部变换为区域的内部xOyBuO

vD=f(z)举例xOy/3uOvf(z)=z3xOyiauOv第四节平面标量场用复变函数表示平面标量场在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方向的平面上的场，这样的场称为平面场。取定垂直于某方向的平面为XOY平面，其上的点用z=x+iy来表示，于是场中每一个具有分量Ax，Ay的向量可表为平面流速场设向量场是不可压缩的（即流体的密度是常数）定常的理想流体的流速场其中速度分量u(x,y)和w(x,y)具

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