工程有限元方法非线性有限元概述

有限元方法与应用

非线性有限元分析张有为工程力学系自由度缩减方法瑞利阻尼柯西阻尼比例阻尼非线性有限元概述静力学有限元动力学有限元非线性有限元概述非线性有限元概述非线性有限元概述非线性有限元概述结构非线性问题的来源、分类及特征线弹性分析的特点非线性问题的来源非线性分析的分类非线性问题的特征非线性方程组的基本解法

直接迭代法

Newton-Raphson法

修正Newton-Raphson法增量法线弹性分析的特点节点位移为无限小量几何方程（应变－位移关系）为线性材料为线弹性物理方程（应力－应变关系）为线性边界条件性质保持不变边界条件中接触状态为已知离散控制方程控制方程为线性代数方程

非线性问题的来源固体力学问题，从本质上讲是非线性的，线性假设只是实际问题中的一种简化。在分析线性弹性体系时，假设节点位移无限小；材料的应力与应变关系满足胡克定律；加载时边界条件的性质保持不变，如果不满足上述条件之一的，就称为非线性问题。非线性问题的来源材料非线性：体系的非线性是由于材料的应力与应变关系的非线性引起几何非线性：结构的位移使体系的受力状态发生了显著的变化，以致不能采用线性体系的分析方法接触非线性：由随时间发生变化的接触状态引起非线性问题的分类(1)材料非线性（小应变）(2)几何非线性（大位移、大转动、小应变）增压器涡轮机轮盘叶片组件弹塑性变形L型梁大变形分析如高层建筑、大跨度钢架结构的结构分析大多属于此类问题如应力集中问题(缺口、裂纹等)非线性性问题题的分分类(2)几何非非线性性（大大位移移、大大转动动、大大应变变）(3)接触非非线性性轮轨接接触齿轮啮啮合冲压导导致的的厚度度减薄薄如金属属的压压力加加工问问题非线性性问题题的分分类结构非非线性性有限限元分分析的的类型型、特特点及及描述述方法法分析类型特点描述方法应力和应变仅材料非线性位移和应变无限小，应力应变关系是非线性的非线性弹性弹塑性工程应力工程应变大位移大转动小应变线元的位移和转动充分大，但线元的伸长和线元之间的角度改变无限小，应力应变关系是线性的或非线性的完全Lagrangian描述Kirchhoff应力Green应变更新Lagrangian描述Cauchy应力Almansi应变大位移大转动大应变线元的伸长和线元之间的角度改变充分大，线元的位移和角度也可以充分大，应力应变关系是线性的或非线性的完全Lagrangian描述Kirchhoff应力Green应变更新Lagrangian描述Cauchy应力Almansi应变非线性性问题题的特特征非线性性问题题最终终可转转化为为求解解如下下方程程其中结构非非线性性分析析最终终均可可转化化为上上述非非线性性方程程组的的求解解，然然而由由于刚刚度矩矩阵及及外力力向量量均为为位移移的函函数，，在求求解过过程中中将发发生变变化，，因此此求解解比线线性问问题复复杂，，计算算量大大得多多(1)非线性性方程程组求解的直接接迭代代法改写原原始方方程组组为直接迭迭代法法计算算流程程(1)假定初初始试试探解解为(3)若满足足如下下迭代代判据据其中则停止止迭代代，否否则转转向(2)某给定定的小小量某误差差范数数可取线线弹性性解为为初始始试探探值非线性性方程程组求求解的的直接接迭代代法收敛发散非线性性方程程组求求解的的直接接迭代代法为避免免直接迭迭代法法每一一步中中对系系数矩矩阵的的求逆逆，可可以采采用常常系数数矩阵阵进行行迭代代常系数数矩阵阵的直直接迭迭代法法计算算流程程(1)假定初初始试试探解解为(2)求第一一步迭迭代近近似解解为(3)对近似似解进进行修修正其中非线性性方程程组求求解的的直接接迭代代法典型算算例直接迭代法法计算算流程程其中(1)假定初初始试试探解解为迭代11次收敛敛非线性性方程程组求求解的的直接接迭代代法常系数矩矩阵直接迭代法法计算算流程程(1)假定初初始试试探解解为(2)第一步步迭代代近似似解为为迭代16次收敛敛非线性性方程程组求求解的的直接接迭代代法迭代历历史比比较非线性性方程程组求求解的的N-R法非线性性方程程组的的一阶阶Taylor展开式式N-R方法的的计算算流程程切线矩矩阵其中(1)计算近近似解解修正正量并并更新新近似似解非线性性方程程组求求解的的N-R法N-R方法的的收敛敛性一般情情况下具有有良好好的收收敛性性偶尔会会出现现发散散（如如下图图）收敛可能的的发散散非线性性方程程组求求解的的mN-R法为避免免N-R方法每每一迭迭代步步中对对切线线矩阵阵的求逆逆，常常常可以以采用用修正正的方方案，，即修修正N-R方法(mN-R)，其中中切线线矩阵阵总是是采用用它的的初始始值mN-R方法的的计算算流程程其中(1)计算近近似解解修正正量并并更新新近似似解非线性性方程程组求求解的的mN-R法非线性性方程组组求解解的(m)N-R法典型算算例N-R法计算流流程其中迭代5次收敛敛(1)假定初初始试试探解解为非线性性方程组组求解解的(m)N-R法mN-R法计算流流程(1)假定初初始试试探解解为迭代16次收敛敛，对对于此此特例例问题题，其其与校校正的的直接接迭代代法类类似则非线性性方程组组求解解的(m)N-R法迭代历历史比比较扩展拟牛顿顿法——秩2算法——BFGS算法非线性性方程程组求求解的的增量量法用以表示载载荷变变化的的参数数切线矩矩阵其中上式所提提出的的是一一典型型的常常微分分方程程组问问题，，可以以利用用很多多方法法求解解如：(1)欧拉方方法，，(2)N-R方法非线性性方程程组求求解的的增量量法欧拉方方法计计算流流程校正的的欧拉拉方法法流程程其中(2)其中(3)非线性性方程程组求求解的的增量量法欧拉方方法的的收敛敛性采用(2)和(3)式计算算的结结果都都不能能精确确满足足原方方程，，且将将导致致解的的漂移移，且且随着着增量量的增增加，，解的的漂移移现象象愈加加严重重考虑平平衡校校正的的增量量解法法，即即对(2)式进行行修正正，改改写为为(4)欧拉法法求解解增量量方程程和解解的漂漂移考虑平平衡校校正的的增量量解法法非线性性方程程组求求解的的增量量法N-R方法计计算流流程mN-R方法流流程每一个个增量量步中中采用用N-R方法迭迭代求求解本本步结结束时时的解解其中(5)(6)将N-R方法中中每一一个迭迭代步步的切切线矩矩阵用用本步步初始始值替替代非线性性方程程组求求解的的增量量法N-R和mN-R方法的的收敛敛性两种方方法较较增量量法的的收敛敛性好好mN-R方法求求解非非线性性方程程组时时，可可以避避免每每次迭迭代重重新形形成和和求逆逆切线线矩阵阵，但但降低低了收收敛速速度，，尤其其是P-a曲线突突然趋趋于平平坦时时（如如结构构分析析中结结构趋趋于极极限载载荷或或突然然变软软），，收敛敛速度度会很很慢。。为加速速收敛敛，可可采用用一些些常用用的方方法进进行改改进，，如Aitken加速法法，这这里不不再详详细列列举N-R方法求求解增增量方方程mN-R方法求求解增增量方方程非线性性方程组组求解解的增增量法法典型算算例欧拉方方法计计算流程其